FIA2 - SISTEMAS NEWTONIANOS Semestre 2007-2 Profesores ...

Sistemas Newtonianos 143
10.4. Interpretación de las soluciones de D’ Alembert
En la sección anterior se vio que la ecuación de ondas
admitía como solución
d2u = c2
dt2 d 2 u
dx 2
(10.4.32)
u(x, t) = f(x − ct) + g(x + ct) (10.4.33)
donde f y g son dos funciones cualesquiera. A esta solución se le llama de D’ Álembert.
Para interpretar esta solución consideraremos primero el caso en que g = 0 y f tiene
la siguiente forma
A
f(x) =
(x/x0) 2 (10.4.34)
+ 1
cuyo gráfico es
f
A
0.8A
0.6A
0.4A
0.2A
0
-5x 0
-4x 0 -3x 0 -2x 0
-x 0 0 x 0 2x 0 3x 0 4x 0 5x 0
x
Es decir, la función tiene el máximo en x = 0, una amplitud en el máximo dada por
A y un ancho (dado por la posición donde la función toma la mitad del valor de la
amplitud máxima) dado por x0.
Ahora consideremos la solución de D’ Alembert
u(x, t) = f(x − ct) (10.4.35)
Evaluemosla para distintos instantes. Para t = 0 se tiene u(x) = f(x − 0c) = f(x),
por lo que el gráfico de u es la figura recién mostrada. Luego, por ejemplo, el máximo
se encuentra en xM = 0.
Para t = 1, se tiene u(x) = f(x − c). El máximo de u se ecuentra cuando f(x − c)
es máximo, lo que ocurre cuando xM − c = 0, es decir, para xM = c. Repitiendo el
procedimiento se encuentra, por ejemplo, que para t = 2 el máximo está en xM = 2c
y para un instante general t, el máximo está en xM = tc.
Universidad de Chile ∂fι fcfm