07. MÃ©todos de Runge-Kutta implÃcitos - MatemÃ¡tica Aplicada a la ...

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Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosen las que las etapas k i aparecen no sólo a la izquierda del signo =,sino también a su derecha e incluidos en las variables de unafunción f que en nuestro estudio no es ni fácil ni complicada sinosólo una ’simple letra’.En otras palabras; los valores de las etapas k 1 , k 2 ... que antes seobtenían de forma (matemáticamente) exacta medianteasignaciones, ahora sólo se pueden obtener en principio de maneraaproximada y eso a base de muchas evaluaciones de f .Lo más usual es proceder con la llamada ’iteración de punto fijo’para el cálculo de aproximaciones de las etapas k 1 , k 2 ... Consisteen darse valores ’arbitrarios’ de k 1 , k 2 y k 3 (en el caso de tresetapas), valores que llamaremos k 1,0 , k 2,0 y k 3,0 , y proceder arefinar sucesivamente estos valores mediante la repetida iteración dek 1,i+1 = f (x n + c 1 h, y n + a 1,1 h k 1,i + a 1,2 h k 2,i + a 1,3 h k 3,i )k 2,i+1 = f (x n + c 2 h, y n + a 2,1 h k 1,i + a 2,2 h k 2,i + a 2,3 h k 3,i )k 3,i+1 = f (x n + c 3 h, y n + a 3,1 h k 1,i + a 3,2 h k 2,i + a 3,3 h k 3,i )07. Métodos de Runge-Kutta implícitos
Los métodos implícitosMétodos implícitos y métodos de GaussEjemplosNaturalmente, elegir estos valores ’arbitrarios’ cercanos a losverdaderos, aunque desconocidos, k 1 , k 2 y k 3 , hace queobtengamos buenas aproximaciones con muy pocas iteraciones. Seprocura generalmente que la cercanía valores iniciales - valoresverdaderos sea grande para que una sola iteración sea suficiente(otra cosa aumentaría de manera desproporcionada el número deevaluaciones de f ).Cada uno de los métodos que veremos posee una o varias formasde encontrar valores iniciales convenientes de las etapas, lo quepermite entonces que se conviertan en métodos realmenteutilizables. Algunos ejemplos nos llevaran enseguida a tenerpráctica en esta organización.07. Métodos de Runge-Kutta implícitos
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