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7. Ejes de los elipsoides de inercia Las características de inercia de un sólido rígido respecto a un punto del espacio están condensadas en su elipsoide de inercia. La ecuación del elipsoide de inercia de un punto O, si I es su tensor de inercia, es r · I · r = k 2 donde r es un vector de posición con origen en O y k es una constante arbitraria con dimensiones. Dado un punto O del espacio, podemos clasificar el conjunto de rectas que pasan por O en dos grupos: las que son ejes del elipsoide de inercia de O, y las que no lo son. La condición para que una recta δ, paralela al vector unitario u, sea eje del elipsoide de inercia anterior, es que corte perpendicularmente a dicho elipsoide. La normal al elipsoide de inercia de O en un punto P posicionado por el vector r es paralela al vector DFAII M ɛ cFunN ɛ t ◭◭ Título Contenido ◮◮ grad(r · I · r) = 2I · r ◭ ◮ pero, dado que r es paralelo a u, un vector normal al elipsoide de inercia es: I · u y la condición para que δ sea eje del elipsoide de inercia de O es que I o · u = λu Volver Atrás Cerrar Salir Página 24 de 41
para algún λ real, lo cual expresa la ortogonalidad entre recta y elipsoide. El primer miembro de la ecuación anterior representa una función vectorial definida para cada punto O del espacio y para cada recta que pase por ese punto. Llamemos a dicha función vector de inercia l(O, u), ya documentada en [3]: l(O, u) = I o · u y la condición anterior para que δ sea eje del elipsoide de inercia de O es: l(O, u) × u = 0 Escribimos la expresión matricial del teorema de Steiner: DFAII M ɛ cFunN ɛ t (I) = (I ∗ ) + M nor(r c )(U) − M(r c ) T (r c ) donde U es la matriz identidad 3 × 3 y I ∗ es el tensor de inercia del centro de masas. La función l(O, u puede escribirse, a la vista de la ecuación anterior: l(O, u) = l(C, u) + M(nor r c )u − Mr c (r c · u) lo que constituye la fórmula de Steiner para el vector de inercia. La condición para que δ sea eje del elipsoide de inercia de O queda l(C, u) × u = M(r c · u)r c × u (5) Título Contenido ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Volver Atrás Cerrar Salir Página 25 de 41
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