pdf-muodossa - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

Matematiikkalehti1/2012http://solmu.math.helsinki.fi

2 Solmu 1/2012Solmu 1/2012ISSN-L 1458-8048ISSN 1459-0395 (Painettu)ISSN 1458-8048 (Verkkolehti)Matematiikan ja tilastotieteen laitosPL 68 (Gustaf Hällströmin katu 2b)00014 Helsingin yliopistohttp://solmu.math.helsinki.fiPäätoimittaja:Markku Halmetoja, lehtori, Mäntän lukioToimitussihteeri:Juha Ruokolainen, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoSähköposti:toimitus@solmu.math.helsinki.fiToimituskunta:Pekka Alestalo, dosentti, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakouluHeikki Apiola, dosentti, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakouluSirkka-Liisa Eriksson, professori, Matematiikan laitos, Tampereen teknillinen yliopistoAapo Halko, FT, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoAri Koistinen, FM, Metropolia AmmattikorkeakouluMika Koskenoja, yliopistonlehtori, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoMatti Lehtinen, dosentti, Helsingin yliopistoLiisa Näveri, tutkijatohtori, Opettajankoulutuslaitos, Helsingin yliopistoMarjatta Näätänen, dosentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoAntti Rasila, tutkija, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakouluHilkka Taavitsainen, lehtori, Ressun lukioGraafinen avustaja:Marjaana BeddardYliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkilöt:Virpi Kauko, FT, matemaatikko, virpi@kauko.org, JyväskyläJorma K. Mattila, professori, jorma.mattila@lut.fiSovelletun matematiikan laitos, Lappeenrannan teknillinen yliopistoJorma Merikoski, dosentti, jorma.merikoski@uta.fiMatematiikan ja tilastotieteen laitos, Tampereen yliopistoPetri Rosendahl, assistentti, petri.rosendahl@utu.fiMatematiikan laitos, Turun yliopistoMatti Nuortio, tutkijatohtori, matti.nuortio@oulu.fiMatemaattisten tieteiden laitos, Oulun yliopistoTimo Tossavainen, yliopistonlehtori, timo.tossavainen@uef.fiSoveltavan kasvatustieteen ja opettajankoulutuksen osasto, Itä-Suomen yliopistoNumeroon 2/2012 tarkoitetut kirjoitukset pyydämme lähettämään 10.4.2012 mennessä.Kiitämme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa.Huom! Solmun paperiversio postitetaan vain niihin kouluihin, jotka ovat sitä erikseen pyytäneet. Toivomme,että lehteä kopioidaan kouluissa kaikille halukkaille.

Solmu 1/2012 3SisällysPääkirjoitus: Uuden päätoimittajan mietteitä (Markku Halmetoja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Baltian Tie 2011 -joukkuematematiikkakilpailu Greifswaldissa Saksassa (Joni Teräväinen) . . . 6Lukion trigonometriaa (Markku Halmetoja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan alkukierroksen tiimoilta (Matti Lehtinen) . . . . 12Solmun Matematiikkadiplomit (Marjatta Näätänen). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16Matematiikka kiehtoo taas (Matti Lehtinen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Wolfram|Alphasta, parametriesityksistä ja hiukan muustakin (Ari Koistinen) . . . . . . . . . . . . . . . 21Pelitehtäviä (Tuomas Korppi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Olisiko ammattini matemaatikko? (Matti Lehtinen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Tuomaksen tehtäviä (Tuomas Korppi). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

4 Solmu 1/2012Uuden päätoimittajan mietteitäPäätoimittaja vaihtuuSolmun päätoimittaja vaihtuu. Matti Lehtinen jatkaaonneksemme Solmun toimituskunnassa, mutta onkuusivuotisen päätoimittajakautensa jälkeen oikeutettuhieman vapaamuotoisempaan toimintaan matematiikantunnetuksi tekemisessä. Lukijoiden, toimituskunnanja omasta puolestani kiitän Mattia hänen ansiokkaastaja uhrautuneesta työstään Solmun hyväksi.Hänen kymmenet kirjoituksensa ovat osaltaan tekemässäSolmusta tavanomaista oppilaslehteä suuremman:Solmusta on muodostunut todellinen koulumatematiikantietopankki, jonka nettisivulta löytyy kaikkimahdollinen alakoulun diplomitehtävistä matematiikanolympiavalmennukseen.Lehden linja jatkuu entisenä. Päätavoitteena on lisätämatematiikan harrastusta lukiolaisten ja peruskoululaistenkeskuudessa. Tulemme siis julkaisemaan kirjoituksia,joissa mahdollisimman ymmärrettävällä tasollalaajennetaan koulussa opittua matematiikan oppimäärääja annetaan siihen uusia näkökulmia. Julkaisemmemyös matematiikkaa popularisoivia kirjoituksia, silläkoululaisten on hyödyllistä tuntea matematiikan sovelluksia.Koulussahan niihin ei juurikaan päästä, silläsiellä ollaan vasta ottamassa ensiaskelia sillä tiellä, jokamyöhemmin johtaa todellisiin sovelluksiin.Lehti julkaisee myös matematiikan asemaa koululaitoksessaja yhteiskunnassa ruotivia poleemisia kirjoituksia,koska tällaisten tekstien julkaisukanavat ovat muutenolemattomat. Varsinkin pääkirjoituksissa tullaan aktiivisestipuuttumaan ajankohtaisiin koulupoliittisiin ilmiöihinmatematiikan osalta.Solmun tekeminen on pääosin talkootyötä, johon alation voimassa avoin kutsu kaikille matematiikkaa harrastaville.Kirjoituksia ja lehden tunnetuksi tekemistätarvitaan. Toivomme, että opettajat huolehtivat sen jakamisestaainakin matematiikasta kiinnostuneille oppilaille.Tällaiset oppilaat voisivat muodostaa kouluunsaSolmu-työryhmän, joka seuraisi aktiivisesti lehden nettisivuaja facebook-ryhmää, mainostaisi lehteä vaikkapaSolmun sivulta saatavaa julistetta levittämällä jaottaisi vastuulleen lehden jakelun. Luonnollisesti myösoppilaiden kirjoitukset ovat tervetulleita.Ajankohtaista koulukeskusteluaSanotaan, että tulevaisuutta on vaikeaa nähdä, sillä seon visioiden peitossa. Toisaalta, ovelasti laaditut visiotmuuttuvat helposti yleisesti hyväksytyiksi tavoitteiksi,joihin sitten pyritään tarkemmin ajattelematta. Ennusteetalkavat toteuttaa itseään samalla tavalla kuinjotkut omaksuvat persoonallisuuteensa piirteitä horoskooppikirjojalukemalla.Opetushallitus on visioinut lukion tulevaisuutta laadittamallaosoitteesta [1] löytyvän ”Oppimisen tulevaisuus2030-barometrin”. Sitä on työstänyt Otavan OpistonOsuuskunta, Demos Helsinki ja Turun yliopistonTulevaisuuden tutkimuskeskus. Barometri on tehty ns.Delfoi-menetelmällä. Jonkinlaisen viitekehyksen poh-Pääkirjoitus

Solmu 1/2012 5jalta on esitetty väittämiä lukiokoulutuksen tulevaisuudesta.Niitä pohtii joukko asiantuntijoita, joista onmuodostettu pääpaneeli ja haastajapaneeli. Pääpaneelikoostuu koulumaailmassa ja elinkeinoelämässä toimivistahenkilöistä. Haastajapaneeliin oli kutsuttu peruskoulunja lukion kehittäjähenkilöitä eri puolilta maata.Haastajapaneeli pyrkii kyseenalaistamaan pääpaneelilaistenkantoja. Eräistä väittämistä saavutetaan yksimielisyys,eräät jäävät rakentavan keskustelun alaisiksija jotkin väittämät muuttuvat ratkaisemattomiksi kiistakysymyksiksi.Tavoitteena on ollut löytää mahdollisimman paljonerilaisia mahdollisuuksien rajoissa olevia tulevaisuuksia.Niille on kehitetty englanninkielinen nimitys ”futuribles”.Termille ei vielä ole suomenkielistä vastinetta,joten tähän ilmaisuun tullaan vastaisuudessa törmäämäänopetushallituksen julkaisuissa ja koulutuksissa.Mahdollisia tulevaisuuden kehityskulkuja on löydetty,niitä on ruodittu ja niiden toteutumistodennäköisyyksiäon arvioitu. Hämmästystä herättää kuitenkinse, että matematiikka on mainittu tekstissä vainmuutaman kerran, ja silloinkin lähinnä sivulauseissa.Siitä käytetään myös halventavaa ilmaisua ”välineaine”.Matematiikka on kuitenkin itsenäinen tiede ja seon perustana kaikessa kvantitatiivisessa tutkimuksessasekä luonnon- että yhteiskuntatieteissä. Siksi barometrinyksi keskeisistä kysymyksistä olisi pitänyt olla matematiikanaseman laadullinen kehittäminen kouluopetuksessa.Aiheutuuhan moni opintojen keskeytyminenja viivästyminen koulussa saadusta heikosta matematiikanpohjasta.Mielenkiintoista on, mitä asioita tulevaan kehitykseenvaikuttamaan pyrkivät tahot nostavat esiin tästä 130sivua käsittävästä opuksesta. Tässä mielessä barometritoimii kuten klassinen mustetahratesti psykologiassa.LUMA-keskus [2] nostaa päällimmäiseksi väitteen,jonka mukaan lukio muuttuu yleissivistävästä oppilaitoksestasoveltavaksi. Ounastellaan, että lukiossa tullaanyhä enemmän keskittymään kansallisten ja globaalienongelmien pohtimiseen ja että yleissivistys saadaansosiaalisen median kautta. Naamakirjasivistyksenturvin lähdetään sitten ratkomaan ihmiskuntaa koskeviavakavia ongelmia! Tällaisen näkemyksen omaavanhenkilön yleissivistys ilmeisesti on juuri naamakirjastaperäisin. Tietämäni mukaan ainakin osa siellä esiintyvistäaktiviteeteista on kylähullujen yllyttämistä typeryyksiinkuten viikkokausien istuskeluun kaivinkoneenohjaamossa, osa taas on virtuaalisten hevostallien rakenteluaja sitä, että heitetään kaveria lehmällä. Yleissivistyksenasema tulevaisuuden koulussa jääkin barometrissalopulta ratkaisemattomien kiistakysymystenjoukkoon.Mikä sitten hyvien käytöstapojen lisäksi on todellistayleissivistystä, jota osa panelisteistakin edellyttääyhä peruskoulussa ja lukiossa opittaviksi? On osattavailmaista itseään suullisesti ja kirjallisesti. Klassisestamaailmankirjallisuudesta suodattuu elämänkokemusja viisaus. Historiaan perehtyminen antaa perspektiiviänykypäivän ongelmiin. Luonnon lainalaisuudet on tunnettava,koska ne eivät ole ihmisen säädettävissä vaanniihin on mukauduttava. Lähes jokaisella lienee tarveilmaista itseään jossakin määrin taiteen keinoin. Kieliäon osattava. Yleissivistykseen kuuluu myös algebran jageometrian alkeet siinä mielessä, kuin ne koulumatematiikassaymmärretään. Kaikki mainittu vaatii henkilökohtaistapaneutumista. Koulun tehtävänä on varmistaaoppilaalle nämä taidot, joita ilman ei voi rakentaatulevaisuuttaan ja ihmissuhteitaan. Tämän ajattomansivistyksen lisäksi on aikaan sidottua yleissivistystä,kuten erilaisten digitaalisten laitteiden käyttöliittymienhallinta. Se näyttää sujuvan koulusta riippumatta,sillä koulujen laitteistot ovat aina ajastaan jäljessä.Barometrissa ei siis matematiikasta puhuta paljoakaanja LUMA-keskus ohittaa sen kokonaan. Sen sijaan puhutaan”ongelmanratkaisutaidosta”. Onko tämä tulkittavaniin, että ainakin osa kouluasioista vastaavistapäättäjistä ja vaikuttajista on vakavissaan pyrkimässäoppiainerajojen hävittämiseen? Ollaanko koulumatematiikkaalopullisesti vesittämässä joksikin ongelmanratkaisuopiksi?Onko nimimerkki Negatiivin keväällä2011 LUMA-sanomissa esittämä ajatus lukion pitkänja lyhyen matematiikan yhdistämisestä edelleen hengissäjossakin kouluhallinnon byrokratian syövereissä?Viitteet[1] http://www.oph.fi/download/137072_Lukion_tulevaisuus_2030.pdf[2] http://www.luma.fi/artikkelit/942/miltae-naeyttaeae-lukion-tulevaisuusMarkku HalmetojaPääkirjoitus

