geometrÃa de masas - MecFunNet

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que O, O ′ ∈ δ ⇒ O ′ O = λu ⇒ O ′ P = O ′ O + OP Por lo que ∫ M ′ δ = u × ((O ′ O + OP ) × u)dV = ∫ ∫ u × ((λu + OP ) × u)dV = u × (OP × u)dV = M δ Puede relacionarse el momento estático respecto a una recta con el momento estático respecto a uno cualquiera de sus puntos. ∫ ∫ M δ = u × (OP × u)dV = u × [( OP dV ) × u] = u × [M O × u] Es decir, el momento estático respecto a una recta es la proyección sobre el plano perpendicular a dicha recta del momento estático respecto a cualquiera de sus puntos. Además, ya que OC = M O , se concluye M que el centro de masas se encuentra sobre una recta paralela a δ desplazada respecto a ésta el vector M δ . Si la recta δ contiene a C, entonces, M obviamente, M δ = 0. De la misma forma que se ha definido el momento estático para rectas, se puede definir para planos. Sea π un plano, u un vector unitario perpendicular y O un punto de π. Se define el momento estático respecto al plano π como: ∫ M π = (u · OP )uρdV Esta definición no debe depender de la elección del sentido de u ni de la del punto O. En efecto, la aparición del vector multiplicando dos veces en DFAII M ɛ cFunN ɛ t ◭◭ ◭ Título Contenido Volver Atrás Cerrar Salir ◮◮ ◮ Página 8 de 41
el integrando hace que éste no dependa del sentido de u. En cuanto a la elección de O, sea O ′ ∈ π: ∫ ∫ M ′ π = (u · O ′ P )uρdV = (u · [O ′ O + OP ])uρdV ∫ M ′ π = (u · OP )uρdV = M π ya que u · O ′ O = 0 pues O, O ′ pertenecen a π. Se comprueba que ∫ ∫ M π = (u · OP )uρdV = (u · [ OP ρdV ])u DFAII M ɛ cFunN ɛ t es decir, que el momento estático respecto a un plano es la proyección perpendicular al mismo del momento estático respecto a cualquiera de sus puntos. Igualmente, el momento estático respecto a un plano proporciona información sobre la posición del centro de masas respecto a dicho plano. En efecto, si el momento estático respecto a π de una distribución de masas es M π , entonces C se encuentra en un plano paralelo al anterior, desplazado M π M y, si C ∈ π ⇒ M π = 0. Dado que si i, j, k son tres vectores unitarios perpendiculares, se tiene: se tiene que OP = (OP · i)i + (OP · j)j + (OP · k)k Título Contenido ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Volver Atrás Cerrar Salir Página 9 de 41 M O = (M yz ·i)i+(M zx·j)j +(M xy ·k)k ⇒ M O = M yz +M zx +M xy
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