Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

476
Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
008 Calcula les equacions de les rectes tangents a la funció f (x) = 2x 3 + 3
en els punts x = 1 i x = −1.
Comprova que són paral·leles a la recta y = 6x.
f(1) = 5
f( 1+ h) -f()
1
f'(
1)
= lim
h→0 h
3 21 ( + h)
+ 3-5 6h+ 6h = lim = lim
h→0
h
h→0
h
+ 2h
2
= lim( 6+ 6h+ 2h ) = 6
h→0
L’equació de la recta tangent és: y - 5= 6( x - 1) → y = 6x - 1
2 3
f(-1) = 1
3
f( - 1+ h) -f( - 1) 2( - 1+
h)
+ 3- 1 6h- 6h + 2h
f'(
- 1)
= lim = lim = lim
h→0 h
h→0
h
h→0
h
2
= lim( 6- 6h+ 2h ) = 6
h→0
L’equació de la recta tangent és: y - 1= 6( x + 1) → y = 6x + 7
Les rectes són paral·leles a la recta y = 6x perquè el seu pendent és 6.
009 Calcula les derivades laterals de la funció f(x) en el punt d’abscissa x = 2.
⎧ x + x <
fx ( )= ⎨
⎪2
1 si 2
⎩⎪ x + 3 si x ≥2
+ f( 2+ h) -f(
2) ( 2+ h)
+ 3-5 h
f'(
2 ) = lim = lim = lim = 1
+ +
+
h→0 h
h→0
h
h→0
h
- f( 2+ h) -f(
2) 22 ( + h)
+ 1-
5 2h
f'(
2 ) = lim = lim = lim = 2
− −
−
h→0 h
h→0
h
h→0
h
Les derivades laterals no són iguals → f (x) no és derivable en x = 2.
=
2 3
010 Troba les derivades laterals de les funcions següents en el punt d’abscissa x = 0.
1
a) fx ( )= x 3
4
b) f(x) = x
f( 0 h) f ( 0)
h 3
+ + -
1
a) f'(
0 ) = lim = lim = lim =+`
+ + +
h→0 h
h→0 h h→0
2
h 3
f( 0 h) f ( 0)
h 3
- + -
1
f'(
0 ) = lim = lim = lim =-`
− − −
h→0 h
h→0 h h→0
2
h 3
Les derivades laterals no són iguals → f (x) no és derivable en x = 0.
4
+ f( 0+ h) -f(
0)
h
b) f'(
0 ) = lim = lim = lim
+
h→0 h
h→0 h h→
+ + 0 4 3
1
1
1
h
=+`
f'( 0 ) - no existeix, perquè h és un nombre negatiu i la funció no està definida
per a nombres negatius → f (x) no és derivable en x = 0.
=