6 Solmu 1/2012Baltian Tie 2011 -joukkuematematiikkakilpailuGreifswaldissa SaksassaJoni TeräväinenHelsingin matematiikkalukioTorstaina 3.11. viisi matemaattisesti lahjakasta lukiolaistaOtte Heinävaara, Markus Pajarre, Joni Teräväinen,Felix Vaura ja Jiali Yan sekä joukkueenjohtajatKerkko Luosto ja Matti Lehtinen kohtasivat Helsinki-Vantaan lentokentällä, kun oli aika lähteä vuotuiseenBaltian tie -joukkuematematiikkakilpailuun, joka järjestettiintällä kertaa Greifswaldissa Itämeren rannallaPohjois-Saksassa. Berliinin Tegelin lentokentältä matkustettiinbussilla ja junalla kilpailukaupunkiin, jossaoppaat olivat joukkuetta vastassa. Hotellissa vastaanottooli erittäin positiivinen, sillä saimme heti järjestäjiltätyylikkäät paidat ja laukut kilpailun neliöjuuri pii-logolla varustettuina. Ruoka oli myös hyvää.Ensimmäisenä iltana me kilpailijat laskimme pari kilpailutehtävääja menimme sen jälkeen nukkumaan pitkästämatkasta väsyneinä. Toisena päivänä johtajillammeoli ohjelmassa tehtävien valitsemista ja kääntämistä,kilpailijoilla puolestaan bussiretki, jonka aikana kävimmemuun muassa neuvostoliittolaisessa sukellusveneessä,tiedekeskuksessa, jossa oli hieno lasershow, jaGreifswaldin ydinvoimalassa, joka oli Itä-Saksan suurinydinvoimala mutta lakkautettiin pian Saksojen yhdistymisenjälkeen. Pääsimme käymään sisällä yhdessäreaktoreista, jota ei oltu koskaan otettu käyttöön.Siellä pääsimme tutustumaan ydinvoimalan toimintaperiaatteeseenja jopa kurkistamaan sisään itse ydinreaktoriin.Hotellilla oli jälleen illallinen, jonka jälkeenkeilasimme puolalaisia vastaan. He taisivat voittaa,mutta vain niukasti. Sen jälkeen joukkueemme meninukkumaan, sillä seuraavana aamuna oli itse kilpailuGreifswaldin Humboldt-Gymnasiumissa.Suomen joukkue luottavaisena ennen kilpailun alkua.Vasemmalta Joni Teräväinen, Markus Pajarre, JialiYan, Otte Heinävara ja Felix Vaura.Kilpailuaamuna päätin katsoa erään vanhan kansainvälistenmatematiikkaolympialaisten funktionaaliyhtälötehtävänratkaisun, jottei tehtävä jäisi vaivaamaanminua kilpailussa. Yllättäen pääsin käyttämään ratkaisunideaa eräässä Baltian tien tehtävistä; ellen olisikatsonut ideaa, olisimme todennäköisesti saaneet vähemmänarvokkaita pisteitä. Joukkueemme oli tasapainoinenja teki hyvin yhteistyötä. Kuitenkin tuntuu,

Solmu 1/2012 7että mukana oli myös hieman onnea. Edellä mainitunonnekkaan sattuman lisäksi yksi kombinatoriikantehtävä ratkesi viime minuuteilla yhteistyöllä, ja viimehetkellä hutiloidusta algebran tehtävästä irtosi pistevastoin odotuksia. Kilpailun jälkeen kuitenkin suhtauduimmevarovaisesti mahdolliseen menestykseen. SöimmeHumboldt-lukiossa, minkä jälkeen meidät vietiinGreifswaldin kauniin keskiaikaisen vanhankaupunginopastuskierrokselle. Tämän jälkeen vierailimme PommerschesLandesmuseumissa, jossa oli näytillä niin taidettakuin luonnontiedettä, mutta tässä vaiheessa monetkilpailijat olivat jo väsyneitä neljä ja puolituntisenkilpailu-urakan jäljiltä. Tämän jälkeen söimme kaupungilla,ja Saksassa hyvin suosittu döner kebab antoijoukkueellemme lisää energiaa. Kyseessä ei ollut ainoakerta, kun söimme kyseistä kebabia, ja se onkin Saksassayksi suosituimmista pikaruuista. Syömisen jälkeenkilpailijat vietiin elokuviin katsomaan matematiikkaaiheeseensopivaa elokuvaa ”21”, joka on fiktiivinen tarinaopiskelijoista, jotka tienaavat omaisuuden Las Vegasissalaskemalla kortteja blackjackissä.jossa Baltian tien tulokset julistettiin. Varovaisesti toivoimmeennen palkintojenjakoa vain saavamme paremmantuloksen kuin viime vuonna, jolloin Suomi oli toiseksiviimeinen. Olimme kuitenkin kuudensia, keskimmäisiäyhdestätoista osallistujajoukkueesta. Mikä hienointa,voitimme kaikki osallistuneet naapurimaammeViron, Norjan ja Ruotsin. Voitto Ruotsista kahdellapisteellä tuntui hyvältä, sillä kansainvälisissä matematiikkaolympialaisissahävisimme viimeksi ruotsalaisille,nyt oli meidän vuoromme voittaa heidät. Kilpailunvoitti Puola, kakkosena oli hieman yllättäen Latvia jakolmas oli Saksa. Kilpailussa tämän vuoden vierailijamaaEtelä-Afrikka jäi viimeiseksi. Mikäli numerosymboliikkaanon uskomista, sijoituksemme lupaa jatkossakinhyvää menestystä. Saimme nimittäin alkulukuvuonna2011 täsmälleen puolet pisteistä, ja sijoituksemmeoli täydellinen luku 6.Viittä vaille valmis Wendelstein 7 -fuusioraktori.Joukkueen johtaja Kerkko Luosto ihailee vastauksia.Neljäntenä päivänä ohjelmassa oli vierailu Max Planckinplasmafysiikkainstituuttiin, jossa kuuntelimmeluentoa fuusioenergiasta ja näimme oikean fuusioreaktorin,ja olimme itse asiassa viimeinen ryhmä, joka näkisen sisään, ennen kuin reaktorin viisikulmion muotoiseltatorukselta näyttävä ulkokuori hitsattaisiin umpeen.Iltapäivällä menimme Greifswaldin yliopistoon,Viimeisenä päivänä lähdimme Greifswaldista aamulla,ja junamatka Berliiniin kului Ruotsin kansallisen kilpailuntehtävät ratkaistessa. Kotimatka sujui hyvin, jaHelsinki-Vantaalta lähdimme omille teillemme. Kaikillaoli varmasti mukavaa ja paljon mielenkiintoista kerrottavaakotiin päästyään.Vuoden 2011 Baltian Tie -kilpailun tehtävät löytyvätosoitteestahttp://www.balticway-2011.de/wp-content/uploads/2011/11/BW_alle_sprachen.pdf.Verkko-Solmussa on ilmestynyt lukuteorian diplomitehtäväthttp://solmu.math.helsinki.fi/2008/diplomi/diplomi_lukuteoria.pdf

