Derivada d'una funció. Càlcul de derivades - matessantboianes

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Derivada d’una funció. Càlcul de derivades
123 Troba la derivada de la funció y = f(x) definida implícitament per cadascuna
de les expressions algebraiques següents.
a) x 2 + y 2 − 2xy = 0
b) x = cos (xy)
c) x 3 + 3y 2 − 2ay = 0
d) e 2y − ln x 3 = 3
e)
2 x
16
+
2 y
4
= 1
f) x 3 + y 3 + xy = 0
2y - 2x
a) 2x + 2yy'-2y - 2xy' = 0 → ( 2y - 2x) y' = 2y - 2x
→ y'
= = 1
2y
- 2x
1 1
b) 1=-
sin ( xy)( y + xy') → y + xy'
=- → xy'
=- - y
sin ( xy)
sin(
xy)
y sin ( xy)
y =
xsin ( xy)
-- 1
→ '
2 2
c) 3x + 6yy - 2ay = 0 6y - 2a y =- 3x
y =
2 3x
6y 2a
-
' ' → ( ) ' → '
-
2
2y 3x
d) e 2y'-
3 x
2y
= 0 → e 2y'
=
3
x
→ y'
=
3
2y
2xe
e) 2x
16
2y
+ ⋅ y'
= 0 →
4
y
x
⋅ y'
=-
2 8
x
→ y'
=-
4 y
2
2 2 2 2
3x
+ y
f ) 3x + 3y y'+ y + xy' = 0 → ( 3y + x) y' =-3x - y → y'
=-
3y x 3 +
124 Fes servir la derivació logarítmica per calcular la derivada d’aquestes funcions:
a) y = x x
b) y = (1 + x 2 ) x
cos x
c) y = (sin x)
x 3
d) y = x
a) ln f( x) ln x x =
ln f( x) = xln x
f'( x)
1
= + ln x
f( x) x
⎛ x
f'( x) = x ⎜ 1 ⎞
+ ln x
⎝⎜
x ⎠⎟
2 x
b) ln f( x) = ln ( 1+
x )
2
ln f( x) = xln ( 1+
x )
f'( x)
2 2x
= ln ( 1+
x ) + x ⋅
f( x)
1+
x
⎛
e) y = ⎜ 1 ⎞
⎜1+
⎝⎜
x ⎠⎟
f) y = (tg x) x
⎛
2 x ⎞
2 x
f'( x) = ( + x ) ⎜
2 2
1 ⎜ln
( + x ) +
⎝⎜
1
2
1+
x ⎠⎟
2
x