CLASE SEMANA 09

arItmétIca
tEma 9
DIVIsIBILIDaD I
DESARROLLO DEL TEMA
1. NOTACIÓN
Si A es múltiplo de B.
Entonces A = B o o A = BK
Si A no es múltiplo de B.
Entonces A ≠ B o
A = B o ± r
Números no divisibles
Sabemos que un número es divisible por otro cuando la
división es entera y exacta. Pero cuando dicha división
tiene residuo, diremos que el dividendo es múltiplo del
divisor más el residuo.
Es decir: A B
A = Bq + r
Ejemplo:
r
q
⇒ A = B o ± r
43 7 ⇒ 43 = 7 o (6) + 1
1 6 43 = 7 o + 1
43 7 ⇒ 43 = 7 o (7) – 6
6 7 43 = 7 o – 6
Nótese:
Por defecto
Por exceso
7 o + 1 = 7 o – 6
Suman 7
2. CONSIDERACIONES IMPORTANTES
– El cero (0) es múltiplo de todo número entero positivo.
– Todo número entero positivo es múltiplo de si mismo.
– La unidad es divisor de todo número entero.
– El divisor es un número entero positivo (módulo)
3. PRINCIPIOS OPERATIVOS
– Sobre la suma y la resta de múltiplos.
n o + n o = n o
n o – n o = n o
– Sobre la multiplicación de un número cualquiera con
un múltiplo cualquiera.
n o × k = n o
k ∈
– Sobre la potencia de un múltiplo cualquiera
(n o ) k = n o k ∈ +
– Sobre la división de múltiplos
A o
A o
= no se puede anticipar al resultado.
4. BINOMIO DE NEWTON
Es el desarrollo de binomio, aplicándose los criterios
de divisibilidad y permite hallar el residuo de manera
inmediata.
(A o + B) n = A o + B n
(A o – B) n = A o + B n , n es par
(A o – B) n = A o – B n , n es impar
PROPIEDADES
•
N = a o
N = b o
o
N = m.c.m(a;b)
san marcos rEGULar 2014 – II 1
arItmétIca tEma 9
1

DIVISIBILIDAD I
N = a o + r
•
N = b o + r
• abcd n = n o + dt
o
• abcd n = (n 2 )
o
N = m.c.m(a;b) + r
+ cd n
• (# impar) #par = 8 o + 1
Principio de Arquímedes
Si: A × B = n o
⇒ Si A = n o ∧ B = n o
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Si cierta cantidad de bolas se cuentan
de 4 en 4, sobran 3; si se cuentan de 6
en 6, sobran 5; y si se cuentan de 10 en
10, sobran 9. ¿Cuál es el número mínimo
de bolas que se tiene?
A) 57 B) 129
C) 60 D) 59
E) 119
Nivel Intermedio
UNMSM 2011-II
Resolución
Sea N el número de bolas:
N = 4 o + 3 ⇒ 4 o – 1
N = 6 o + 5 ⇒ 6 o – 1
N = 10 o + 9 ⇒ 10 o – 1
o
N = m.c.m(4;6;10) – 1 = 60 o – 1
Entonces: N = 60.1 – 1
N = 59
Respuesta: D) 59
Problema 2
Cualquier número de la forma siempre
es divisible por:
A) 12 B) 141
C) 15 D) 1001
E) 17
Nivel Fácil
UNMSM 2004-I
Resolución
abcabc = abc × 10 3 + abc
= abc × 1001
o
= 1001
Respuesta: D) 1001
Problema 3
Si: 76m9n es múltiplo de 107, halle el
máximo valor de (m + n).
A) 17 B) 11
C) 13 D) 9
E) 15
Nivel Difícil
UNMSM 2013-I
Resolución
76m9n = 76090 + m0n = 107
o
= 107
o + 13 + m0n = 107
o
⇒ m0n = 107
o + 94
m0n = 107.k + 94
Si k = 2 ⇒ m0n = 308
∴ m + n = 11
Respuesta: B) 11
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN
1. ¿Cuántos números de 2 cifras son
divisible por 11?
A) 11 B) 10 C) 9
D) 8 E) 7
2. Del 1 al 3000. ¿Cuántos números
no son múltiplos de 11?
A) 272 B) 273 C) 2727
D) 2728 E) 2726
3. Del 240 al 1500. ¿Cuántos números
son 15 o ?
A) 83 B) 84 C) 85
D) 86 E) 82
4. ¿Cuántos múltiplos de 7 están
comprendidos entre 30 y 300?
A) 36 B) 37 C) 38
D) 39 E) 40
5. ¿Cuántos múltiplos de 13, que no
terminan en 5, hay entre 800 y
1000?
A) 10 B) 11
C) 12 D) 13
E) 14
PROFUNDIZACIÓN
6. A una fiesta asistieron 105 personas
entre niños, mujeres y hombres. La
cantidad de niños era la séptima
parte de las mujeres que asistieron
y los hombres que no bailaban era
la octava parte de las mujeres que
asistieron. ¿Cuántas mujeres no
bailaban?
A) 20 B) 18
C) 22 D) 21
E) 24
tEma 9
arItmétIca
2
2 san marcos rEGULar 2014 – II

DIVISIBILIDAD I
7. En una función de cine entre
adultos, jóvenes y niños, suman
en total 815 personas. Los 5/11
de los jóvenes son mujeres. La
cantidad de adultos es igual a la
séptima parte de la cantidad de
jóvenes. Sabemos que la cantidad
de niños es menor que la de
adultos y que la tercera parte de los
jóvenes llegaron tarde. Determina
la cantidad de niños.
A) 18 B) 22 C)23
D) 25 E) 28
8. ¿Cuántos números de tres cifras son
múltiplos de 15 pero no de 25?
A) 46 B) 47 C) 48
D) 49 E) 50
9. Un número de la forma:
(2a)(2b)ab es siempre divisible
entre.
A) 7 B) 13 C) 19
D) 67 E) 23
SISTEMATIZACIÓN
10. Si: n! = 17 o + 3 y (n + 1)! = 17 o +
8, halle el residuo por exceso de
dividir (n + 2)! por 17.
A) 2 B) 16 C) 1
D) 12 E) 4
11. En la siguiente sucesión:
3 + 7(1); 3 + 7(2); 3 + 7(3);...; 3
+ 7(431)
¿Cuántos términos no son divisibles
por 15?
A) 420 B) 404 C) 403
D) 402 E) 345
12. Si: xyzw + wzyx 8 = mn...xz 3 halle
el mínimo valor que asume el
C.A(xz 6 ), en el mismo sistema de
base 6.
A) 24 B) 32 C) 34
D) 44 E) 52
san marcos rEGULar 2014 – II 3
arItmétIca tEma 9
3

áLGEbra
TEma 9
raÍcEs DE Un PoLInomIo
DESARROLLO DEL TEMA
I. Raíces de un polInomIo
Sea P(x) un polinomio no constante, diremos que a es
una raíz del polinomio P(x) si P(a) = 0, es decir a es una
raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) en
x = a se hace cero. Luego, P(x) = (x – a) q(x).
Ejemplos:
• Sea P(x) = x 3 – 3x 2 + 3x – 1
Vemos que P(1) = 0 ⇒ 1 es una raíz del polinomio
de P(x), donde P(x) = (x – 1)(x 2 – 2x + 1)
Nota:
A las soluciones de una ecuación raíz del polinomio,
se les llama también raíces del polinomio
II. Raíz múltIple de un un polInomIo
Sea P(x) un polinomio no constante, donde "a" es una
raíz de multiplicidad k. Si y sólo si (x – a) k es un factor
de P(x) y (x . a) k + 1 no es factor de P(x).
III. polInomIos de segundo gRado
Su forma general es:
P(x) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0
P(x) = a(x – x 1 )(x . x 2 ) de donde:
x . x 1 = 0 ∨ x – x 2 = 0
x = x 1 ∨ x = x 2
∴ x 1 , x 2 se llaman raíces de la ecuación polinomial
cuadrática.
Ejemplo:
• P(x) = x 3 – x – 12
x –4
x 3
⇒ P(x) = (x – 4)(x + 3) ⇒ x –4 = 0 ∨ x + 3 = 0
x = 4 ∨ x = –3
Ejemplo:
P(x) = (x – a) k q(x); donde q(a) ≠ 0
P(x) = (x – 7)(x + 2) 7 (x + 8), del cual se dirá:
• 7 es una raíz de multiplicidad 3
• –2 es una raíz de multiplicidad 7
• –8 es una raíz simple
Nota:
Si una raíz es de multiplicidad k, siginifica que la raíz
se repite k veces
1. Fórmula General
Teorema.
Sea el polinomio P(x) ax 2 + bx + x; a ≠ 0
–b+ b
x 1
= 2 – 4ac –b–
; x 2
=
2a
Ejemplo:
• P(x) = 2x 2 + x – 2
b 2 – 4ac
2a
2 2
– 1 + 1 – 4(2)( – 2) – 1 – 1 – 4(2)( – 2)
x 1 = ;x2
=
2(2) 2(2)
Número de
raíces de P(x)
≥
Número de
soluciones
de P(x) = 0
– 1+ 17 – 1 – 17
x 1 = ;x2
=
4 4
san marcos rEGULar 2014 – II 1
áLGEbra TEma 9
1