8 Solmu 1/2012Lukion trigonometriaaMarkku HalmetojaMäntän lukioLukiossa opiskeltava trigonometrian oppimäärä on viimeisimpienopetussuunnitelmauudistusten myötä näivettynytkaavakokoelman selailuksi. Eräässä nettikeskustelussamuuan lukion opettaja totesi jopa: ”Sinin jakosinin yhteen- ja vähennyslaskukaavat kuuluvat siihenalueeseen, jota minä opettajana en viitsi pitää aktiivisessakäyttömuistissa.” Tulevaisuudessa artikkelin[2] edustama trigonometrian osaaminen saattaakin ollapoikkeuksellista maamme koululaitoksessa.Nykyinen opetussuunnitelma mainitsee trigonometrianosalta tärkeimmiksi opittaviksi asioiksi kosinin ja sininneliöiden summan ja sen, että tangentti on sinin ja kosininsuhde. Nämä asiat voitaisiin helposti todistaa terävillekulmille jo peruskoulussa, eivätkä ne niinmuodointärkeydestään huolimatta sovi lukion trigonometriankurssin keskeisiksi sisällöiksi. Niiden ja ulkolukunaopittujen derivoimiskaavojen hallitseminen ei anna riittävääpohjaa jatko-opintoihin. Korkeakouluissa joudutaankinuseimmiten aloittamaan trigonometrian opiskeluaivan alkeista, mikä hidastaa varsinaisiin opintoihinpääsemistä. Se on tavallaan looginen seuraus siitä,että lukioissa joudutaan nyt opiskelemaan uusina asioinaperuskoulun entisen laajan tasokurssin sisältö. Tätätaustaa vasten yllä oleva sitaatti kaikessa järkyttävyydessäänon jotenkin ymmärrettävä. Vallalla oleva koulupolitiikkaon johtanut siihen, että koulussa opittavanmatematiikan määrä ja laatu ovat käänteisessä suhteessayhteiskunnassa sovellettavan tekniikan määrään jamonimuotoisuuteen. Kauemmin jatkuessaan tämä tilannejohtaa mitä ilmeisemmin asiantuntijapulaan jajoidenkin korkeaan teknologiaan perustuvien järjestelmienromahtamiseen. Uusia rakennuksia sortuu tuulijalumitaakkojen alle jo nyt.Itsenäiseen opiskeluun kykenevä matematiikasta kiinnostunutlukiolainen, jota jatkossa kutsutaan aktiiviseksilukijaksi, voi Solmun artikkeleita tutkimalla osaltaankorjata tilannetta tai ainakin varmistaa omanjatko-opintokelpoisuutensa. Tämän kirjoituksen myötähän osallistuu kosinin ja sinin yhteenlaskukaavojentodistamiseen ja oppii johtamaan niiden avulla tärkeimmätkoulumatematiikassa esiintyvät trigonometristenfunktioiden ominaisuudet. Pohjatiedoiksi tarvitaanvektoriopin alkeet, kosinin ja sinin määritelmä yksikköympyränavulla sekä näiden funktioiden parillisuusja parittomuus. Käsittelytapa on useimmille aloilleriittävä. Tulevat matematiikan pääaineopiskelijat perehtyvättrigonometrisiin funktioihin täsmällisemmin,kun ne määritellään kompleksitasolla päättymättöminäsummina, ks. [1]. Se ei kuitenkaan muuta miksikäänniitä käytäntöjä ja laskurutiineja, jotka opitaan tämänesityksen perusteella. Samat faktat vain todistuvat eritavalla, joskin kompleksitasolla näille funktioille avautuueräitä koulumatematiikalle tavoittamattomissa oleviaominaisuuksia.Yhteen- ja vähennyslaskukaavatTrigonometristen funktioiden käsittely tulisi perusmääritelmienjälkeen aloittaa kosinin ja sinin yhteenlas-

Solmu 1/2012 9kukaavojen johtamisella. Seuraava yksinkertainen esityson vanhasta lukion oppikirjasta [4]. Olympiavalmennussivuilla[5] voi tutustua perinteisempään tapaanjohtaa nämä kaavat.Määritellään nollavektorista eroaville vektoreille kuvion1 osoittama suunnatun kulman α suuruinen kiertoa ↦→ R α (a) vektorin alkupisteen ympäri.R α (a)αKuvio 1.Sovitaan erikseen, että R α (0) = 0.Suunnikkaan sivut ja lävistäjä kiertyvät yhtä paljon,aLisäksi on selvää, ettäR π/2 (i) = j ja R π/2 (j) = −i.Suoritetaan seuraavaksi kulman α suuruinen kiertokantavektoreille i ja j. Kosinin ja sinin määritelmienmukaanR α (i) = cos α i + sin α j,ja edellä todettuja laskusääntöjä soveltaenR α (j) = R α(Rπ/2 (i) )= R π/2(Rα (i) )= R π/2(cos α i + sin α j)= cos α R π/2 (i) + sin α R π/2 (j)= cos α j − sin α i.Kierretyt kantavektorit ovat siis{Rα (i) = cos α i + sin α jR α (j) = cos α j − sin α i.C ′A ′B ′OKuvio 2.BACYhtälöstäR α+β (i) = R β(Rα (i) )saadaan nyt helposti (aktiivinen lukija suorittaa yksityiskohdat)yhteenlaskukaavat{ cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin βsin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β,joten vektorien summa kiertyy termeittäin. SiisR α (a + b) = R α (a) + R α (b).Vektorin kierron ja venytyksen järjestys voidaan vaihtaa,R α (a)eli jos t ∈ R, niinαatR α (a) =R α (ta)taKuvio 3.R α (ta) = tR α (a).Aktiivinen lukija voi piirtää negatiivista t:n arvoa vastaavankuvion.On ilmeistä, että kaksi peräkkäin suoritettua kiertoavoidaan yhdistää laskemalla kulmat yhteen ja että peräkkäistenkiertojen järjestys voidaan vaihtaa. SiisR α(Rβ (a) ) = R α+β (a) = R β+α (a) = R β(Rα (a) ) .ja niistä edelleen kosinin parillisuutta ja sinin parittomuuttasoveltaen vähennyslaskukaavat{cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin βsin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β.On käsittämätöntä, että opetussuunnitelmista vastaavathenkilöt ovat ”unohtaneet” näin hienon ja keskimääräisellepitkän matematiikan opiskelijalle helpostiavautuvan tavan perustella nämä tärkeät kaavat.MAOLkin kannattaa ulkolukua ja kaavakokoelmastalunttaamista vastauksessaan ns. π:n päivän kirjeeseen:”Oikean, ongelman ratkaisemisessa tarvittavan tiedonetsiminen laajasta tietokokoelmasta on hyödyllinen taito,joka on syytä oppia lukiossa.” (Ks. [6] ja [7].) Eikökuitenkin olisi hyödyllisempää oppia ymmärtämäänmatematiikkaa perusteista lähtevien ja loogisesti etenevienesitysten kautta?Aktiivinen lukija pystyy nyt johtamaan lähes kaikkikeltaisen kirjan trigonometrian kaavat. Melkein vitsinävoi esimerkiksi todeta, että kosinin vähennyslaskukaavastaseuraacos 2 α + sin 2 α = cos (α − α) = cos 0 = 1.Ainakin kaksinkertaisen kulman kosini ja sini sekäkomplementti- ja suplementtikulmien kosinit ja sinit

10 Solmu 1/2012kannattaa katsoa välittömästi, sillä joitakin niistä käytetäänseuraavissa esimerkeissä ilman erillista mainintaa.Myös tangentin yhteen- ja vähennyslaskukaava onhyvä selvittää itselleen, sillä viimeksi mainittuun perustuumm. kahden suoran välisen kulman laskeminenanalyyttisen geometrian kurssilla. Sanomattakin on selvää,että tätä laskutapaa ei mitenkään voi perustellatuolla kurssilla.4αs2αabαEsimerkkejäSeuraavia tehtäviä voisi epäilemättä ratkaista symboliseenlaskemiseen kykenevällä laskimella, mutta tuolloinsuoritukseen saattaisi jäädä kohtia, joita ratkaisijaei ymmärrä. Laskin toimisi siinä tapauksessa kuten tiibetiläinenrukousmylly: sitä vain pyöritetään ja rukouskieppuu korkeuksiin ilman, että pyörittäjällä on selvääkäsitystä sen sisällöstä. Oppimisen kannalta on siis parempijohtaa itse tarvittavat välitulokset.Esim. 1 Määritettävä funktion f(x) = sin x sin (a + x)suurin ja pienin arvo.Ratk. Ensimmäiseksi ehkä tulee mieleen sinin yhteenlaskukaavansoveltaminen jälkimmäiseen tekijään,mutta se johtaisi ilmeisesti alkuperäistä hankalampaanongelmaan. Hieman parempi ajatus on laskea funktionderivaattaf ′ (x) = cos x sin (a + x) + sin x cos (a + x)= sin (a + 2x),ja ratkaista tehtävä normaalina ääriarvotehtävänä. Derivaattaaei kuitenkaan tarvita, jos huomaa, että kahdensinin tulo saadaan kosinin vähennys- ja yhteenlaskukaavoista:cos (α − β) − cos (α + β) = 2 sin α sin β.Sijoittamalla tähän α = a + x ja β = x saadaanf(x) = 1 2(cos a − cos (a + 2x)),mistä tulos jo näkyykin.Esim. 2 Osoitettava, että säännöllisen 7-kulmion sivuns ja eripituisten lävistäjien a ja b välillä vallitseeyhtälö1a + 1 b = 1 s .Ratk. Tämän 70-luvun ylioppilastehtävän trigonometrinenratkaisu on suoraviivainen sinilauseen sovellus,jonka yksityiskohdissa tosin tarvitaan tiettyä näppäryyttä.Sijoittamalla 7-kulmio ympyrän sisään nähdäänkehäkulmiaKuvio 4.vastaavien kaarien avulla, että sivu ja lävistäjät muodostavatkolmion, jonka kulmat ovat α, 2α ja 4α. Sinilauseenavulla saadaansin 2αajosta edelleen= sin αs1a + 1 b = 1 sjasin 4αb= sin αs ,( sin αsin 2α + sin α ).sin 4αOikealla oleva sulkulauseke on siis osoitettava ykköseksiehdolla 7α = π. Kirjoitetaan se aluksi muotoonsin α (sin 4α + sin 2α).sin 2α sin 4αTämä ilmeisesti yksinkertaistuu, jos onnistutaan laskemaanosoittajassa oleva sinien summa. Tarvittava aputulossaadaan sinifunktion yhteen- ja vähennyslaskukaavoista:sin (x + y) + sin (x − y) = 2 sin x cos y.Yhtälöparista {x + y = 4αx − y = 2αseuraa x = 3α ja y = α, jotenNiinpäsin 4α + sin 2α = 2 sin 3α cos α.sin α (sin 4α + sin 2α)sin 2α sin 4αja väite on todistettu.2 sin α cos α sin 3α=sin 2α sin 4αsin 2α sin 3α=sin 2α sin 4αsin 3α=sin 4α=sin (π − 4α)sin 4α=sin 4αsin 4α = 1,Seuraavassa vielä muutama harjoitus aktiivisen lukijanmietittäväksi.1. Osoita, että sin (x + y) sin (x − y) = sin 2 x − sin 2 y.2. Määritä funktion f(x) = a cos x + b sin x suurin japienin arvo.3. Osoita, että jos tan x ∈ Q, niin myös cos 2x ∈ Q jasin 2x ∈ Q.

