Integrales multiples - Escuela de Matemáticas de la UIS

Valor promedio de una función en un rectángulo
El valor promedio de una función f de dos variables de…nida en un rectángulo
R se de…ne por
f prom = 1 ZZ
f (x; y) dA
A (R)
donde A (R) es el área de R.
Si f (x; y) 0, la ecuación
ZZ
A (R) f prom =
R
R
f (x; y) dA;
esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá…ca de f es igual al de
la caja con base R y altura f prom .
Ejemplo
Calcular el valor promedio de f (x; y) = p 1 x 2 en R = [ 1; 1] [ 2; 2].
Solución.
Observe que z = p 1 x 2 representa la mitad superior ZZ del cilindro de radio 1 y
p
altura 4 que yace sobre el rectángulo R. Luego 1 x2 dA = 1 24 = 2.
R
Ahora,
f prom = 1 ZZ p
1 x2 dA = 1 A (R)
8 2 = 4 :
R
G A D ( U I S ) I n t e g r a l e s d o b l e s S e g u n d o s e m e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3