RAÍCES DE UN POLINOMIO
A > 0 i < 0
2. Teorema de Cardano – Viette
x 1 x 2
Teorema de paridad raíces:
x 1 = x
Teorema 1
2
En el polinomio. P(x) = ax 2 + bx + c; a ≠ 0 de raíces.
x 1 = x 2 x 1 = x 2
x 1 ; x 2 .
• Suma de raíces: x 1 + x 2 = – b a
y y
• Producto de raíces: x 1 . x 2 = c a
A < 0 i < 0
• De la identidad de Legendre se tiene:
(x 1
+ x 2
) 2 – (x 1
– x 2
) 2 = 4x 1
x 2
IV. polInomIo de teRceR gRado
3. Teorema (Análisis de las raíces)
Del polinomio P(x) = ax 2 + bx + c; a ≠ 0 de
coeficientes reales, raíces x 1 y x 2 y discriminante
i = b 2 – 4ac se cumple:
Mediante el teorema fundamental del álgebra y su
colorario, el polinomio tiene 3 raíces, denotaremos por
x 1 ; x 2 , x 3 . En tal caso el polinomio factorizado será:
P(x) = A(x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 ); A ≠ 0
• Si: i > 0 ⇔ x 1 ; x 2 ∈ x 1 ≠ x 2
Equivalente a:
• Si: i = 0 ⇔ x 1 ; x 2 ∈ x 1 = x 2
P(x) = x 3 – (x 1 + x 2 + x 3 )x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 +x 2 x 3 )x –
• Si: i < 0 ⇔ x 1 ; x 2 ∉ x 1 = x 2
x 1
x 2
x 3
de donde se observa:
4. Integración geométrica de y = Ax 2 + Bx + C Teorema de Cardano - Viette
Sea y = Ax 2 + Bx + C; A ≠ 0 y coeficientes reales. En toda polinomio Ax 3 + Bx 2 + Cx + D = 0, de raíces
El comportamiento geométrico de y depende de su
x 1
, x 2
, x 3
se cumple:
discriminante (i), así:
I. Suma de raíces. x 1 + x 2 + x 3 = – B A
A > 0
II. Suma de productos binarios de las raíces:
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = C
A > 0
A
III. Producto de las raíces:
x 1 = x Si la ecuación admite como raíz: a + b ( b∈) entonces
2 A < 0
la otra raíz es: a – b
y
x 1 x 2 x 3 = – D A
Sea el polinomio:
P(x) = anx n + a
i > 0
n–1
x n–1 + a n–2
x n–2 + ...+ a 0
= 0
a
A > 0
y
n ≠ 0, si a n , 3 n–1 , a n–2 , ... a 0 ∈ se cumple que la
ecuación admite como raíz a a Z = a + b i , (B ≠ 0),
y x 1 x 2
entonces tambien admite como raíz al número Z = a – b i ,
llamado el conjugado de Z.
pRoBlemas Resueltos
Problema 1
Sea el polinomio:
P(x) = 8x 3 + ax 2 + bx + c
Que tiene como raíces a:
–3; –1/4; 1/2
Entonces P(x + 1) es:
A) 8x 3 + 41x 2 – 3x – 3
B) 8x 3 + 22x 2 – 17x – 3
C) 8x 3 + 46x 2 – 61x + 20
D) 8x 3 + 37x 2 – 6x – 12
E) 8x 3 + 35x 2 – 7x – 3
UNMSM 2005- II
Nivel Intermedio
Resolución:
Aplicando el teorema de Cardano:
a 1 1
– =– 3 – + ⇒ a = 22
8 4 2
b ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞⎛ 1⎞ = (– 3) ⎜ – ⎟ + (– 3) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ – ⎟ ⇒ b =– 7
8 ⎝ 4⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠⎝ 4⎠
C ⎛ 1⎞⎛1⎞ – = (– 3) ⎜ – ⎟⎜ ⎟⇒
C =– 3
8 ⎝ 4⎠⎝2⎠
Entonces:
P(x) = 8x 3 + 22x 2 – 7x – 3
x = x + 1 ⇒ (P(x + 1) = 8(x + 1) 3 +
22(x + 1) 2 – 7(x + 1) – 3
P(x + 1) = 8x 3 + 46x 2 + 61x + 20
Respuesta: C) 8x 3 + 46x 2 + 61x + 20
Problema 2
Halla la suma de los cuadrados de las
raíces de la ecuación.
4x 4 – 17x 2 + 4 = 0
A) –1/2 B) 0 C) 17/2
D) –9 E) 8
UNMSM 2004-I
Nivel Fácil
TEma 9
áLGEbra
2
2 san marcos rEGULar 2014 – II

RAÍCES DE UN POLINOMIO
Resolución:
Factorizando:
4x 4 – 17x 2 + 4 = 0
(4x 2 – 1)(x 2 – 4) = 0
4x 2 – 1 = 0, x 2 – 4 = 0
x = ± ​1 2 ; x = ± 2
Entonces:
2 2
⎛1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2 2 17
⎜ ⎟ + ⎜– ⎟ + (–2) + (2) =
⎝2⎠ ⎝ 2⎠
2
Respuesta: C) 17/2
Problema 3
Se sabe que las raíces de la ecuació:
x 3 – 12x 2 + rx – 28 = 0
Están en progresión aritmética. Halla el
valor de "r".
A) 20 B) 24 C) 39
D) 16 E) –20
UNMSM 2006-I
Nivel Intermedio
Resolución:
Sabemos que las raíces son:
a – n, a, a + n
Aplicando el terome de Cardano
a – n + a + a + n = 12/1 ⇒ a = 4
(4 – n)(4)(4 + n) = 28/1 ⇒ b = 3
Entonces las raíces son: a; 4, 7
Luego: 134 + 1,7 + 4.7 = r/1 ⇒ r = 39
Respuesta: C) 39
pRoBlemas de clase
ejeRcItacIón
1. Halle el valor de "a" si una raíz de:
P(x) = x 2 – ax + 5, es igual a 1
A) 7 B) –6 C) 6
D) 1 E) –1
2. Halle las raíces de:
M(x) = x 2 + 16x + 17 e indique el
producto de ellas.
A) –16 B) –17 C) 16
D) 17 E) –1
3. Si las raíces de:
N(x) = 3x 2 + ax + 18, son x 1 y x 2
halle el valor de x 1 .
A) 1 B) 2 C) 4
D) 18 E) 3
4. El polinomio:
N(x) = x 3 – 7x + 17 de raíces a; b
y c. Halle el valor de a + b + c.
A) 7 B) –7 C) 17
D) 0 E) –17
5. Halle el valor de K para que el
producto de las raíces del polinomio
Q(x) = (k – 2)x 2 – 5x + 2k sea 6.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
pRofundIzacIón
6. Si a y b son las raíces del polinomio:
P(x) = ax 2 + bx + c, halle el valor
de:
2 2
a b
N = +
b a
A) c(3ba – b 2 )
B) a(3bc – c 2 )
C) ab 2 + bc
D) b(3ac – b 2 )
E) a(abc – a 2 )
7. Halle el valor de K en el polinomio:
P(x) = x 3 + kx + 16, sabiendo que
tiene dos raíces iguales.
A) –12 B) –13 C) –14
D) –15 E) –16
8. Halle las raíces de:
Q(x) = x 3 – 7x 2 + mx – 8,
sabiendo que estan en progresión
geométrica. Halle el valor de "m".
A) 16 B) 17 C) 15
D) 14 E) 18
9. Uno de los polinomios:
Q(x) = x 3 – 4x 2 + mx + n – 3
de coeficientes reales es 2 – 3i.
Calcule m + n.
A) 7 B) 2+ 3i C) 10
D) 9 E) 0
sIstematIzacIón
10. Si: x 1 , x 2 ; x 3 son las raíces de:
Q(x) = x 3 – 7x + 6 calcule:
2 2 2
x1 + x2+
x3
3 3 3
x1 + x2+
x3
A) 7/9 B) 1/9 C) –7/9
D) –1/3 E) 1/3
11. En el polinomio:
P(x) = 3x 3 + ax 2 + bx + 12/a; b∈
una de las raíces es 1 + 3
A) –12 B) –9 C) 6
D) 12 E) –18
12. Si: 3 + 2 2 es una raíz irracional
de:
P(x) = 2x 3 – x 2 – ax + b, a; b ∈
halle a b .
A) 4 B) 8 C) 16
D) 9 E) 1
san marcos rEGULar 2014 – II 3
áLGEbra TEma 9
3

GEomETrÍa
TEma 9
ÁrEa DE rEGIonEs TrIanGULarEs
DESARROLLO DEL TEMA
I. REGIONES POLIGONALES
Una región triangular es un conjunto de puntos, reunión
de un triángulo y su interior.
Una región poligonal es la reunión de un número finito
de regiones triangulares que se encuentran en un plano
dado, tales que si dos cualesquiera de ellas se intersecan,
su intersección es o bien un punto o un segmento
A continuación se presentan una serie de teoremas
para calcular el área de diversas regiones triangulares.
TEOREMA FUNDAMENTAL
B
h b
S = (1/2)h b .b
A
H
b
C
TEOREMA TRIGONOMÉTRICA
Las líneas punteadas en las figuras anteriores indican
cómo se podría representar cada una de las dos
regiones poligonales mediante tal reunión. Las regiones
triangulares de cualquier descomposición así se llaman
regiones triangulares componentes de la región poligonal.
A. POSTULADOS
1. Dada una unidad de área, a cada región le
corresponde un número único, llamado área de
la región.
2. El área de una región poligonal es la suma de
las áreas de cualquier conjunto de regiones
componentes en el cual puede dividirse.
3. Si dos polígonos son congruentes, entonces las
regiones poligonales correspondientes tienen la
misma área.
B
c
a
A
b
TEOREMA DE ARqUíMEDEs
B
B
c
a
c
A
C
b
Donde “p” es el semiperímetro.
A
C
a
b
C
Observaciones:
a) Para todo triángulo obtusángulo
B
h b
bh b
S =
2
b) Para un triángulo rectángulo.
c
s
S =
bc
2
c) Para un triángulo equilátero
B L 2 3
S =
4
L
L
A b C
b
A
60° 60°
L
C
san marcos rEGULar 2014 – II 1
GEomETrÍa TEma 9
1

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
TEOREMAs ADICIONALEs
1. En función del inradio
B
S = pr
r
A
C
Donde “p” es el semiperímetro.
2. En función del circunradio
B
4. En función del inradio y los ex-radios
Sea “r” la medida del inradio de un triángulo ABC
y “ra”, “rb” y “rc” las medidas de sus tres exradios,
entonces:
Observaciones:
1. Dos figuras son equivalentes si tienen forma
distinta pero igual tamaño. La siguiente figura
muestra un círculo y una región triangular de igual
área, es decir son equivalentes.
s
< >
s
c
R
O
a
S =
abc
4R
2. Para todo triángulo rectángulo
B
S = mn
A
b
C
3. En función del ex-radio
A
m
n
C
B
S = c(p – c)
E c
r c
c
3. Para todo triángulo rectángulo
r c
r a
B
S = a c
A
C
Donde “p” es el semiperímetro.
A
C
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Resolución:
Sea R la región triangular ABC.
Calcula el área de la región sombreada
si AB = 6m, BC = 8m y AC = 10m.
B
8m
B
D
6m
R =
AB × ED
2
\ R = 8u 2
A
10m
C
Respuesta: C) R = 8 u 2
A
C
A) R = 5 m 2
B) R = 19 m 2
C) R = 8 m 2
D) R = 10 m 2
E) R = 9 m 2 sAN MARCOs 2000
NIvEL FáCIL
Piden: el área de la región sombreada.
Ya que D es el incentro del triángulo ABC,
DE es el inradio.
Por el teorema de Poncelet:
AB + BC = AC + 2(ED)
8u + 6u = 10u + 2(ED)
ED = 2u
Problema 2
Calcula el área de la región sombreada
si BF = 3 u y AC = 10 u.
A
F
B
E
D
C
tEma 9
GEomEtría
2
2 san marcos rEGULar 2014 – II