Solmu 1/2012 11JännenelikulmiostaEdellisen kappaleen harjoituksista selviytyneen aktiivisenlukijan kannattaa myös perehtyä jo mainittuunolympiavalmennussivustolla olevaan järeään trigonometriapakettiin[5]. Katsotaan lopuksi sieltä eräs jännenelikulmionominaisuus. Tällaisen nelikulmion vastakkaisetkulmat ovat toistensa suplementtikulmia, jotenniiden kosinit ovat toistensa vastalukuja. Siksi kosinilauseenavulla on mahdollista löytää sivujen ja lävistäjienvälisiä yhtälöitä, joissa kulmat eivät ole eksplisiittisestimukana. Asetetaan tehtäväksi löytää mahdollisimmanyksinkertainen tällainen yhtälö.Olkoot jännenelikulmion sivut a, b, c ja d sekä lävistäjäte ja f.Toisen lävistäjän neliö löytyy mukavimmin näkökulmaamuuttamalla: sijoittamalla edelliseen a → b, b →c, c → d, d → a ja e → f, saadaanNiinpäelif 2 =(ab + cd)(ac + bd).(ad + bc)e 2 f 2 = (ac + bd) 2 ,ef = ac + bd.Tämä kaunis tulos on keksijänsä mukaan nimetty Ptolemaioksen1 lauseeksi:Jännenelikulmion lävistäjien tulo on vastakkaisten sivujentulojen summa.beαaLauseen perinteinen, ehkä jopa alkuperäinen, todistuslöytyy teoksessa [3]. Aktiivinen lukija miettinee, voisikoPtolemaioksen lauseen avulla ratkaista edellä esitetyn7-kulmio-ongelman yksinkertaisemmin!cfKuvio 5.Kosinilause antaa e:n neliölle yhtälöt{ e 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos αe 2 = c 2 + d 2 + 2cd cos α,joista kosinitermin eliminoimisella saadaane 2 (ab + cd) = a 2 cd + b 2 cd + c 2 ab + d 2 abd= (a 2 cd + d 2 ab) + (c 2 ab + b 2 cd)= ad(ac + bd) + bc(ac + bd)= (ad + bc)(ac + bd).Viitteet[1] Pekka Alestalo, Trigonometriset funktiot,http://solmu.math.helsinki.fi/2005/1/alestalo.pdf[2] Juhani Fiskaali, Heronin ja Brahmaguptan kaavoista,http://solmu.math.helsinki.fi/2011/2/heron.pdf[3] Matti Lehtinen, Jorma Merikoski, Timo Tossavainen,Johdatus tasogeometriaan, WSOY 2007.[4] Yngve Lehtosaari, Jarkko Leino, Pekka Norlamo,Laaja matematiikka 2, kurssit 5–8, Kirjayhtymä1983.[5] http://solmu.math.helsinki.fi/olympia/kirjallisuus/trig.pdfSiise 2 =(ad + bc)(ac + bd).(ab + cd)[6] http://solmu.math.helsinki.fi/2011/maol.pdf[7] http://solmu.math.helsinki.fi/2011/MAOLvastaus.pdf1 Klaudios Ptolemaios, (n.85–n.165), kreikkalainen astronomi.

12 Solmu 1/2012Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjanalkukierroksen tiimoiltaMatti LehtinenHelsingin yliopistoMatemaattisten Aineiden Opettajien Liitto MAOL järjestäävuosittain matematiikkakilpailun lukiolaisille.Kilpailussa on kolme sarjaa ja kaksi kierrosta. Sarjajakoperustui alkuaan siihen, millä luokalla kilpailijaopiskeli ja mitä hänen näin ollen voitiin olettaa osaavan,mutta luokattoman lukion myötä sarjajako perustuuvain oppilaan ikään. Kilpailun perus- ja välisarjoissaon yläikäraja, mutta avoimeen sarjaan voi osallistuakuka hyvänsä lukiolainen. Käytännössä suurinosa avoimen sarjan osallistujista on ainakin kolmannellalukiovuodellaan. Asia ei tietysti ole aivan yksioikoinen,mutta voi karkeasti odottaa, että kilpailun osallistujatedustaisivat suunnilleen ikäluokkansa parhaitamatematiikan osaajia. Vastauksista saisi siis jonkinlaistaläpileikkausta runsaan 11 vuoden matematiikanopiskelujen mahdollisesta hyvästä tuotoksesta.Kilpailun ensimmäinen kierros käydään kouluissa.MAOL lähettää kilpailutehtävät kaikkiin kouluihin, jakilpailun järjestäminen on siten yleensä matematiikanopettajienvastuulla. Vastaukset palautetaan kilpailutoimikunnallearvostelemattomina, ja kaikkien osallistujienvastaukset toivotaan palautettavan.Vuonna 2011 alkukilpailu pidettiin 1. marraskuuta.Kilpailutoimikunta sai avoimen sarjan vastauksia kaikkiaan121 lukiosta. Tämä on noin 35 % Suomen lukioista.Loput 65 % ovat pitäneet kilpailun järjestämistätarpeettomana, koulun aikatauluihin sopimattomanatai sitten ovat järjestäneet kilpailun, mutta katsoneetparemmaksi olla lähettämättä suorituksia kilpailutoimikunnalle.Kilpailuvastauksia saapui yhteensä 546 elikeskimäärin 4,5 lukiota kohden. Joissakin lukioissa kilpailukoeoli selvästi järjestetty koko pitkän matematiikanopiskeluryhmälle. Tällaisista kouluista saapui paljonmelko vähän asiaa sisältäviä vastauspapereita. Joistakinlukioista vastauksia tuli vain yksi tai pari.Tehtävät arvosteltiin samalla asteikolla, maksimissaankuusi pistettä joka tehtävästä, joten maksimipistemääräksituli 24. Kokonaisuudessaan pistejakauma ei ollutkovin normaalijakauman mukainen: keskiarvo oli noin5,5, ja aivan ilman pisteitä jäi 111 kilpailijaa. Parhaaseenneljännekseen sijoittuivat ainakin 9 pistettä saaneet.Mitä kilpailutoimikunnan saamat vastaukset kertovatsuomalaisten abiturienttien osaamisesta? Katsotaantehtävä tehtävältä.Tehtävä 1Kilpailun ensimmäinen tehtävä oli, niin kuin odottaasopikin, helpoin. Tehtävässä oli oheinen kuvio ja teksti:Kuviossa ison ympyrän säde on 6, pienet ympyrätovat samankokoisia ja sisin sekä uloin ympyrä sivuavatmuita ympyröitä. Määritä kuvion varjostetun osan

