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La ecuación (7)se escribe l(O ′ , u) = l(C, u) + M nor(λu + r c )u − M((λu + r c ) · u)(λu + r c ) multiplicando vectorialmente por u l(O ′ , u)×u = l(C, u)×u+M nor(λu+r c ) u } {{ × u } −M((λu+r c )·u)(λu+r c )×u =0 l(O ′ , u)×u = l(C, u)×u−M((λu+r c )·u)λ u } {{ × u } −M((λu+r c )·u)r c ×u =0 DFAII M ɛ cFunN ɛ t l(O ′ , u) × u = l(C, u) × u − λMr c × u − M(r c · u)r c × u (8) multiplicando la ecuación (6) vectorialmente por u l(O, u) × u = l(C, u) × u − M(r c · u)r c × u (9) Haciendo l(O ′ , u) × u = 0 y restando (8) de (9) queda: Título Contenido ◭◭ ◮◮ l(O, u) × u = λMr c × u (10) ◭ ◮ Si existe algún valor de λ que satisface la ecuación (10) entonces existe un punto O ′ posicionado por OO ′ = −λu cuyo elipsoide de inercia tiene a la recta δ como eje. Pero la ecuación anterior sólo puede satisfacerse si los vectores l(O, u)×u y Mr c ×u son paralelos pues, en caso contrario, ningún escalar λ, multiplicado por el segundo, puede dar el primero. La colinealidad de estos dos vectores exige el paralelismo de los planos (l(O, u), u) Volver Atrás Cerrar Salir Página 28 de 41
y (r c , u) lo que matemáticamente se expresa por la nulidad del producto mixto: (l(O, u), r c , u) = 0 (11) que puede escribirse, aplicando la fórmula de Steiner para el vector de inercia: (l(C, u) + M nor r c u − M(u · r c )r c , r c , u) = 0 donde los dos últimos sumandos del primer factor son paralelos al tercer y segundo factores respectivamente, por lo que pueden simplificarse, obteniendo la condición DFAII M ɛ cFunN ɛ t (l(C, u), r c , u) = 0 (12) que representa la consición analítica necesaria y suficiente para que una recta que no pase por C sea eje del elipsoide de inercia de alguno de sus puntos. Llamaremos a la ecuación anterior test de inercia o condición de inercialidad. Supuesto que (12) es satisfecha, entonces sólo hay un valor de λ que satisfaga la ecuación (10), por lo que sólo existe un punto O ′ de cuyo elipsoide de inercia sea eje la recta δ. Dicho punto está posicionado por: OO ′ = − (l(C, u), u, u π) M(r c , u, u π ) u donde u π es un vector perpendicular al plano r c , r c y el denominador no puede anularse, pues si lo hiciese, δ contendría C, contra lo supuesto. Las conclusiones obtenidas pueden condensarse en el siguiente: Título Contenido ◭◭ ◮◮ ◭ ◮ Volver Atrás Cerrar Salir Página 29 de 41
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