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
A) 20 u 2 B) 12 u 2
C) 18 u 2 D) 15 u 2
E) 10 u 2 sAN MARCOs 2001
Resolución:
Piden:
A
Se observa que:
B
3u
F
E
10u
NIvEL INTERMEDIO
• S (ABD) = S (ABC) – S (ADC) ........ (1)
• FE = DH .................... (2)
Ahora:
S (ABC) =
S (ADE)
=
AC × BE
2
AC × DH
2
D
C
= 5 u(3 u + FE)
= 5 u × DH
De comparar lo obtenido con (1):
S (ABD) = 5u (3u + FE) = 5u(DH)
S (ABD) = 15u2 + 5uFE – 5u(DH)
S (ABD)
= 15u 2 + 5u(FE – DH)
144424443
CERO
De comparar con (2)
\ S (ABD)
= 15 u 2
Problema 3
Respuesta: D) 15 u 2
En el gráfico, calcula el área de la región
triangular ABS.
B
E
A
S
A) 3,2 B) 7,5
C) 6,5 D) 4,5
E) 10,2
D
sAN MARCOs 2004
NIvEL DIFíCIL
Resolución:
A
Nos piden:
H
E S O
A(iSAB) =
B
AS × AB
2
Desde O trazamos OH ⊥ AB
AH = HB = 3
También: OB = 5;
entonces: OH = 4
En el trapecio SABK:
OH =
Reemplazando:
AS × 5,5
2
→ AS = 2,5
A(iSAB) = 7,5
D
Respuesta: B) 7,5
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN
1 En un triángulo, dos de sus lados de
10 y 15 m respectivamente, forman
un ángulo de 45°.
Hallar el área del triángulo.
A) 78 2 m 2
B) 75 2/2 m 2
C) 73 2/2 m 2
D) 80 2 m 2
E) N.A.
2. Calcular el área de un triángulo
sabiendo que el producto de sus
lados es igual a 56 y el circunradio
es igual a 2.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
3. En un triángulo equilátero de 4 3m
de lado se unen los puntos medios
de sus lados, obteniéndose un
triángulo cuya área es:
A) 3 m 2 B) 2 3 m 2
C) 2 2 m 2 D) 3 3 m 2
E) N.A.
4. Los lados de un triángulo miden 9,
11 y 12. Hallar su área.
A) 8 7 B) 8 35
C) 8 5 D) 35
E) N.A.
5. En un triángulo ABC el lado AC=2.
¿Cuánto mide la paralela a dicho
lado, tal que determina dos
regiones equivalentes?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 2 E) 5
PROFUNDIZACIÓN
6. La figura muestra un rectángulo,
halla la relación entre el área
sombreada y el área no sombreada.
10
3 4
A) 7/12 B) 7/13 C) 1/2
D) 7/15 E) 7/16
san marcos rEGULar 2014 – II 3
GEomEtría tEma 9
3
GEomEtría

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
7. Dado un triángulo rectángulo ABC
recto en B, se traza la altura BH,
la bisectriz AF interseca a BH en
P. Calcule el área de la región
triangular BPF, si AP = 6 y PF = 4.
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
8. En un triángulo rectángulo ABC
recto en “B” y de incentro “I” se
sabe que: IA = 10, IC = 8 2. Hallar
el área del triángulo AIC.
A) 20 B) 30 C) 40
D) 80 E) 60
9. En un triángulo ABC, en AC se toma
un punto “D” tal que DC = AC
4 . Si
S (ABC) = 80. Calcular S (DBC) .
A) 5 B) 10 C) 15
D) 20 E) 25
SISTEMATIZACIÓN
10. Se tiene un triángulo ABC,
tomándose en AC el punto “D” tal
que AD = 2(DC). En el triángulo
BDC se traza la mediana CM.
Calcular S(BMC) si S(ABC) = 60.
A) 5 B) 10 C) 20
D) 25 E) 15
11. El área de un triángulo ABC es
72 m 2 , por el baricentro “G” se
trazan paralelas a AB y BC, que
intersecan a AC en los puntos E y
F respectivamente. Calcular el área
de la región triangular EGF
A) 6 u 2 B) 7 u 2 C) 8 u 2
D) 9 u 2 E) 10 3 u 2
12. Si G es el baricentro del triángulo
ABC recto en B, la distancia del
baricentro de dicho triángulo a
los puntos medios M y N de los
lados BC y AC miden 5 u y 3 u
respectivamente. Calcular el área de
la región triangular AGN
A) 4 11 u 2
B) 3 10 u 2
C) 3 11 u 2
D) 4 10 u 2
E) 5 11 u 2
tEma 9
GEomEtría
4
4 san marcos rEGULar 2014 – II

TrIGonomETrÍa
TEma 9
IDEnTIDaDEs TrIGonomÉTrIcas
DESARROLLO DEL TEMA
Es una igualdad establecida entre expresiones que involucran
razones trigonométricas de una o más variables, las cuales se
verifican para todo valor admisible de dichas variables.
Ejemplo:
La igualdad: Sen 2 x + Cos 2 x = 1, se verifica para cualquier
valor real que le asignemos a la variable por consiguiente:
Sen 2 x + Cos 2 x = 1
Es una identidad ∀ x ∈
I. CLASIFICACIÓN DE LAS IDENTIDADES
FUNDAMENTALES
A. Identidades pitagóricas
1. Sen2 x + Cos 2 x = 1 ∀ x ∈
• Sen 2 x = 1 – Cos 2 x
• Cos 2 x = 1 – Sen 2 x
2. 1 + Tan2 x = Sec 2 x ∀ x ≠ (k + 1) p 2 ; k ∈
• Tan 2 x = Sec 2 x – 1
• 1 = Sec 2 x – Tan 2 x
3. 1 + Cot2 x = Csc 2 x ∀ x ≠ kp; k ∈
• Cot 2 x = Csc 2 x – 1
• 1 = Csc 2 x – Cot 2 x
B. Identidades recíprocas
1. Senx Cscx = 1
• Senx = 1
Cscx
• Cscx =
1
Senx
2. Cosx Secx = 1
• Cosx = 1
Secx
• Secx =
1
Cosx
3. Tanx Cosx = 1
• Tanx = 1
Cotx
• Cotx =
1
Tanx
C. Identidades por división
Tanx = Senx
Cosx
Cotx = Cosx
Senx
D. Identidades auxiliares
1. Sen 4 x + Cos 4 x = 1 – 2Sen 2 xCos 2 x
2. Sec 4 x + Tan 4 x = 1 + 2Sec 2 xTan 2 x
3. Csc 4 x + Cot 4 x = 1 + 2Csc 2 xCot 2 x
4. Sen 6 x + Cos 6 x = 1 – 3Sen 2 xCos 2 x
5. Sec 6 x – Tan 6 x = 1 + 3Sec 2 xTan 2 x
6. Csc 6 x – Cot 6 x = 1 + 3Csc 2 xCos 2 x
7. Tanx + Cotx = SecxCscx
8. Tanx + Cotx = 1
SenxCosx
9. (Senx + Cosx) 2 = 1 + 2SenxCosx
10. (1 + Senx + Cosx) 2 = 2(1 + Senx)(1 + Cosx)
11. Senx
1 ± Cosx = 1 Cosx
Senx
12. Cosx
1 ± Senx = 1 Senx
Cosx
13.
14.
1
= Secx Tanx
Secx Tanx
1
= Cscx Cotx
Cscx Cotx
15. Sec 2 xCsc 2 x = Sec 2 x + Csc 2 x
II. FUNCIONES AUXILIARES
Senoverso = Ver(q) = 1 – Cosq
Cosenoverso = Cov(q) = 1 – Senq
Ex Secante = Ex Sec(q) = Secq – 1
san marcos rEGULar 2014 – II 1
cUrso TEma 9
1

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Si (a) ∈ III c, simplifique
A = Cot 2 a + Csca Csc 2 a (Csc 2 a + Sec 2 a)
(Tana+ Cota) 2
A) –1 B) 1/2 C) 3/2
D) –1/2 E) 1
Resolución:
PRE-SAN MARCOS 2011
NivEl fáCil
Sabemos Sec2 a + Csc 2 a = Sec 2 aCsc 2 a
Tana + Cota = SecaCsca
Para el problema
A = Cot 2 a + Csca Csc 2 a (Sec 2 a + Csc 2 a)
Sec 2 aCsc 2 a
A = Cot 2 a+ Csca|Csca| = Cot 2 a – Csc 2 a
(–)
⇒ A = –1
Respuesta: A) –1
Problema 2
Si Cosa = m, donde |m| ≠ |n|
n
Calcule k = (Cota + Csca)(Tana – Sena)
A) n 2
– 1 B) m 2
– 1
m 2 n 2
C) m 2 – 1 D) m 2 – n 2
mn
mn
E) n 2 – m 2
mn
EX-ADMiSiÓN SM 2012
NivEl iNTERMEDiO
Resolución:
Efectuando operaciones
k = (Cota + Csca)(Tana – Sena)
k = CotaTana – CotaSena + CscaTana
– SenaCsca
Simplificando identidades
k = 1 – Cosa
Sena Sena + 1 Sena
Sena Cosa – 1 k = Seca – Cosa = n m – m n → k = n2 – m 2
mn
Respuesta: D) n 2 – m 2
mn
Problema 3
Sabiendo Cosa = m y 3Sen 2 a = t
Calcula K = 4m 2 + 4/3t + 7
A) 7 B) 8 C) 1
D) 4 E) 3
PEX-ADMiSiÓN SM 2013
NivEl DifÍCil
Resolución:
Reemplazando los datos en ña incógnita
k = 4Cos 2 a + 4/3(3Sen 2 a) + 7
Simplificando y factorizando
k = 4(Cos 2 a + Sen 2 a) + 7 → k = 1
Respuesta: C) 1
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN
1. Si Senx + 3
3
= Cosx + 2 ; x ∈ IIIc
2
Calcula k = 13Senx + 6 Tanx.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
2. Simplifique
A = Sen4 x + Cos 4 x + 7
Sen 6 x + Cos 6 x + 11
A) 3/2 B) 2/3 C) 7/11
D) 11/7 E) 1
3. Simplifique
A = Csc8 x – Cot 8 x
Csc 4 x + Cot 4 x – Cot2 x
A) Csc 4 x B) Cscx C) Csc 2 x
D) Cot 4 x E) Cot 2 x
4. Si Secx + Tanx = 1/2
Calcula el valor de Senx
A) 0,6 B) 0,8 C) –0,8
D) –0,6 E) 0,7
5. Si Sen 4 x – Cos 4 x = 1/2
Calcula A = Sec 2 x + Csc 2 x
A) 16/7 B) 16/5 C) 16/3
D) 18/5 E) 18/7
PROFUNDIZACIÓN
6. Elimine "x"
aTanx – 1 = Secx
bTanx + 1 = Secx
A) ab = 1 B) ab = –1
C) ab –1 = 1 D) a –1 b = –1
E) a –1 b –1 = 1
TEma 9
cUrso
2
2 san marcos rEGULar 2014 – II