Solmu 1/2012 13ala. Tehtävää voi kritisoida: kaikki informaatio ei sisällytekstiin, vaan osa on arvattava kuvasta. Kuvan mukaankukin kuudesta pienestä ympyrästä sivuaa paitsisisintä ja ulointa ympyrää, myös viereisiä ympyröitä.Tehtävän teksti sallisi sellaisenkin tilanteen, jossa jotkinkuudesta pienestä ympyrästä leikkaisivat toisiaan.Myöskään sitä, että sisimmän pienen ympyrän keskipisteyhtyy uloimman ympyrän keskipisteeseen, ei tehtävässäilmoiteta; kun sisimmän ja uloimman ympyränvälissä on vähintään kaksi samansäteistä sivuavaa ympyrää,keskipisteiden yhtyminen on välttämätöntä.väliympyrän keskipisteet, ala sekä kuusi pienen ympyränkahden kolmanneksen kokoista sektoria. Kuusikulmionalan laskeminen edellyttää jälleen sen yhden kuudenneksenmuodostaman tasasivuisen kolmion alan laskemista.Kun kuviosta luettavat ilmeiset symmetriat hyväksyy,niin halutun pinta-alan voi laskea hiukan eri reittejä.Joka tapauksessa on huomattava, että ison ympyränhalkaisija on kolme pienen ympyrän halkaisijaa, mistäseuraa, että pienen ympyrän säde on 2. Kysytty alaon kuudesosa jäännöksestä, kun ison ympyrän alastaπ6 2 = 36π poistetaan seitsemän pikkuympyrän alaa,7·4π ja kuusi pikkuympyröiden väliin jäävää ympyränkaarikolmiota,sellaista kuin kuvan kaarien ⌢ZY ,⌢Y Xja ⌢XZ rajoittama kuvio. Olennaista on, että ympyröidensivuamispisteet ovat niiden keskipisteitä yhdistävilläjanoilla: tämähän seuraa siitä, että sivuavien ympyröidensivuamispisteisiin piirretyt säteet ovat molemmatkohtisuorassa ympyröiden yhteistä tangenttia vastaanja ovat siis saman suoran janoja. Näin ollen ympyränkaarikolmionZY X ala on tasasivuisen kolmionOP Q ala vähennettynä kolmella pienen ympyrän kuudenneksella.Koska OP = 4, tasasivuisen kolmion alaon 1 2 42 sin 60 ◦ = 4 √ 3. Kun laskutoimitukset suoritetaan,kysytyn alueen alaksi tulee 103 π − 4√ 3. Hiukansuoremmin pääsee perille, jos lähtee liikkeelle sektorista,joka on ison ympyrän kuudennes ja siis alaltaan 6π,vähentää siitä tasasivuisen kolmion alan 4 √ 3 ja kaksi2pienen ympyrän kolmannesta eli · 4π. Edelleen on3mahdollista vähentää uloimman ympyrän alasta sensäännöllisen kuusikulmion, jonka kärjet ovat kuudenKoska jokainen näistä strategioista perustuu siihen, ettäympyröiden sivuamispisteet (kuten kuvan X) sijaitsevatympyröiden keskipisteiden yhdysjanoilla (kutenP Q) eikä tämä suoraan näy tehtävän mukana olleessakuviossa, täysiin pisteisiin edellytettiin, että tähänasiaan olisi jotain huomiota kiinnitetty. Äärimmäisenharvoissa vastauksissa näin tapahtui, vaikka kolmionOP Q kulmien ja sivujen suuruuksia oli ahkerasti perusteltu.Näinpä yleisin tehtävästä annettu pistemääräoli 5. (Nollaksi arvioituja vastauksia oli yksi vähemmän;kaikissa muissa tehtävissä 0 oli myös yleisin pistemäärä.)Kilpailijat saivat käyttää apuvälineinään laskimia jataulukkokirjoja, toisin kuin matematiikkakilpailuissayleensä. Tämä johti useat ratkaisijat likiarvolaskuihin;puhdasta likiarvolaskelmaa, vaikka se olisikin johtanutoikeannäköiseen tulokseen, ei pidetty aivan täydellisenä.Arvostelijoiden ratkaisu on periaatteellinen: tehtäväkoskee olennaisesti R-säteistä ympyrää, ei tiettyäkonkreettista tilannetta. Ja onhan ketjussa, jossamukana on vähennyslaskujakin, aina tarjolla olennaisenpyöristysvirheen vaarakin, jota ei etukäteen osaaarvioida. Aika monet suhtautuivat lukuarvoihin kovinsuurpiirteisesti. Kun laskin näytti alueen pinta-alaksivähän yli 3,5, vastaukseksi annettiin ”4”. Lienee opittu,että kun mittausdata, tässä siis uloimman ympyränsäde, on kerrottu yhdellä merkitsevällä numerolla,ei vastauksessakaan saisi olla enempää tarkkuutta.Taulukkokirjan käyttö ja ilmeisesti muussa yhteydessäkuin matematiikassa annettava tieteellisen kirjoittamistavanopetus johti aika monet vastaajat hiukan koomisenoloiseenesitystapaan: tasasivuisen kolmion alanlaskemiseen käytetty menetelmä esitettiin lähdeviitteineen”MAOL, s. 30”.

14 Solmu 1/2012Oma lukunsa on sitten oikeaksi vastaukseksi saatu”tarkka arvo”. Pieni kokoelma tällaisia:103 π − 2√ 10π − 12 √ 3 2012,,3 6 π − 4√ 3,20π − 24 √ 3, 3 1 6 3 π − 8 sin 60◦ , 6π − 8 3 π − 2√ 12,( √ )3 · 4238π − − 3 · π · 2 22,660 ◦360 ◦ π62 − 4 · √4 ( )2 − 2 2 120◦−2 360 ◦ π22 · 2,2(5 · π − 6 √ 3), 2320π − 12 √ 12, 6π −6(3π − 2 √ 3 − 4 3 π ),23 (5π − 6√ 3).(4 √ 3 − 2π + 143 π ),”Sieventäminen” ei ole tarkkaan määritelty toimenpide,ja numeerisen likiarvon tuottamisen kannalta saattaaolla aika yhdentekevääkin se, mihin muotoon tällaisenratkaisun saattaa.Vielä muutama havainto: yllättävän moni kilpailijakäytti tehtävän ympyröistä nimitystä pallo. Kolmionalan laskeminen oli usealle kilpailijalle ylivoimaista taioutoa. Aika monelle tasasivuisen kolmion ala oli samakuin sivun neliö. Muutama vastaaja oli onnistunutpäättelemään näin: kuviossa on kahta ympyränkaarimonikulmiota,kumpaakin kuusi identtistä kappaletta.Olkoon toisen, kysytyn kuvion ala x ja toisen y. Silloin6(x + y) = 36π − 7 · 4π = 8π ja myös x + y = 4 3 π.Tämän jälkeen kilpailija ”ratkaisi” yhtälöryhmän{ 6x + 6y = 8πarvaamalla y:n arvon!Tehtävä 2x + y = 4 3 πKilpailun toisessa tehtävässä oli ratkaistavana Diofantoksenyhtälöksi nimetty yhtälöx 2 + (10y − y 2 ) 2 + y 6 = 2011,ja tehtävän tekstissä vielä täsmennettiin, että etsittävänäovat yhtälön kokonaislukuratkaisut. Pistesaldollamitattuna tehtävä osoittautui sarjan toiseksi vaikeimmaksi.Ratkaisu on kuitenkin suoraviivainen. Yhtälönvasen puoli on aina vähintään y 6 , ja jos |y| ≥ 4,y 6 ≥ 4 6 = 2 12 > 4000. Ratkaisua varten riittää, kunkäy läpi y:n kokonaislukuarvot väliltä [−3, 3] ja toteaa,että kokonaisluku x toteuttaa yhtälön vain tapauksessay = 3; silloin voi olla x = 29 tai x = −29. Jos haluaa,niin laskutyötä voi hiukan lyhentää havainnolla2011 ≡ 3 mod 4. Koska parillisten lukujen neliöt ovatneljällä jaollisia ja parittomien ≡ 1 mod 4, on yhtälönvasemman puolen kolmen neliöluvun oltava parittomia,joten erityisesti y on pariton.Ratkaisuissa esiintyi aika monta sellaista, joissa ratkaisu(x, y) = (29, 3) annettiin ilman mitään selvityksiäsiitä, miksi se on (melkein) ainoa ratkaisu. Tällaistaarvauksenluontoista havaintoa ei kovin monin pisteinpalkittu. Tehtävän tekstin ilmaus ”Diofantoksen yhtälö”ja taulukkokirjan tunnollinen selaaminen johtivatsangen monen vastaajan kopioimaan vastauspaperiinsaMAOL-taulukot-kirjan (vuoden 2006 laitoksen) sivulla57 esiintyvän lineaarisen eli ensimmäisen asteen Diofantoksenyhtälön yleisen ratkaisun, jolla ei ole mitääntekemistä tämän tehtävän kanssa. Taulukkokirjan kirjoittajaei näytä muistaneen, että Diofantoksen yhtälöon laajempi käsite. Toinen ”käsitelaajennus” pilkahtiaika monissa ratkaisuissa: perusteluksi y:n mahdollistenarvojen rajaamiselle esitti usea sitä, että yhtälönvasen puoli on (y:n suhteen) ”ylöspäin aukeava paraabeli”.Paraabeli on kuitenkin kartioleikkaus ja sellaisenatoisen asteen käyrä. Joskushan kyllä puhutaan kuutioparaabelistatai semikuubisesta paraabelista.Tehtävä 3Kolmas kilpailutehtävä tuotti pisteitä noin neljänneksenenemmän kuin toinen. Tehtävänä oli osoittaa, ettäkaavallaf(x) = x2 − 2011x + 1x 2 + 1määritelty funktio f toteuttaa epäyhtälön |f(x) −f(y)| ≤ 2011 kaikilla reaaliluvuilla x ja y.Yksinkertaisin todistus lienee se, jossa lasketaan kolmioepäyhtälöäkäyttäen|f(x) − f(y)| = 2011y∣y 2 + 1 − xx 2 + 1∣( |y|≤ 2011|y| 2 + 1 + |x| )|x| 2 + 1ja sitten sovelletaan molempiin yhteenlaskettaviin relaatiosta(a − 1) 2 ≥ 0 välittömästi seuraavaa epäyhtälöäaa 2 + 1 ≤ 1 2 .Muutamat kilpailijat olivat tämän huomanneet. Useimmatoikeat ratkaisut perustuivat havaintoon |f(x) −f(y)| ≤ max f(t)−min f(t). Maksimin ja minimin määrittäminensujuu normaalia rataansa. Funktion f deri-t∈R t∈Rvaatalla osoittautuu olevan tasan kaksi nollakohtaa elipotentiaalista f:n ääriarvokohtaa, jotka ovat −1 ja 1,f(−1) = 1 2 ·2013 ja f(1) = −1 ·2009. Kun vielä otetaan2huomioon, ettälim f(x) = 1, havaitaan, että f(−1)x→±∞on f:n globaali maksimi ja f(1) globaali minimi. Lisäksif(−1) − f(1) = 2011. – Tämä ratkaisu, joka esiintyi

