Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

084 Donada la funció:
⎧ 2
ax + x <
fx ( )= ⎨
⎪ 1 si 2
2 x e + 2 si x ≥2
⎩⎪ −
SOLUCIONARI
calcula a perquè f sigui contínua en x = 2. Per al valor que has obtingut,
digues si f és derivable en x = 2.
(Activitat de Selectivitat)
Perquè la funció sigui contínua en x = 2, els límits laterals han de ser iguals i
coincidir amb f (2) = 3:
-
2
f( 2 ) = lim( ax + 1) = 4a+ 1⎫⎪
− x →2
⎬
⎪ - +
1
→ f( 2 ) = f( 2 ) = f( 2) → 4a+ 1= 3→a=
+ 2-x
f( 2 ) = lim ( e + 2) = 3 ⎪
+ x →2
⎭
⎪
2
⎪
⎧ ⎪ x +
Aleshores: f( x)=
⎨
⎪
⎪ x
⎩⎪
e +
x <
f
x ≥
-
1 2 1
2
2 2
si 2 ⎧x
→ '( x ) = ⎨
⎪
x - e
si 2 ⎩
⎪ 2-
⎪
si x < 2
si x > 2
- f'(
2 ) = 2 ⎫
⎬
⎪
→ Les derivades laterals no són iguals; per tant,
+ f'(
2 ) =-1⎭
⎪ f (x) no és derivable en x = 2.
085 Segons els valors de m, determina la continuïtat i la derivabilitat d’aquesta funció:
(Activitat de Selectivitat)
⎧
2 ⎪
⎪3−mx
si x ≤1
fx ( )= ⎨
⎪
2
⎪
si x > 1
⎩⎪
mx
2
• Si x < 1: f( x) = 3-mx→ Funció polinòmica, per tant, contínua en (-`, 1).
2
• Si x > 1:
f( x ) = → Funció racional contínua si x ≠ 0 i si m ≠ 0.
mx
• Perquè la funció sigui contínua en x = 1, els límits laterals han de ser iguals
i coincidir amb f(1) = 3 - m:
-
2
f( 1 ) = lim( 3- mx ) = 3 -m⎫⎪
− x →1
⎪
+ 2 2 ⎬
⎪ - +
2
→ f( 1 ) = f( 1 ) = f() 1 → 3-
m =
f ( 1 ) = lim = ⎪
m
+ x →1
mx m ⎭
⎪
⎧
2 m = 1
→ m - 3m+ 2= 0 → ⎨
⎪
⎩⎪ m = 2
Per tant, f (x) és contínua en R si m = 1 o m = 2.
Perquè una funció sigui derivable ha de ser contínua; considerem, doncs,
la derivada de la funció si m = 1 o si m = 2.
⎧
-
⎪-
2mx si x < 1
f'( 1 ) =-2m⎫⎪
f'( x)=
⎨
⎪
⎪
2
⎪
⎪
⎪-
si x > 1
+ 2 ⎬
f'(
1 ) =- ⎪
2
⎩⎪
mx
⎪
m ⎭⎪
- +
• Si m = 1 → f'( 1 ) = f'(
1 ) → Les derivades laterals en x = 1 són iguals;
per tant, f (x) és derivable en x = 1 → La funció és derivable en R.
- +
• Si m = 2 → f'( 1 ) ≠ f'(
1 ) → Les derivades laterals no són iguals; per tant,
f (x) no és derivable en x = 1 → La funció és derivable en R - {1}.
8
501