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
7. Simplifique
A =
Sen 4 x + Cos 4 x
–
Sen 6 x + Cos 6 x
Cot26°30° + Sec240°SenxCos Tan60° – Cot18°30'SenxCosx
A) 2 Cosx B) 2 Secx C) 2 Senx
D) 2 Cscx E) – 2 Secx
A) 3 2 – 2 3
6
D) 3 2 + 2 3
6
B) 2 – 3
6
E) 1/6
C) 2 2 – 3 3
6
11. Elimine "q" sabiendo:
•
Sen 3 q
Cosq + Cos3 q
= a – 2(Tanq + Cotq)
Senq
8. Simplifique
A =
(Versx)(1 + Cosx + Senx
(1 – Versx)(1 – Cos) + (Senx) ; x∈IIIC
A) Tanx B) Cotx C) Secx
D) Cscx E) Cosx
9. Si se cumple
Cosx(1 + Cosx) = 1 – Covx
Calcule k = Cos 2 x – 2Cotx
A) –1 B) –1/2 C) Versx
D) 1 + Cosx E) SecxCscx
SISTEMATIZACIÓN
10. Sabiendo p < x < 3 p 2
Simplifique A =
Versx
Covx + 2 – Versx
2 – Covx
• (2 + Cosq – Versq) 2
= b – 1 + Versq
2(1 + Cosq)
A) 2(1 + ab) = ab 2
B) 2(1 + ab) = ba 2
C) 1 + ab = ab 2
D) 1 + ab = ba 2
E) 2(1 – ab) = ab 2
12. Sabiendo que se cumple
Secq + Tanq = a
Cscq + Cotq = b
Indique una relación entre (a) y (b)
A) (ab – 1) 2 = (a – b) 2
B) (ab + 1) 2 = (a + b) 2
C) (ab – 1) 2 = (a + b) 2
D) (ab 2 + 1) 2 = (a 2 – b 2 ) 2
E) (ab 2 – 1) 2 = (a 2 – b 2 ) 2
san marcos rEGULar 2014 – II 3
cUrso TEma 9
3

físIca
TEma 9
m.a.s. – péndULo sImpLE
DESARROLLO DEL TEMA
movimiento armónico simple (m.a.s.)
i. Definición
A. Movimiento Oscilatorio
Es aquel movimiento en el cual el cuerpo se mueve
hacia uno y otro lado respecto a una posición de
equilibrio, es decir efectúa un movimiento de vaivén.
– Oscilación completa: Movimiento de ida P a Q
y de regreso de Q a P.
– Periodo (T): Tiempo empleado en dar cada
oscilación completa.
– Frecuencia (f): Número de oscilaciones
completas que realiza el móvil en cada unidad del
tiempo.
Número de oscilaciones completas
f =
T iempo empleado
B. Conceptos básicos
• Movimiento Periódico: Es aquel movimiento que
se repite en tiempos iguales llamado periodo.
• Movimiento oscilatorio: También se le llama
movimiento vibratorio. Es aquel movimiento donde
el móvil va y regresa sobre la misma trayectoria
en torno a una posición fija de equilibrio.
C. Movimiento armónico simple
Es aquel movimiento rectilíneo, realizado por un móvil,
que es oscilatorio y periódico; su aceleración siempre
indica hacia la posición de equilibrio y su magnitud
es directamente proporcional a la distancia del móvil
a la posición de equilibrio (elongación).
Unidad (S.I.): 1 hertz (Hz) =
osc
1 s
Nota:
La frecuencia es la inversa del periodo.
⇒
1
f = o fT = 1
T
– Elongación: Desplazamiento del móvil con
respecto a la posición de equilibrio.
– Amplitud (A): Elongación máxima cuando el
Propiedad:
móvil está en los extremos.
• P, Q Extremos.
• P. E: Posición de equilibrio o punto medio de PQ.
T = periodo.
san marcos rEGULar 2014 – II 1
físIca TEma 9
1

m.a.s - péndulo simple
D. Cinemática del M.A.S.
Si una partícula realiza un movimiento circular
uniforme (M.C.U.) su proyección en cualquier diámetro
realiza un M.A.S.
Aceleración
2
=– +
a w A sen( wt a)
a=–
x *
Para recordar: La magnitud de la aceleración
directamente proporcional a la elongación.
Suponiendo que el móvil parte de B, a = ángulo de
fase inicial (partida) a + wt = ángulo de fase en un
tiempo t.
Luego:
x = A sen( wt + a)
w = frecuencia angular del M.A.S. = constante.
Casos:
1.
2p
w= 2pf
=
T
p
a = rad (parte del extremo de arriba)
2
Observaciones:
1. vmáx.
A En la P.E. x = 0
vmín.
= 0 En los extremos
2. amáx.
= w 2 A En los extremos x = A
amín.
= 0 En la P.E. x = 0
Dinámica del M.A.S: La fuerza resultante
→
(F R) que
actúa sobre cada cuerpo que realiza el M.A.S. se llama
fuerza recuperadora. Señala hacia la P.E. y su magnitud
es directamente proporcional a la elongación.
⎛ p
x = A sen w
⎞
⎜ t + ⎟ ⇒ x = A cos( wt)
⎝ 2 ⎠
2. a = 0° (parte de la P.E. y hacia arriba)
Velocidad
x = A sen( wt)
Por la 2.a ley de Newtón:
→
FR
=
m
2
FR
=– mw
x
a
En la P.E., entonces F R
= 0.
v = w A cos( wt + a)
Además el módulo de la velocidad es:
2 2
v = w A – x *
Sistema masa resorte: El resorte es de masa
despreciable y es elástico. Efectúa el sistema un M.A.S.
si el reforzamiento es nulo.
F R
= –mw 2
–Kx = –mw 2 x
w =
K
m
TEma 9
físIca
2
2 san marcos rEGULar 2014 – II

m.a.s - péndulo simple
Periodo (T)
p p
w= 2 ⇒ T =
2
T w
Asociación de resortes
• En serie
T = 2p m
K
Frecuencia (f)
f = 1 ⇒ f =
1 K
T 2p
m
1 1 1 1
= + +
Keq K1 K2 K3
Conservación de la energía mecánica del M.A.S.
• En paralelo
⇒ E M
=
E M
= E C
+ E p
2
1 2 1 2 KA
mv + Kx =
2 2 2
Keq = K1+ K2+
K3
Péndulo simple
Sistema físico formado de masa puntual suspendido por una
cuerda ligera e inextensible.
Cuando se separa hacia un lado de su posición en equilibrio y
se suelta el péndulo oscila en un plano vertical por la influencia
de la gravedad.
T = 2p L T: periodo
g
T: periodo
L: longitud de la cuerda.
g: aceleración de la gravedad
Importante
• El periodo del péndulo no depende de la masa de
la partícula. El periodo depende de la longitud de la
cuerda y de la aceleración de la gravedad del lugar
donde se realiza el M.A.S. (q < 10º)
Si q es pequeño (q < 10°) el movimiento se considera un M.A.S.
F R = mw 2 x
mgSenq = mw 2 x
Luego:
p p
w= 2 ⇒ T =
2
T w
x 2 g
mg. = m w . x ⇒w=
L
L
• Una aplicación directa del péndulo es el "bate
segundos", que generalmente se usaban años atrás,
el período de este reloj es de 2 segundos es decir en
ir y regresar demora 2 segundos.
san marcos REGULAR 2014 – Ii 3
física Tema 9
3