Solmu 1/2012 15hyvinkin monessa paperissa selkeänä ja täsmällisenä,pani olettamaan, että jokseenkin samanlainen tehtävälienee jossain suositussa oppikirjassa. Kolmannessa tehtävässäoli kaikkiaan eniten täysin pistein arvosteltujavastauksia, melko tasan 10 % kaikista.Kun funktioista ja niiden kuvaajista puhutaan, ovattyyppiä y = f(x) olevat yhtälöt tavallisia. Tämä lieneeharhauttanut muutamat kilpailijat selvittelemään|f(x)−f(y)|:n sijasta lauseketta |f(x)−f(f(x))|. Siitämuodostuu tehtävän funktion tapauksessa aika näyttävämurtolauseke.Tehtävä 4Viimeinen tehtävä tuotti pisteitä vähiten. Tehtävänteksti meni näin: Taso laatoitetaan valkoisilla ja mustillayksikköneliöillä niin, että toisiaan koskettavilla laatoillaon joko kokonainen yhteinen sivu tai vain yhteinenkärki. Tasoon piirretyn janan sanotaan olevan valkoinen,jos on olemassa sellaiset valkoiset laatat, ettäjana pysyy näiden sisäpuolella lukuun ottamatta kohtia,joissa se leikkaa sivuja; vastaavasti määritelläänmusta jana. Osoita, että taso voidaan laatoittaa niin,ettei minkään valkoisen tai mustan janan pituus olesuurempi kuin 5.Laatoitustehtävät ovat yksi suosittu matemaattisen kilpatehtävänlaji. Vaikka tehtävän teksti oli pitkähkö,se jätti muutamia väärintulkintamahdollisuuksia, sellaisia,jotka eivät heti tule laatoitustehtäviä enemmännähneen mieleen. Jotkin kilpailijat tulkitsivat valkeanja mustan janan ehdossa esiintyvän sanan sivu niin, ettäse ei sisällä neliön kärkeä. Näin ei olisi mahdollistaasettaa valkoista janaa kulkemaan kahden toisiaan kärjessäkoskettavan valkoisen laatan kautta. Vielä ankarammaneston loivat kilpailijat, joille taso ei ollut jokasuuntaan äärettömiin jatkuva, vaan esimerkiksi 4 × 4-levy.Tehtävän ratkaisuiksi tarjottiin aika monenlaisia laatoitusjärjestelmiä.Monesta saattoi heti nähdä, ettei oltuajateltu loppuun asti, mutta pisteitä jaettiin myösyrityksistä, joiden puutteellisuus ei heti ollut aivan ilmeinen.Kelvollisiksi ratkaisuiksi osoittautuivat ainakinoheisten kuvien mukaiset laatoitukset. Kummastakinlöytää enintään sellaisen yksivärisen janan, jonkapituus on √ 4 2 + 2 2 = √ 20 < 5. Tehtävä arvosteltiinaika lievästi. Oikeanlainen kuvio ilman enempiä perustelujatuotti jo runsaasti pisteitä.LopuksiKilpailun tulokset ovat melko karut. Sen yksi ilmeinentarkoitus, matematiikan pariin kannustaminen, eivarmaan toteudu ainakaan niiden kilpailijoiden kohdalla,joille kaikki tehtävät osoittautuivat ylivoimaisiksi.Lukion matematiikkakilpailun perus- ja välisarjoissaon ryhdytty käyttämään monivalintatehtäviä,joista useampi kilpailija luultavasti aina jonkin pisteensaa. Riman laskemisella ei kuitenkaan olisi pelkästäänmyönteisiä seurauksia. Kun matematiikkakilpailuamarkkinoidaan väylänä esimerkiksi kansainvälisiinmatematiikkaolympialaisiin, ei ylioppilastutkintolautakunnanratkaisu, vaikeuksien kiertäminen mahdollisimmankaukaa, voi olla tervettä politiikkaa. Läheskaikkialla maailmassa vastaavien kilpailujen tehtävätovat selvästi suomalaisia vaativampia. Kilpailun onvoitava seuloa esiin niitäkin, jotka todella osaavat jaajattelevat.Yksi organisatorinen muutos voisi olla hyväksi. Joskilpailu olisi kolmiportainen, niin että koulutason alkukierroksenja valtakunnallisen loppukilpailun väliinasettuisi alueellinen kilpailu, voisi ensimmäinen kierrosolla helpompi ja samalla kannustavampi. Alueellisenkierroksen järjestämiseen tulisi voida rekrytoidaMatemaattisten aineiden opettajien alueellinen kerhoorganisaatioja eri puolilla maata sijaitsevat yliopistotja korkeakoulut. Tämän vision Suomessa olisi kyllä nykyistäenemmän matematiikasta oikeasti kiinnostuneitaopettajia, ja heillä innostuneita oppilaita.

16 Solmu 1/2012Solmun MatematiikkadiplomitMarjatta NäätänenDosentti, Helsingin yliopistoLukudiplomilla on jo vuosia kannustettu oppilaiden lukemisharrastusta,niinpä opettajien taholta tuli toivesaada myös matematiikkadiplomi. Solmun etusivultahttp://solmu.math.helsinki.fi on nyt suora reittimatematiikkadiplomisivulle. Siellä on ohjeet ja ensimmäisetkuusi diplomia tehtävineen. Diplomit eivätole tiukasti sidottuja vuosiluokkiin, vaikkakin niidennumerointi kertoo etenemisestä suunnilleen vuosiluokkienmukaisesti. Myös ylempien luokkien oppilaat voivatkokeilla näitä ja diplomisivuilta löytyviä lukiollekinsopivia tehtäviä.Diplomien käyttö ja palauteDiplomeihin voi pyytää vastaukset koulun sähköpostiin,samalla saadaan käsitystä diplomien leviämisestä.Esimerkiksi seuraavilla paikkakunnilla on kouluja, joissadiplomitehtäviä lasketaan: Helsinki, Espoo, Vantaa,Sastamala, Ristiina, Ilmajoki, Nurmijärvi, Hollola, Mynämäki,Laukaa, Lumijoki, Oulainen, Joroinen, Seinäjoki,Oulu, Karstula, Lohja, Kuopio, Nousiainen, Riihimäki,Huittinen, Kokkola, Oulunsalo, Vehmaa, Jyväskylä,Haukipudas, Joensuu, Kankaanpää, Mäntsälä,Loimaa, Kolari, Vihti, Hartola, Haapavesi, Tuusula,Kokkola, Ähtäri, Kurikka, Lahti, Lappeenranta.Jotkut opettajat antavat vastauksia pyytäessään myöspalautetta. Tässä on otteita:- Olette tehneet hienoa työtä!- Lapset ottivat tehtävät innolla vastaan.- Hienoa, että tällainen matikkadiplomi on toteutettukaikkien käytettäväksi, kiitos siitä!- Olemme useamman luokan kanssa ottamassa käyttöönkehittelemänne matematiikkadiplomit. Yritänsaada koko koulumme innostumaan diplomista; vinkkasinmyös muille kuntamme alakouluille.- Kiitos aivan ihanasta matikkadiplomista. Oppilaaniovat aivan innoissaan siitä.- Koulumme oppilaita on innostettu ja kannustettu matikkadiplomientekemiseen ja monet oppilaista ovat siihentosissaan perehtyneet.- Meillä on ollut diplomeja jaossa joka luokka-asteella(eli kaikki kolme eri diplomityöpakettia), joten vastauksiakaivataan jokaiselle diplomitasolle.- Käytin diplomeja 2. luokan kanssa viime keväänä.Tehtävät tehtiin kotona, palautus opelle ja seuraavatehtävä mukaan. Oppilaista (18) aloitti diplomin teonaika moni, mutta kokonaan kaikki sai tehtyä noin 6-8oppilasta. Poikia enemmän. Mielestäni he tekivät innoissaanja vanhemmatkin. Mukavaa puuhaa kai se olikaikille, en saanut ainakaan kielteistä palautetta.- Diplomin ulkonäkö oli mieluinen ja tärkeä oppilaille.Yksi oppilas sairastui joulun jälkeen ja lähetin hänellediplomitehtävät sairaalakouluun. Kyseessä oli lahjakasoppilas, hänelle se oli hyvää tekemistä.- Olen mainostanut diplomeja koulussani ja monet opetovat ottaneet/ovat ottamassa tehtävät käyttöön. Itsesain tiedon Luokanopettaja-lehdestä. Tiedotusta diplomistavoisi lisätä. En tiedä löytyykö siitä linkkiä ophallituksensivuilta.- Nyt 3. luokan kanssa otan keväällä diplomien suo-