m.a.s - péndulo simple
PROBLeMAS ReSUeLTOS
Problema 1
La amplitud de las vibraciones
armónicas de un punto material es
A = 2cm y la energía total de las
vibraciones es ET = 3×10 –7 J. ¿Cuál será
la elongación del punto cuando la fuerza
que actúa sobre él es F = 2,25 × 10 –5 N?
A) 1,5 × 10 –2 m
B) 2,5 × 10 –2 m
C) 3,5 × 10 –2 m
D) 10 × 10 –2 m
E) 1,8 × 10 –2 m
NivEl FáCil
Resolución
Graficamos según el enunciado del
problema.
La energía total del oscilador se mantiene
constante y además deducimos que esta
energía es igual a la energía cinética
máxima (E C(máx) ) o igual a la energía
potencial máxima (E P(máx)
).
Luego:
EM = EC( máx) = EP( máx)
Reemplazando:
2
KA
EM
= EP( máx)
=
2
Ahora cuando encontremos la
deformación longitudinal del norte (x)
cuando la fuerza sobre él, es:
F e
= 2,25 × 10 –5 N
y esto ocurre en la posición M tenemos:
Fe
= Kx
Fe
x =
k
Problema 2
– 5
2, 25 × 10
x =
– 2
1, 5 × 10 m
2
∴ x = 1, 5 × 10 m
Respuesta: A) 1,5×10 –2 m
Un bloque de 7 kg cuelga del extremo
interior de un resorte vertical fijo a una
viga volada. ¿Cuál es la constante de
fuerza del resorte si la masa oscila con
un movimiento armónico simple a una
frecuencia de 0.38 Hz?
A) 50.8 N/m
B) 39.8 N/m
C) 60.8 N/m
D) 20.8 N/m
E) 30.8 N/m
NivEl iNTERMEDiO
Resolución:
El bloque unido al resorte desarrolla un
MAS. Para el MAS, la frecuencia cíclica
(w) es:
w =
k
m
además:
w = 2pf; (f: frecuencia)
igualando I y II obtenemos:
..... ( I)
......(II)
k
2pf
m = ;
de donde k = 4p 2 f 2 m
Reemplazamos los datos.
k = 4(3,14) 2 (0,38) 2 × 7
∴ k
Problema 3
= 39, 8 N/m
Respuesta: B) 39,8 N/m
Un péndulo simple bate al segundo
en un lugar dado: g = 9,8 m/s 2 . ¿Qué
periodo tendrá dicho péndulo dentro de
un ascensor que sube con aceleración
a = 0,2 m/s 2 ? Considere: p = 9,8.
A) 0,1p 10s
B) 0,2p 10s
C) 0,3p 10s
D) 0,4 p 10s
E) 0,5 p 10s
Resolución:
Sabemos:
T = 2p
NivEl DiFíCil
⇒ Si bate al segundo su periodo es 2s,
reemplazando.
2 = 2p L
9,8 ⇒ L = 1m
Dentro del ascensor:
T = 2p
⇒ T = 2p
L
8 + a
L g
1
= 0,2p 10s
9,8 + 0,2
Respuesta: B) 0,2p 10 s
TEma 9
físIca
4
4 san marcos rEGULar 2014 – II

m.a.s - péndulo simple
PROBLeMAS De cLASe
eJeRciTAción
1. En un oscilador armónico, la
partícula que lo conforma efectúa
3 oscilaciones en 6 s. ¿Cuánto tiempo
demora para efectuar 1 oscilación?
A) 1 s B) 2 s
C) 3 s D) 4 s
E) 6 s
2. Una partícula con M.A.S. realiza
120 oscilaciones por minuto, ¿cuál
es la frecuencia de oscilación que
experimenta?
A) 2 Hz B) 6 Hz
C) 12 Hz D) 60 Hz
E) 120 Hz
3. Si un sistema bloque resorte se
mueve con las características
de un M.A.S. bajo la ecuación
x (t)
= 0,3 Sen(0,8pt) que describe
su movimiento, en dónde t se
mide en segundos y x en metros,
calcule la frecuencia de oscilación
del sistema.
A) 0,8 Hz B) 0,4 Hz
C) 0,3 Hz D) 0,2 Hz
E) 0,1 Hz
4. Cuando una partícula que se mueve
describiendo un M.A.S. la velocidad
que presenta para cualquier instante
de tiempo t, en segundos, es
v (t) = 0,25 Cos(5pt + π/2) m/s.
Determine la frecuencia de
oscilación de la partícula y la
amplitud.
A) 5/2 Hz; 25 cm
B) 5 Hz; 10 cm
C) 5/2 Hz; 10 cm
D) 2/5 Hz; 25 cm
E) 10 Hz; 10 cm
5. La ecuación que describe la
aceleración de una partícula oscilante
es a (t) = –0.25 Sen(5t + π) m/s 2 en
donde t es el tiempo medido en
segundos. Calcule el periodo del
MAS que describe la partícula.
A) 0,2π s
B) 0,3π s
C) 0,4π s
D) 0,5π s
E) 0,6π s
PROfUnDiZAción
6. Una partícula describe un M.A.S. y
su comportamiento se denota por
la ecuación x (t) = 20 Sen(10πt) cm,
para cualquier instante de tiempo
t medido en segundos ¿cuál es la
magnitud de su velocidad máxima?
A) 10 π m/s
B) 5 π m/s
C) 20 π m/s
D) 2 π m/s
E) 200 π m/s
7. El M.A.S. que desarrolla una
partícula está descrito por
x (t) = 10 Sen(2t + π/2) cm,
para cualquier instante t en
segundos, determine el módulo
de la aceleración máxima de dicha
partícula.
A) 0,1 m/s 2
B) 2 m/s 2
C) 0,2 m/s 2
D) 0,4 m/s 2
E) 2π m/s 2
8. Determine la amplitud de oscilación
armónica de una partícula que
realiza un M.A.S. horizontal, si
cuando x = +7 cm su rapidez es
48 cm/s y para x = +20 cm, su
rapidez es 30 cm/s.
A) 15 cm
B) 20 cm
C) 25 cm
D) 30 cm
E) 35 cm
9. Un oscilador experimenta 90
vibraciones armónicas en un
minuto, con una amplitud de
20 cm. Si inicia su movimiento en
x 0 = +10 cm, determine la
ecuación del movimiento para
dicho oscilador.
A) 0,20 Sen(3πt + π/6) m
B) 20,0 Sen(3πt + π/6) m
C) 0,20 Sen(3πt + π/3) m
D) 20,0 Sen(3πt + π/3) m
E) 20,0 Sen(3/2 πt + π/6) m
SiSTeMATiZAción
10. Un bloque de 3 kg está conectado a
un resorte de rigidez K = 300 N/m
e inicialmente sin deformar. Si de
pronto es lanzado horizontalmente
con una rapidez de 5 m/s, calcule la
magnitud de la aceleración máxima
que experimenta el sistema bloqueresorte.
A) 20 m/s 2
B) 30 m/ s 2
C) 50 m/ s 2
D) 40 m/ s 2
E) 80 m/ s 2
11. Un bloque de masa m se encuentra
unido a un resorte de constante de
rigidez K 1
formando un oscilador
armónico cuyo periodo de oscilación
es T 1
alrededor de su posición de
equilibrio. Otro oscilador formado
por un bloque de masa 2m y un
resorte de constante K 2
, se mueve
describiendo un M.A.S. con un
periodo 2T 1
. Determine el cociente
K 1
/K 2
.
A) 1 B) 2
C) 4 D) 1/2
E) 1/4
12. Un bloque de 0,5 kg se encuentra en
la posición x = 0 cm y está unido a
un resorte que en este momento se
encuentra sin deformar. Si se estira
al resorte como máximo hasta
x = +10 cm, el sistema experimenta
una fuerza restauradora de 1,8 N y
en el mismo instante es soltado para
luego oscilar. Del enunciado, señale
cuál es la ecuación que describe el
movimiento del oscilador.
A) x (t)
= 0,1 Sen(6t + 3π/4) m
B) x (t)
= 0,1 Sen(6t) m
C) x (t)
= 0,1 Sen(6t + π/3) m
D) x (t)
= 0,1 Sen(3t) m
E) x (t)
= 0,1 Sen(6t + π/2) m
san marcos rEGULar 2014 – II 5
físIca TEma 9
5

qUímIca
TEma 9
EsTEqUIomETría
DESARROLLO DEL TEMA
I. DefInIcIón
La palabra "estequiometría", se deriva del griego
stoicheion, que significa "primer principio o elemento",
que quiere decir "medida". La estequiometría describe
las relaciones cuantitativas entre los elementos en los
compuestos (composición estequiométrica) y entre
las sustancias cuando experimentan cambios químicos
(estequiometría de reacción).
Las leyes Estequiométricas tienen su importancia porque
radica en que podemos predecir la masa de los productos
formados en una reacción química conociendo la cantidad
de sustancias de los reactantes.
II. leyes ponDerales (gravImétrIcas)
A. Ley de conservación de las masas o materia
Fue planteado por el químico francés Antoine Lavoisier
en 1789 "En toda reacción química, las masas de
las sustancias reactantes es siempre igual a la suma
de las masas de los productos" afirmando la ley de
conservación de la materia, donde esta no se crea ni
se destruye, sólo se transforma.
Nota:
Según la Ley de conservación de masas, la suma de
masas reactantes es igual a los productos.
B. Ley de las proporciones definidas o composición
constante
Fue enunciado por el
químico francés Joseph L
Proust en 1799 "cuando
dos o más elementos se
combinan para formar un
determinado compuesto,
lo hacen siempre en una
relación o proporción en
masa fija o invariable", cualquier exceso quedará sin
reaccionar.
Ejemplo 1:
Ejemplo:
CaCO 3
Calor CaO CO 2
100 g 56 g 44 g
2 SO 2 O 2 2 SO 3
100 g 100 g
Ejemplo 2:
N 2 3 H 2 3 NH 2
28 g 6 g 2 (17 g)
34 g 34 g
san marcos rEGULar 2014 – II 1
qUímIca TEma 9
1

estequiometría
C. Ley de las proporciones múltiples
Esta ley fue enunciada por el químico inglés John
Dalton en 1804, considerado como el Padre de la
Teoría Atómica Moderna.
"Si dos elementos forman
compuestos diferentes, las
masas de un elemento que
se combina con la masa
fija de otro elemento se
encuentran en relaciones
de números enteros
sencillos".
Ejemplo:
2 C + O 2 2 CO c + o o
0,75 g 1,00 g 1,75 g
c o
C + O 2
CO c + o c o o
0,75 g 2,00 g 2,75 g
Se observa que la relación de pesos de oxígeno que
reaccionan con un peso fijo de carbono (0,75 g) es
1,00 g
2,00 g = 1 2
D. Ley de las proporciones recíprocas (o pesos
de combinación)
Fue planteado por J.B.
Richter y C.F. Wenzel en
1792:
"Las masas de diferentes
elementos que se combinan
con una misma masa de otro
elemento dan la relación en
que ellos se combinarán entre
sí (o bien múltiplos o submúltiplos de estas masas)".
Ejemplo:
H 2 + Cl 2 2 HCl H H
2 g 71 g
Na + Cl 2 2 NaCl
Na
2
Na
46 g 71 g
H
H 2 + 2 Na 2 NaH
H
2 g 46 g 48 g
Cl
+
Cl
+
Cl
Cl
+
Na
Na
H
Cl
H
H
Cl
H
Na Cl
Na Cl
o
H H
Na
H H
Na
III. leyes volumétrIcas
A. Ley de los volúmenes de combinación
Fue dada a conocer por el
científico francés Joseph Gay-
Lussac en 1808 como producto
de sus investigaciones sobre la
compresión y expansión de los
gases y la reacción entre ellos.
"A temperatura y presión
constante, los volúmenes de los
gases que reaccionan están en la misma proporción que
sus coeficientes estequiométricas". Las proporciones
pueden ser molares y volumétricas.
Ejemplo:
H 2 + Cl 2 2 HCl H H
1 mol 1 mol 2 moles
1 V 1 V 2 V
Cl
+
Cl
H
Cl
H
H
Cl
H
O sea: (5 L) (5 L) (10 L) Sabiendo que V = 5
Ejemplo:
"A condiciones normales (CN), los volúmenes molares
equivalen a 22,4 L.
N 2 + H 2 2 NH 3
+
H H
3 H H
1 mol 3 moles 2 moles
A: C.N. 1(22,4 L) 3(22,4 L) 2(22,4 L)
B. Contracción volumétrica (C.V.)
H H
Es una proporción que se tendrá de la disminución
del volumen en una reacción gaseosa respecto al
volumen de los reactantes:
N
N
C.V. = V R – V P
V R
V R = Suma de los coeficientes gaseosos de los
reactantes.
V p = Suma de los coeficientes gaseosos de los
productos.
Ejemplo:
N 2(g) + 3H 2(g) → 2 NH 3(g)
(1 + 3) – 2
C.V. =
= 1
(1 + 3) 2
(el volumen se contrae en un 50%)
Ojo:
Si sucede lo contrario el volumen se expande.
H
H
N
H
N
H
H
H
TEma 9
qUímIca
2
2 san marcos rEGULar 2014 – II

estequiometría
Iv. casos especIales
A. Reactivo limitante (RL), y Reactivo en exceso
(RE)
RL: Es aquel reactante que se consume totalmente
porque interviene en menor proporción
estequiométrica (Agota sustancia).
RE: Es aquel reactante que se consume parcialmente
porque interviene en mayor proporción
estequiométrica (sobra sustancia).
Regla particular para determinar el RL y RE.
RL = CR = menor valor
CT
Ojo:
CT = Cantidad teórica
CR = Cantidad real
Ejemplo:
C + O 2
→ CO 2
123 123 123
RE = CR = mayor valor
CT
12 g 32 g 44 g ... (CT)
6 g 6 g x ... (CR)
6
12 = 6
0,5
32 = 0,19
144424443 144424443
Mayor valor
(RE)
Menor valor
(RL)
B. Porcentaje de pureza de una muestra química
En toda reacción química, las sustancias que deben
reaccionar deben ser 100% puras; por lo tanto,
extraeremos las impurezas bajo este criterio:
% Pureza =
cantidad sust. pura
cantidad muestra . 100
C. Rendimiento o eficiencia de la reacción (RR)
Es la relación expresada en porcentaje de las
cantidades reales (CR) frente a los teóricos (CT)
según:
C.T. → 100 %
C.R. → RR
ó
RR = CR
CT . 100%
v. relacIones esquIométrIcas que
se cumplen en una reaccIón
químIca
• mol → mol ó vol → vol (coeficiente estequiométrico)
• gmasa → masa (masa atómica (m.A.) ó masa molar (M))
• mol → masa (coeficientes estequiométricas → m.A. ó M
• Vol (CN) → mol (coef x 22,4 L → coeficiente)
• gramos → Vol (CN) (m.A. ó M → coef x 22,4 L)
• N A → gramos (Avogadro (6.10 23 ) → m.A. ó M)
• Vol (CN) → N A (coef x 22,4 L → Avogadro (6.10 23 ))
Ojo:
Si nos piden moléculas (N A
) y si piden átomos (N A
x subíndice)
∴ x =
11
(6) (44)
(32)
8
= 8,25 g CO 2
Ojo:
También se cumple con la relación molar y volumétrica.
Nota:
Reglas para resolver un problema por Estequiometrías.
• La ecuación debe estar completamente y
balanceada.
• Aplicar la relación estequiométrica.
• Resolver por regla de 3 simple directo.
• Comprobar el rendimiento de la reacción.
san marcos rEGULar 2014 – II 3
qUímIca TEma 9
3

estequiometría
proBlemas resueltos
Problema 1
¿Cuántos gramos de agua se formarán
al hacer reaccionar 10 g de H 2 con 500 g
de O 2 ?
Datos: Pesos atómicos: O = 16, H = 1
A) 45 B) 90 C) 180
D) 270 E) 135
Resolución:
uNmsm 2008
NiVEl fáCil
2H 2
+ O 2
→ 2H 2
O
4 22 36
÷
10 g
÷
5000 x g
2,5 15,625
Reactivo Reactivo
limitante en exceso
x =
10 × 36
4
x = 90 g
g
Respuesta: 90
Problema 2
¿Cuántos gramos de carbón vegetal
con 90% de carbono se requieren para
obtener 280 g de hierro?
Datos: PA: Fe = 56; C = 12; O = 16
A) 50 g B) 60 g C) 40 g
D) 55 g E) 45 g
Resolución:
uNmsm 2007
NiVEl iNtERmEdiO
2Fe 2 O 3(s) + 3C (s) 4Fe (s) + 3CO 2(g)
3 × 12 4 × 56
xg
280 g
x = 45 g de "C"
90 % → 45 g
100 % → y
y = 50 g de carbon vegetal
Respuesta: 50 g
Problema 3
El compuesto (CH 3 ) 2 NNH 2 se usa como
un combustible para propulsar naves
espaciales. Tal compuesto reacciona con
N 2 O 4 , de acuerdo con la reacción:
2(CH 3 ) 2 NNH 2 +4N 2 O 2 →4CO 2 +6N 2 +8H 2 O
Calcule la masa en gramos de N 2 O 4 que
se requiere para hacer reaccionar 120 g
de (CH 3 ) 2 NNH 2 .
Datos: Pesos moleculares
(CH 3 ) 2 NNH 2 = 60 g/mol; N 2 O 4 =92 g/mol
A) 368 g B) 230 g C) 240 g
D) 123 g E) 417 g
uNmsm 2007
NiVEl iNtERmEdiO
Resolución:
2(CH 3 ) 2 NNH 2 +4N 2 O 2 → 4CO 2 +6N 2 +8H 2 O
2 × 60 4 × 92
120g
x = 368 g
x g
Respuesta: 368 g
proBlemas De clase
ejercItacIón
1. En el proceso:
H 2
S + Mn(OH) 3
→ Mn 2
S 3
+ H 2
O
Hallar los gramos de sulfuro
mangánico Mn 2 S 3 (M = 206) que
se puede obtener con 68 gramos
de ácido sulfhídrico H 2
S (M = 34).
A) 137,3 B) 136 C) 88,4
D) 285 E) 745,6
2. En el proceso:
Fe(OH) 3
+ H 2
SO 4
→ Fe 2
(SO 4
) 3
+ H 2
O
Los gramos de hidróxido férrico
Fe(OH) 3
(M = 107) necesarios para
producir 600 gramos de sulfato
férrico Fe 2
(SO 4
) 3
(M = 400), son:
A) 321 B) 624 C) 123
D) 213 E) 567
3. En el proceso:
H 2 S + Mn(OH) 3 → Mn 2 S 3 + H 2 O
Hallar los gramos de sulfuro
mangánico Mn 2 S 3 (M = 206) que
se puede preparar con 530 gramos
de hidróxido mangánico Mn(OH) 3
(M = 106)
A) 515 B) 360 C) 195
D) 285 E) 745
4. ¿Qué peso de CaO se obtiene a
partir del calentamiento de 120 g
de CaCO 3
, si el rendimiento de la
reacción es del 60%?
PA (Ca = 40; C = 12; O = 16)
CaCO 3
→ CaO + CO 2
A) 67,2 B) 61,9 C) 53,7
D) 49,3 E) 40,3
5. Se someten a combustión 20 g de
propano. ¿Cuántos gramos de CO 2
se producirán si el rendimiento de
la combustión es 90%?
C 3 H 8 + O 2 → CO 2 + H 2 O
A) 60 g B) 54 g C) 30 g
D) 44 g E) 20 g
profunDIzacIón
6. ¿Cuántos litros de oxígeno se
emplean para formar 12 litros de
SO 3
gas?
En: SO 2
+ O 2
→ SO 3
A) 3 L B) 6 L C) 9 L
D) 12 L E) 18 L
7. Determinar el volumen de NH 3
que
se forma por la reacción de 12 L de
H 2
, según:
TEma 9
qUímIca
4
4 san marcos rEGULar 2014 – II

estequiometría
N 2 + H 2 → NH 3
A) 2 L B) 6 L C) 8 L
D) 12 L E) 15 L
8. Al reaccionar 20 g de carbono y
20 g de hidrógeno para formar el
compuesto metano (CH 4 ), indicar
el reactivo limitante.
A) C B) H 2
C) CH 4
D) C; H E) N.A.
9. Al reaccionar 1200 g de nitrógeno
con 240 g de hidrógeno para formar
NH 3
. ¿Qué cantidad de amoniaco se
forma?
A) 1130 g
B) 1360 g
C) 1420 g
D) 1480 g
E) 1520 g
sIstematIzacIón
10. Hallar las moles de CO 2
en
combustión completa de 3 moles
de propano.
C 3
H 8
+ O 2
→ CO 2
+ H 2
O
A) 7 B) 3 C) 5
D) 1 E) 9
11. Hallar las moles que se forman de
CO 2 en la combustión de 10 moles
de metano de acuerdo a:
CH 4
+ O 2
→ CO 2
+ H 2
O
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
12. En el proceso:
Fe(OH) 3 + H 2 SO 4 → Fe 2 (SO 4 ) 3 + H 2 O
¿Cuántos gramos de sulfato férrico
Fe 2 (SO 4 ) 3 (M = 400) se podrá
obtener con 1,2 moles de ácido
sulfúrico H 2 SO 4 ?
A) 160 B) 624 C) 123
D) 213 E) 567
san marcos rEGULar 2014 – II 5
qUímIca TEma 9
5