Solmu 1/2012 17rittamisen esille. Vapaaehtoinenhan se on; pikkuisenporkkanaa ja kehumista, niin oppilaat innostuu. Toivon,että diplomitehtäviä löytyy jatkoonkin ja, ettäniissä olisi myös helpohkoja tehtäviä, ehkä joku tasoryhmitysolisi hyvä open kannalta.- Oppilaani ovat tehneet näitä hieman oman tasonsamukaan.- Koulussa suunnitellaan matikkakerhoa, hyvää aineistoasiihen!- Löysin Facebookin kautta linkin tänne Matikkadiplomiinja innostuin heti. Aion ottaa oman luokkani kanssa”ohjelmistoon” ja suosittelen kollegoillekin, jotenvoisitko lähettää samalla vastaukset kaikkiin diplomeihineli I - VI (mahtaako viimeinen olla liian haastavakuudes luokkalaisillekin, mutta jospa joku osaisi)?- Meillä innostuttiin tänä syksynä suorittamaan diplomeja(IV, V ja VI). Suorittajina tällä hetkellä kahdeksas-ja yhdeksäsluokkalaisia oppilaita. Ahkerimmilla alkaajo olla ensimmäiset diplomit laskettuna, joten olisinkinoikeita vastauksia vailla.- Olen luokanopettajana Helsingissä, ja olen nykyisten3. luokkalaisteni kanssa aloittanut Solmun matikkadiplomittänä syksynä – oppilaat ovat olleet innostuneita.- Kerroin diplomista opettajakokouksessa ja useampiopettaja kiinnostui diplomista.- Käytämme kehittämiänne Matematiikkadiplomeitaeriyttämiseen koulussamme. Haluaisimme saada tehtävien(kaikki diplomit) vastaukset koulumme käyttöön.- Olen ensimmäisen luokan opettaja. Luokassani on innokkaitaoppilaita, jotka ovat erityisen motivoituneitamatematiikan tehtäviin. Olenkin tarjonnut heille paljonlisämateriaalia ja matikkadiplomi, josta kolleganivinkkasi, oli myös oiva lisä! Oppilaat ovat tehneet tehtäviäinnoissaan kotona vanhempiensa kanssa.- Meillä on kovasti innostuttu matikkadiplomien tekemisestä.Sain teiltä vastaukset ykköseen ja kakkoseen.Nyt nopeimmat ovat jo nelosessa. Laittaisitko minullevastaukset kolmosesta eteenpäin.- Luokassani on matemaattisesti erittäin lahjakas oppilasja haluaisin tarjota hänelle lisää haastetta, kunoppikirjan tehtävistä ei niihin ole.- Huomasin sivuillanne matematiikkadiplomit ja toivoisinsaavani tästä lisää potkua lahjakkaan oppilaan matematiikkaharrastukselle.Voisinkohan saada vastauksetnäihin I–VI tehtäviin? Samalla tulevaa ajatellen olisikäytössä pankki myös muille luokka-asteille.- Kiitokset loistavista diplomeista. Niistä on saanutmm. oppilaille motivoivaa eriyttämismateriaalia.- Matematiikkadiplomi on kiva juttu ja iloinen ulkonäöltään– kiitos!- Alakoulun toisluokkalainen oppilaani ratkaisi diplomiI:n viikonlopun aikana. Nyt hän odottaa jatkoa.- Luin tässä taannoin Opettaja lehdestä mukavasta matematiikkadiplomitoiminnasta. Hienoa, että innokkaitakehittäjiä riittää! Onko toimintaa tarkoitus vielä lisätämuillekin luokille?- Käynnistelimme tänä vuonna ensimmäistä kertaaMatematiikkadiplomin suorittamista. Neljäsluokkalaisetinnostuivat asiasta kovasti. Tarvitsemme nyt diplomitehtävienratkaisuja helpottamaan korjaamista. Oppilaatsuorittavat tehtäviä IV ja V. Kiitos tästä innostavastatavasta tukea oppilaiden matematiikan harrastamista!Käsin vai koneella?Moderni aivotutkimus vahvistaa vanhat uskomukset,etteivät lapsen aivot kehity kunnolla ilman sormillaharjoitettavaa hienomotoriikkaa. Käsillä ja erityisestijoka sormella on aivoissa oma alueensa. Tarttumaotemahdollisti aikanaan työkalujen käytön, jolle ihmisenylivalta lajina suureksi osaksi perustuu. Yleisesti pätee,että aivot muokkautuvat koko elämän ajan. Käyttämättäjäävät aivojen alueet pienenevät ja harjoitetutkehittyvät. Esimerkiksi sokeilla kuuloaisti ottaa käyttööntoimettomaksi jääneitä näköalueita. Muusikoillakehittyvät erityisesti oman soittimen käyttöön tarvittavathienomotoriikan aivoalueet ja tuotetun musiikinprosessointiin tarvittavat kuuloalueet. Mahdollisimmanmonipuolinen toiminta ylläpitää aivoja, tämäkoskee sekä fyysistä että henkistä puolta. Esimerkiksivanhenemisen mukana supistuneita aivoalueita on saatukorjaantumaan liikuntaa lisäämällä. Sanonta ”use itor lose it” pitäisi ottaa käyttöön Suomessakin.Aivojen tarvitsemaa harjoitusta ei saada, jos lapset siirtyvätsuoraan tietokoneen ääreen käymättä ensin läpiperinteistä hienomotoriikkavaihetta. Jo nykynuortenkäsialoja katsomalla näkee, että on vähennetty liikaaluontaista hienomotoriikan käyttöä ja harjoitusta siirtymälläliian varhain koneen käyttöön. On vältetty kädenhallinnanopettelun vaivaa, mutta samalla menetettyaivojen tarvitsemaa harjoittelua. Lapsuudessa aivotmuokkautuvat huomattavan nopeasti, joten on erityisentärkeää harjoittaa lapsuusaikana mahdollisimmanmonipuolista toimintaa. Pohja koko elämää varten luodaansilloin. Niinpä diplomitehtävissä internetiä käytetäänvain jakeluun, tehtäväpaperit tulostetaan ja alkuvaiheentehtävät ratkotaan käsin. Perusteluna käsilläeikä koneella työskentelyyn on siis aivotutkimuksenvahvistama ja jo vuosituhansia eri puolilla maailmaakäytetty tieto aivojen kehittymisen ja hienomotoriikanyhteydestä. Myöhemmin käytetään myös koneita apuna.Monipuolista toimintaaLukudiplomin tavoin myös matematiikkadiplomi antaamahdollisuuden hauskalle ja hyödylliselle harrastukselle,tarjoaa haasteita ja hauskaa ja monipuolista toimintaalapsille; niissä pääsee vaikka säveltämään ja leipomaan.Arviointia ja tulosten tarkistamista harjoitetaan,jotta suuruusluokat tulevat tutuiksi – viime ai-

18 Solmu 1/2012koina on ylioppilaskirjoituksissakin annettu mielettömiävastauksia suuruusluokkatehtäviin. Oppilaille painotetaankeskittynyttä itsenäistä työskentelyä ja joustavaamutta perusteltua loogista ajattelua. Matematiikantalon rakentamisessa on alkuperustus erittäin tärkeää.Silloin syntyvät perustiedot ja asenteet. Diplomitoimintaei ole oppilaiden välistä kilpailua, vaan niilläoppilas voi ottaa mittaa itsestään. Tehtäviä ratkaistaessaon toivottavaa keskustella toisten kanssa, jottamyös matematiikan kielen käyttö kehittyy ja itse kukinjoutuu pukemaan sanoiksi ajattelunsa. Oppilas voikysyä neuvoa ja tehdä yhteistyötä. Tärkeintä on, ettäinnostus herää ja oppilaat huomaavat oppivansa matematiikkaa.Diplomi palkitsee harrastuksen ja antaaponnistelun jälkeisen tuloksen ilon. Tehtävillä tarjotaanlapsille kokemuksia matematiikan käsitteistä, jotkatarkentuvat myöhemmin noustaessa portaita konkreettisestaabstraktiin. Matematiikan oman rakenteenkäyttö pohjana on tärkeää.Diplomien käyttö koulussa ja kotonaDiplomitehtäviä voi tehdä yksin, kaverien kanssa, perheenyhteisenä harrastuksena, oppitunnilla. Diplomitehtävätsopivat myös kerhotoimintaan, matematiikkakummitoimintaan,eriyttämiseen ja kertaukseen. Jokatapauksessa on toivottavaa, että vanhemmat osallistuvatlastensa harrastukseen ainakin tukemalla sitä. Suomalaisilleoudoimpien tehtävätyyppien johdattelua onyleisissä ohjeissa Solmun Diplomisivuilla, sieltä löytyymyös oheislukemistoa.Opettajien palautteen mukaan intoa tehtävien tekoonon ollut. Niitä on tehty kotona yksin, perheen tai ystävienkanssa. Matematiikan oppitunneilla on annettu lisäohjeitaja aina on voinut tulla kysymään apua, jos onollut tarvis. Diplomin ulkonäkö oli mieluinen ja tärkeäoppilaille. Myös sivujen kaunista ja ilmavaa ulkonäköäon kiitelty. Kiitosta on tullut tehtävien monipuolisuudestaja siitä, että ovat haastavia ja erilaisia kuin oppikirjoissa.Ajanpuute on ongelma, ellei ole mahdollistajärjestää kerhoa tai muuta ylimääräistä tukea koulussa.Usein oppilaat saivat tehtävät kotitehtävien tapaanosissa aina sitä mukaa, kun oli käsitelty vastaavia tehtäviätunneilla. Tunnilla käytiin lyhyesti läpi, mitä pitäisitehdä ja seuraavalla tunnilla tehtävät palautettiin.Yhteiseen palautekeskusteluun ei useinkaan ollut riittävästiaikaa.MatematiikkakummitoimintaaKummi, joka on ohjannut lasta matematiikan kauniiseenmaailmaan Solmu-lehden tehtävien avulla, kertoikokemuksiaan: Jo ensimmäisen diplomin tehtävät olivaterilaisia kuin oppikirjan tehtävät ja lapsen innostusja mielenkiinto tehtävien suorittamiseen ylitti kaikkiodotukset. Tehtävät vaikeutuivat sopivasti ja aihepiirejäoli monta, joten mielenkiinto säilyi. Erityisen kiinnostaviltaja hauskoilta tuntuivat tehtävät, joihin liittyimittaamista tai tilastollisia koesarjoja. Noppaa innostuttiinheittämään 600 kertaa ja lanttia noin 100 kertaa.Oli suuri ilo saada seurata lasta, joka kokee oivaltavansauusia asioita ja saa tyydytystä osaamisestaanja onnistumisestaan ja täten oppii tärkeitä asioita kouluaja elämää varten. Kummi tulosti diplomin värillisenäoikein valokuvapaperille ja kehysti sen kivaa juhlaavarten. Yhteinen hauska harrastus jatkuu.Taloudellisen tuen Solmun toiminnalle on antanut Jennyja Antti Wihurin säätiö.Verkko-Solmusta http://solmu.math.helsinki.fi löytyviä oppimateriaalejaLukualueiden laajentamisesta (Tuomas Korppi)Jaksolliset desimaaliesitykset algebrallisesta näkökulmasta (Jaska Poranen ja Pentti Haukkanen)Geometrian perusteita (Matti Lehtinen)Geometria (K. Väisälä)Algebra (Tauno Metsänkylä ja Marjatta Näätänen)Matematiikan peruskäsitteiden historia (Erkki Luoma-aho)Matemaattista fysiikkaa lukiolaiselle (Markku Halmetoja ja Jorma Merikoski)Lukuteorian helmiä lukiolaisille (Jukka Pihko)Algebra (K. Väisälä)Matematiikan historia (Matti Lehtinen)