IoLoGía
TEma 9
Taxonomía - rEIno monEra -
proTIsTa y fUnjI
DESARROLLO DEL TEMA
I. TAXONOMÍA
Es la rama de la biología que se encarga de clasificar
y agrupar a los seres a los seres vivos, a partir de sus
diferencias, semejanzas morfológicas, reproductivas,
celulares, metabólicas, etc.
A. CATEGORIAS TAXONÓMICAS
Son niveles que agrupan a otros niveles, en los cuales
se encuentran agrupados los seres vivos. Los criterios
utilizados para clasificarlos, son los siguientes:
• Número de células:
Unicelulares
Pluricelulares
Multicelulares
• Reproducción:
Sexual
Asexual
• Respiración:
Aeróbica
Anaeróbica
• Nutrición:
Autótrofa
Heterótrofa
Mixotrofa
• Tipo de célula:
Eucariota
Procariota
SuperIOr
Dominio
Reino
CATegOrÍAS
TAXONóMICAS
Phyllum (Animales)
División (Vegetales)
Clase
Orden
Familia
Género
INferIOr
Especie
(Base)
san marcos rEGULar 2014 – II 1
bIoLoGía TEma 9
1

taxonomía - reino monera - protista y funji
II. NOMeNCLATurA TAXONOMICA
Rama de la biología que se encarga de nombrar a los
seres vivos.
A. NOMENCLATURA BINOMIAL
Creado por el naturalista Sueco Carl Von Linneo, se
trata de un conjunto de normas y reglas que deben
respetarse para escribir correctamente un nombre
científico, estableciéndose que:
Los nombres científicos están formado por dos
palabras únicas universales en latín o latinizadas.
Formados por dos palabras, una es el género (nombre
genérico) la otra la especie (nombre específico).
Solo la primera letra del género se escribe con
mayúscula y todo lo demás con minúscula.
Nombre científico
Canis familiaris
Felis domestica
Kantua boxifolia
Oriza sativa
Zea maiz
Pisum sativum
Rupicuola peruviana
Allium cepa
Nombre común
(vulgar)
Perro
Gato
Flor de la cantuta
Arroz
Maíz
Alverja
Gallito de las rocas
Cebolla
B. BIODIVERSIDAD
SISTEMA DE CLASIFICACIÓN
Aristóteles fue la primera persona que se preocupó
por clasificar a los seres vivos ( enaima: con sangre,
enaima: sin sangre), con el tiempo se creó el Reino
Animal y Vegetal. Posteriormente con el avance y
conocimiento de la vida microscópica se creó en
Reino Protista. Luego se percataron de que algunos
seres microscópicos carecían de núcleo, formándose
el Reino Monera, al final el señor Robert Whittaker
separó a los hongos del Reino plantae, debido a que
ningun hongo realizaba fotosíntesis, creando el reino
Fungi.
Posteriormente Carl Woese microbiólogo molecular,
creador de la nueva taxonomía molecular basada en
la comparación de ARN ribosomal que comparten
todos los seres vivos. Estableciendo de esta forma
tres dominios: Eucarya, Bacteria y Archaea.
Actualmente los tres dominios agrupan a 6 Reinos
según la clasificación de Carl Woese.
DOMINIO
Eucarya
Bacteria
Archaea
REINO
Animalia
Plantae
Protista
Fungi
Eubacteria
Arqueobacterias
REINO MONERA
(EubActERIAs y cIANObActERIAs)
I. euBACTerIAS
Importancia
Ecológicamente son útiles por ser desintegradores agentes causales de muchas enfermedades.
Ejemplo:
Mycobacterium leprae : “Lepra”
Vibrio cholerae : “Colera”
Salmonella tiphy : “Tifoidea”
Bartonella bacilliformis : “Verruga peruana”
Clostridium tetani : “Tetanos”
Mycobacterium tuberculosum : “Tuberculosis”
Treponema pallidum : “Sífilis”
Definición
Organismos unicelulares PROCARIÓTICAS de reproducción asexual por BIPARTICIÓN, y algunas veces sexual por
conjugación.
TEma 9
bIoLoGía
2
2 san marcos rEGULar 2014 – II

taxonomía - reino monera - protista y funji
Estructura
Cápsula
Pared celular
Membrana celular
ADN
ADN
Nucleoide
Ribosoma
Citoplasma
Mesosoma
Plásmido
Flagelo
Nutrición:
a. Autótrofas
Sintetizan sus propios alimentos y son algunas
bacterias. Por el tipo de energía que utilizan son:
- Fotosintéticas: Utilizan la energía luminosa
- Quimiosintética: Utilizan la energía química
b. Heterótrofas
Consumen alimentos y son la mayoría de bacterias.
Saprobiótica
El resto de nutriente ingresa por difusión y no necesita
digestión.
Ejemplo: Escherichia coli
II. CIANOBACTerIAS
(Algas azul verdosas o cianofitas)
A. Importancia
Fijadores de nitrógeno de esta forma aumenta la
fertilidad de los suelos. Tienen un tipo de reproducción
en el cual toda la colonia sufre fragmentación.
B. Definición
Organismos unicelulares procariotas de reproducción
asexual por bipartición.
C. Estructura
Clasificación
a. Por formas
Pueden ser: esféricas (coco), abastonadas (bacilo),
espiraladas (espirilos), en forma de coma(vibrio)
D. Nutrición
AUTÓTROFA fotosintética, utilizando los cianosomas
(contienen ficobilina: ficocianina) y las laminillas
(lamelas) fotosintéticas.
Energía de
la luz del Sol
6 H 2 O + 6CO 2
C 6 H 12 O 6 + 6O 2
agua
dióxido
de carbono
glucosa
oxígeno
Ejemplo: Nostoc; “cushuro”
san marcos rEGULar 2014 – II 3
bIoLoGía TEma 9
3

taxonomía - reino monera - protista y funji
REINO PROtIstA
(PROtOzOARIOs y AlgAs)
I. prOTOZOArIOS
A. Importancia biológica
Muchos son causantes de enfermedades
B. Definición
Organismos unicelulares eucariotas, heterótrofos
cosmopolitas
C. Clasificación
Se establece de acuerdo a la estructura presente en
la locomoción.
1. Clase MASTIGOPHORA (flagelados)
Presentan uno o más flagelos. Algunos son de
vida libre (no causan enfermedad) y otros son
parásitos. Ejemplos.
Trypanosoma cruzi : “Mal de Chagas”
Tripanosoma brucei : “Mal del sueño”
Giardia lamblia
: “Giardiasis” (diarreas)
Trychomona vaginalis: “Tricomoniaisis” (vaginitis)
Leishmania braziliensis: “Uta (ulceraciones” cutáneas)
3. Clase SARCODINA
Protozoarios que se desplazan emitiendo
pseudópodos o falsos pies, estos sirven para la
locomoción y para la alimentación.
Agente causal
Balantidium coli
Enfermedad
Balantidiasis ( diarrea
leve hasta disenterías)
Flagelo
Núcleo
Kinetoplasto
2. Clase Cilliata (ciliados)
Protozoarios que se desplazan mediante cilios
presentes en la superficie de su cuerpo. Presentan
macronúcleo y micronúcleo, citostoma (boca
celular), citofaringe, citopigio, (ano celular).
Ejemplo: Paramecium caudatum .
4. Clase APICOMPLEXA o SPOROZOA
(Esporozoarios)
Carecen de motilidad, son parásitos obligados.
Su reproducción es por esporulación. Presentan
complejo apical (presentan enzima que le
permite al parásito ingresar a las células). Causan
enfermedades.
Ejemplos:
Plasmodium sp (malaria y paludismo)
Toxoplasma gondii (toxoplasmosis)
TEma 9
bIoLoGía
4
4 san marcos rEGULar 2014 – II

taxonomía - reino monera - protista y funji
II. ALgAS
A. Definición
Organismo unicelulares eucariotas de nutrición
autótrofa fotosintética.
Cuando alcanza una gran biomasa desencadena un
fenómeno conocido como marea roja. Presenta una
par de flagelos y sus paredes son celulosa
B. Clasificación:
Las algas se clasifican teniendo en cuenta los
pigmentos, la sustancia de reserva y los componentes
de su pared celular, así tenemos:
1. Euglenofitas
Presentes en agua dulce. Sólo unos pocos miembros
habitan aguas marinas o son endosimbiontes.
Muchos poseen cloroplasto, aunque algunos hacen
fagocitosis o pinocitosis. Presentan una película,
compuesta por bandas proteicas, que se ubica
por debajo de la membrana celular y es sostenida
por microtúbulos dorsales y ventrales. Sustancia
de reserva paramilón.
3. Crisofitas
Integrada por las diatomeas, presenta un pigmento
de color pardo denominado fuxantina. La sustancia
de reserva que presentan es la crysolaminarina,
además que almacenar aceites carbohidratos.
Presenta sílice en su pared celular.
2. Pirrofitas
Esta división consta exclusivamente de formas
marítimas unicelulares llamadas dinoflagelados.
Presentan un pigmento denominado pirrofila el
cual les da la coloración roja.
REINO FuNgI
I. DefINICIóN
Organismos eucariotas, de nutrición heterótrofa absortiva
(digestión extracelular), algunos pueden ser unicelulares
(levaduras) y otros pluricelulares (mohos y setas).
Reproducción generalmente asexual por gemación
(levaduras) o esporulación (mohos y setas).
II. CLASIfICACIóN
A. Mixomicotas y Hongos inferiores
Son los hongos primitivos con una constitución
orgánica bastante simple, presenta dos fases,una
fase asimladora de vida libre formada por una masa
acelular llamada “plasmodio”, el cual presenta un
protoplasma multinucleado y una segunda etapa
reproductora llamada el esporocarpo que contiene
a las esporas. Son considerados hongos inferiores
como el Fusarium.
Esporas
(esporocarpo)
Núcleos
san marcos rEGULar 2014 – II 5
bIoLoGía TEma 9
5

taxonomía - reino monera - protista y funji
B. Eumicotas: Hongos Verdaderos
La complejidad presentada por estos hongos,
a. Características
La complejidad presentada por estos hongos, los
ubica en el rango de hongos superiores.
1. Estructura
Pared celular
Su composición química es quitinosa
(QUITINA: polisacárido nitrogenado). La
quitina es más resistente a la degradación por
microbios.
Hifa
Es la estructura básica en la conformación de
los hongos. Estas células en filamentos (hifas)
pueden ser:
a. Cenocítica o no tabicada: Es la hifa que
no presenta septos o tabiques.
b. Tabicada o no cenocítica: Es la hifa que
presenta septos o tabiques.
Micelio
Resulta de la reunión de las hifas,
presentando un aspecto de enmarañado de
filamentos.
2. Fisiología
Nutrición
Los hongos son organismos heterótrofos.
Saprobióticos absortivos.
b. Clasificación
También se presentan algunos criterios de
clasificación, siendo los más utilizados, las
características de las células reproductivas y de
los cuerpos fructíferos. En base a la estructura
que produce esporas son:
1. Ficomicetos (Ficomycota)
También se les conoce como ZIGOMICOTAS porque
las esporas sexuales son originadas a partir de
los esporangios, formados en las ZIGOSPORAS.
La ZIGOSPORAS son producto de la fusión sexual
de HIFAS. Presentan HIFAS CENOCÍTICAS muy
ramificadas, donde los rizoides, fijan al hongo al
sustrato. Presentan reproducción asexual (esporas)
y sexual. El producto de la reproducción sexual
es la cigospora.
Ejemplo:
Rhizopus nigricans “moho negro del pan”.
Ustilago carbo “carbón de los cereales”
2. Ascomicetos (Ascomycota)
También conocidas como hongos tipo saco.
Presentan un cuerpo fructífero llamado ascocarpo,
su reproducción asexual (conidios o conidiospora)
y sexual en un saco denominado asca (contiene 4
ascosporas: esporas sexuales).
Ejemplos:
Saccharomyces cereviceae : “levadura de la
cerveza”
Penicillium notatum : “produce antibiótico
penicilina”
TEma 9
bIoLoGía
6
6 san marcos rEGULar 2014 – II

taxonomía - reino monera - protista y funji
3. Basidiomicetos (Basidiomycota)
Su nombre se debe al hecho de formar un basidio, reproducción asexual (por conidias) y sexual por medio de
basidios (de él brotan las basidiosporas: esporas sexuales)
Ejemplos
Saprofitos: Agaricus campestris
Parásitos de plantas: royas y carbones
Venenosos: Amanita muscaria “falsa oronja”
Sombrerillo
o pileo
Pasidios
Esporas
Laminillas
o limineo
Anillo
Volva
Micelio
4. Deuteromicetos (Deuteromycota)
Conocidos como hongos imperfectos debido a que no se conoce su reproducción sexual, su reproducción asexual
(por medio de conidias).
Ejemplos:
Tricophyton rubrum “pie de atleta”.
Tricophyton tonsurans “tiña”.
Candida albicans “candiasis”
san marcos rEGULar 2014 – II 7
bIoLoGía TEma 9
7

taxonomía - reino monera - protista y funji
AuTOeVALuACIóN
SIMpLeS
1. Organismos unicelulares, eucariotas, heterótrofos, sin
pared celular; pueden pertenecer al reino:
A) Monera
B) Protista
C) Fungi
D) Plantae
E) Eubacterya
2. Hongo productor del primer antibiótico descubierto por
Alexander Fleming:
A) Fusarium
B) Aspergillius
C) Rhizopus
D) Penicillium
E) Bacillus
3. Taxonómicamente, el ser humano pertenece al orden:
A) Primate
B) Homínido
C) Mamífero
D) Vertebrado
E) Homo
4. El nombre científico de la flor nacional es:
A) Pyrus malus
B) Aloe vera
C) Urtica dioica
D) Kantua buxifolia
E) Oriza sativa
COMpLeJAS
5. Las euglenofitas tienen una nutrición _________ ,
mientras que la mayoría de bacterias conocidas son
__________ .
A) Solo autótrofa – heterótrofas
B) Mixótrofa – heterótrofas
C) Mixótrofa – autótrofas
D) Solo autótrofas – autótrofas
E) Autótrofa – mixótrofas
6. La siguiente forma representa un:
A) Bacilo
B) Sarcina
C) Estreptococo
D) Estafilococo
E) Diplococo
7. _________ produce enfermedades en inmunodeprimidos
y pertenece al reino ____________
A) Saccharomyces cereviceae- Fungi
B) Agaricus campestris - Fungi
C) Penicillium chrysogenum - Protista
D) Cándida albicans - Fungi
E) Neurospora crasa - Monera
SINTeSIS
8. La reproducción __________ de los hongos se da por
estructuras especializadas denominadas __________:
A) Sexual - Cuerpos fructíferos
B) Asexual - Ascas
C) Asexual - Ascosporas
D) Asexual - Conidios
E) Sexual - Basidiosporas
9. Relaciona:
I. Ascospora ( ) BASIdIOMICETOS
II. zigosposporas ( ) ASCOMyCETOS
III. Basidiosporas ( ) CIGOMyCETOS
A) II - II- I B) II - I – III
C) III - I – II D) I – II – III
E) III - II - I
10. Responde Verdadero (V) o falso (F):
( ) Las diatomeas tienen una pared celular exclusivamente
con celulosa
( ) Las pyrrophtas presenta dos flagelos
( ) Los protistas son seres unicelulares
( ) Euglena no realiza fotosíntesis
A) FFVF B) FVVF
C) VFVF D) VFFV
E) VVVV
TEma 9
bIoLoGía
8
8 san marcos rEGULar 2014 – II

azonamIEnto matEmátIco
tEma 9
oPEraDorEs matEmátIcos
DESARROLLO DEL TEMA
I. OPERADORES MATEMÁTICOS
Es una correspondencia o relación mediante la cual uno
o más números se les hace corresponder otro llamado
resultado, sujeto a ciertas reglas o leyes perfectamente
definidas.
Dichas reglas o leyes pueden ser descritas mediante
palabras, pero por razones de simplificación se les
representa mediante símbolos llamados "operadores
matemáticos".
Ejemplo:
Calcular:
E = 7 i 4
Reemplazando en la definción:
E = 7 i 4 = 3(7) + 5(4) – 2(7)(4) + 8
E = 21 + 20 – 56 + 8 = – 7
Los tipos de problemas que se presentaran con las
operaciones matemáticas arbitraria son:
• Con fórmulas explícitas
La operación tiene su regla de definición que sólo
depende de operaciones matemáticas universalmente
definidas.
• Con fórmulas implícitas
La operación tiene su regla de definición dependiente
de otras operaciones arbitrarias o también de la misma
definición original.
En este capítulo el alumno aprenderá a interpretar una
operación matemática arbitaria, y hacer el uso correcto de
su respectiva regla de definición para obtener el resultado
solicitado. Dicha reglas de definición estarán definidas por
símbolos arbitrarios como por ejemplo: ...
• Con cuadro de tabla entrada
san marcos rEGULar 2014 – II 1 raz. matEmátIco tEma 9
1

OPERADORES MATEMÁTICOS
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
3
Si: a∆
b= a + b + a×
b
Calcular: E = 9 i 8
A) 89
B) 94
C) 77
D) 17
E) 70
Resolución:
Reemplazando en la definición:
3
E= 9∆
8= 9 + 8 + 8×
9
∴E = 3 + 2 + 71 = 77
Respuesta: C) 77
Problema 2
Si: a b a
a e 3 b = + +
a–
b b
Calcular:
M=
3e
2
A) 9/8
B) 3/2
C) 8/9
D) 145/8
E) 8/145
Resolución:
Dándole forma según la definición:
M= 3e 2=
9 e 3 8
9 + 8 9 145
∴ M = + =
9 – 8 8 8
Respuesta: D) 145/8
Problema 3
a a–
b
Si: = b ; Calcule:
b
4 4– 3 1
= 3 = 3 = 3
3
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
Resolución:
Desarrollando el casillero superior:
Reemplazando
4 4– 3 1
= 3 = 3 = 3
3
4 3 3– 2 1
= = 2 = 2 = 2
3 2
2
Respuesta: A) 2
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN
1. Se define el operador en los reales
(2x x – 1 ) # (3y y + 1 ) = x 2 + y 2
Entonces el valor de:
3.
1
Si:
⎞ R
2
⎜ A A 2B
B
⎟ = –
⎝ ⎠
Hallar: 2 R 3
A) 81 B) 80 C) 72
D) 64 E) 15
Calcular:
3
1
2
27
64
128 # 243
A) 4 B) 5 C) 6
D) 10 E) 9
2. Sabiendo que
a = a 2 – 1; a = a(a + 2)
Calcular:
8 – 2
4. Si: x = (x + 1) 2
Hallar “n”:
n = 100
A) 2 B) 2 + 1
C) 2 – 1 D) 2
E) 4
5. Si se cumple que:
A) 24 B) 36 C) 16
D) 9 E) 12
PROFUNDIZACIÓN
6. Si: x + 3 = x 2 + 6x – 1
Hallar:
6 + 5
A) 1 B) 5 C) 6
D) 0 E) 4
a 2
b
= (a 6 ) × ( 6 b)
A) –5 B) 4 C) –4
D) –3 E) –9
tEma 9
raz. matEmátIco
2
2 san marcos rEGULar 2014 – II

3
oPEraDorEs maTEmÁTIcos
7. Sabiendo que:
x = 4x – 1
x = x 9 + 4
9. Se define:
x = (x – 6) x + 1
A =
Calcular:
1
2
3
4
100
11. Si: x 2 – 2x + 3 = 2x 2 – 4x
Calcular:
4 + 4 + 3 + 1 + ...
30 operadores
Calcular:
5
A) 0 B) 1 C) 25
D) 3 E) 12581
A) 900 B) 930 C) 960
D) 8100 E) 3600
A) 1 B) -1 C) 0
D) 2 E) -2
SISTEMATIZACIÓN
12. Si:
a
b
= x
8. Se define la operación “a @ b”
como: el triple del exceso del
inverso de “a” sobre el inverso de
“b”; calcule: 3 @ 9.
A) 2/3 B) 1/2 C) 2
D) 1/3 E) 1/5
10. Si: x m ix = m 2 + 1
Calcular el valor de:
A) 601
750
D) 576
601
4 4
2 2 ∆ 4 4
B) 501
576
E) 576
567
C) 601
576
Además: b = a x
Calcular:
4 2 9
9 8 4
A) 1/3 B) 1/2 C) 1
D) 3 E) 2
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raz. maTEmÁTIco
TEma 9