Solmu 1/2012 19Matematiikka kiehtoo taasMatti LehtinenHelsingin yliopistoAlex Bellos: Kiehtova matematiikka. Seikkailunumeroiden ihmemaassa. Suomentanut Eero Sarkkinen.Docendo 2011. 448 s. Pehmeäkantinen, 37,90 euroa.ja Tiit Lepmanin Kiehtovaa matematiikkaa (MF-KA 1997). WSOY-yhtymään kuluva Docendo on nytjulkaissut lähes samannimisen teoksen. (Alkuteoksennimi on Isossa-Britanniassa Lewis Carroll -vaikutteisetAlex’s Adventures in Numberland ja Yhdysvalloissa Here’sLooking at Euclid; klassikon Liisan seikkailuistaIhmemaassa kirjoittaja Carroll oli matemaatikko ja oikealtanimeltään Charles Dodgson ).Kirjailija Alex Bellosin parinkymmenen vuoden takaisenyliopistotutkinnon pääaineet ovat olleet matematiikkaja filosofia. Hän on kuitenkin toiminut pitkäänlehtimiehenä, englantilaisten lehtien Brasiliankirjeenvaihtajana.Matematiikan parissakin hän sanooolevansa tavallaan ulkomaankirjeenvaihtaja. Itse asiassakirjan taustalla onkin ollut matkoja, ainakin Japaniin,Intiaan, Yhdysvaltoihin ja Saksaan. Mutta mistäBellos raportoi matematiikan maailmassa matkailtuaan?Bellosin kirjassa on 12 lukua, numeroituna nollasta yhteentoista,kukin noin 30 sivun mittainen. Kunkin luvunteemana on jokin laskentoa tai matematiikkaa sivuavakuriositeetti. Kirja ei ole matematiikan yleisesityssuurelle yleisölle.Matematiikka kiehtoo. Ellen tietäisi sitä, voisin katsoakirjahyllyäni, josta löytyvät sekä Carol VordermaninKiehtova matematiikka (WSOY 1997) että LeaNollannen luvun teemana on primitiivinen lukukäsitteenmuodostuminen. Viitteitä siitä, miten lukukäsiteon voinut muodostua, Bellos saa Amazonin alueen alkukantaistenheimojen parissa tehdyistä havainnoistaja pienillä vauvoilla sekä simpansseilla tehdyistä kokeista.Toisessa luvussa ollaan sitten 10-järjestelmän

20 Solmu 1/2012parissa ja esitellään eksoottinen liike, joka tähtää luvun12 ottamiseksi lukujärjestelmän kantaluvuksi. Lukuunon sisällytetty myös japanilaiset pikkulasten helmitaulukilpailut.Seuraava luku lähtee liikkeelle numerologiasta,josta siirrytään Pythagoraan lauseeseen jasitten origami-taitteluihin. Ylen suuresti Bellos ihasteleejapanilaisen origamitaiteilija Kazuo Hagan havaintojaneliönmuotoisen paperin taitteiden ominaisuuksista,jotka kyllä ovat aika triviaaleja euklidisen geometriankannalta tarkasteltuina. Alussa mainittu Lepmaninpariskunnan kirja, jota kustantajankaan varastostaei enää yhtään kappaletta löydy, sisältää muuten kattavanselvityksen geometrian rakentamisesta paperintaittelunavulla.Seuraavaksi Bellos käy esittelemään intialaista ”vedaaritmetiikkaa”.Saamme hämmästellä mm. kertolaskua8 × 9, jonka voikin tehdä niin, että tulon viimeiseksinumeroksi kertoo luvut 10 − 8 eli 2 ja 10 − 9 eli 1 jaensimmäiseksi numeroksi ottaa jälkimmäisen numeronsummasta 8+9 eli numeron 7. Bellos ei selitä tätä mystistä”temppua” ja muita vastaavia esittämiään, vaikkane ovat yksinkertaisesti ymmärrettävissä vähällä algebralla.Seuraava luku vie tarkastelemaan päässälaskutaiturienja numeronmuistajien hämmästyttäviä kykyjäsekä π:n desimaalien laskemista. Seuraavassa luvussateemana on sitten algebra. Logaritmin määritelmästäedetään laskuviivaimeen ja muihin laskulaitteisiin.Kirjan luku 6 on omistettu ajanvietematematiikalle.Sudokut esitellään, samoin tangramit. Seuraavan luvuninspiraationa on toiminut kokonaislukujonojen verkkotietosanakirja,mainio On-Line Encyclopedia of IntegerSequences. Luvussa esitellään myös suurten alkulukujenetsimistä ja joitakin sarjojen suppenemiseen liittyviähauskoja totuuksia kuten se, että jos harmonisestasarjasta poistetaan ne termit, joiden nimittäjässäesiintyy yhdeksäinen, jäljelle jää suppeneva sarja.Oman lukunsa on saanut kultaisen leikkauksen suhdeeli luku ϕ (jota kutsutaan kaiken aikaa fiiksi) ja siihenliittyen Fibonaccin jono. Kirjan pisin luku on numero9. Siinä käsitellään todennäköisyyttä, uhkapelejäja peliautomaatteja. Tilastotiedettä käsittelevän luvunjälkeen siirrytään päätökseen, jossa lukijalle tarjoillaanepäeuklidista geometriaa latvialais-amerikkalaisenDaina Taiminan virkkausmallien kautta. Viimein päädytäänGeorg Cantorin joukko-oppiin ja äärettömyyksienluokitteluun.Bellos esittelee aiheitaan todella lehtimiehen tapaan.Melkein aina teksti rakentuu henkilökuvan ja haastattelunpohjalle. Kirjoittajan kiinnostuksen kohteet ovatusein alueilta, joiden kytkös matematiikkaan on löyhähkö.π:n desimaalien ulkoa opettelu, kilpailevien japanilaislastennäppäryys helmitaulun käytössä, oppivaisetsimpanssit tai hedelmäpeliautomaattien ohjelmointieivät ehkä ole sitä, mitä itse haluaisin matematiikanpopulaariesityksestä ensimmäiseksi lukea.Esimerkiksi maailmanlaajuinen matematiikkakilpailuliikeolympialaisineen on jäänyt Bellosilta huomaamatta,vaikka helmitaulu- ja päässälaskukilpailuista saammekintietoja. Mutta paljon relevanttiakin Bellos onkatsaukseensa koonnut, eikä näytä siltä, että kirjan lukijajuuri esitietoja kaipaisi.Siellä täällä pistää esiin kirjoittajan lievä ulkopuolisuusja asiantuntemattomuuskin. Keskihajonta ei ole jakaumanleveys, Diofantos ei elänyt ”joskus 00−200-lukujenvälillä eaa.” (vaan ”jaa.”), David Hilbert ei todistanut,että ”oli mahdotonta esittää hyperbolinen pinta kaavana”,vaan suunnilleen sen, että hyperbolista pintaa eivoi upottaa isometrisesti, pituuden säilyttäen, kolmiulotteiseenavaruuteen. Ja kaikki historian lähteet kertovatantiikin kuution kahdentamisongelman, Deloksenongelman, tarinan ihan toisin kuin Bellos. Mutta sehänon joka tapauksessa tarina.Kirjansa kiitossivulla Bellos ilmaisee kiitollisuudenvelkansaperäti 89:lle nimetylle henkilölle. Kiehtova matematiikkaon pääosin suomennettu sujuvasti ja termitkinovat melkein poikkeuksetta kohdallaan (vaikka kuvionverteksi on kyllä kärki, suora, jana ja viiva väliinsekoittuvat ja alaotsikossa muutamassa muussakin paikassasaattaisi sana luku paremmin vastata kirjailijantarkoitusta kuin numero). Hyvä oivallus suomentajaltaon kirjassa usein esiintyvän ”epäintuitiivisen” suomentaminensanalla vaistonvastainen. Kirjan painotekniikkaei tee oikeutta valokuville. Tätä korvaa 16-sivuinenvärivalokuvaliite, josta saamme nähdä monet Bellosinhaastattelemista henkilöistä ja mm. jäljennöksen 1847Englannissa julkaistusta Eukleideen Alkeiden värikuvaversiosta.Kiitosta annan myös kattavalle hakemistolle.Sen sijaan kirjan lopun sanaston selityksistä eikaikin osin oikein saa selvää. Esimerkiksi: ”Monikulmio:kaksiulotteinen suljettu muoto, joka koostuu äärellisestämäärästä suoria viivoja”. ”Luonnollinen luku:kokonaisluku, joka voidaan saavuttaa laskemallaykkösestä ylöspäin 1”. ”Kokonaisluku: luku joka onjoko luonnollinen luku, negatiivinen luonnollinen lukutai nolla”.Miksi en kaikkiaan oikein osaa innostua Bellosin kirjasta?Mielestäni matematiikka on perusolemukseltaan aikalailla muuta kuin kokoelma pelejä ja vaistonvastaisiatemppuja. Matematiikan erityisominaisuuteen, sen totuudellisuuteenja tietynlaiseen absoluuttisuuteen Bellosei kajoa. Mutta kyllä kirja on kaikkiaan hyvä lisä jonyt sentään aika laajaan suomenkieliseen matemaattiseenpopulaarikirjallisuuteen.

Solmu 1/2012 21Wolfram|Alphasta, parametriesityksistä ja hiukanmuustakinAri KoistinenLehtori, Metropolia ammattikorkeakouluAlkanut vuosi on tietokoneen isänä pidetyn 23.6.1912syntyneen matemaatikko Alan Turingin juhlavuosi.Matematiikka on nykyisen informaatioteknologian perusta.Tietojenkäsittelytiede kehittyi alunperin matematiikaneräänä osa-alueena, ja toisaalta tietokoneidenrakentaminen edellytti matemaattisiin lainalaisuuksiinnojaavaa pitkälle kehitettyä teknologiaa. Voidaan siissanoa, että matematiikka on sekä ”softan” että ”raudan”takana.Nyt informaatioteknologia maksaa velkaansa matematiikallekahdellakin eri tavalla. Ensimmäinen näistä onse, että nopeasti kehittyvän IT:n tarpeet, kuten vaikkapavaltavien tietomassojen käsittely ja hallinta sekäns. tiedon louhinta, edellyttävät aivan uudenlaista matematiikkaaja saavat aikaan uusia matematiikan osaalueita,vieden näin matematiikan kehitystä eteenpäin.Samalla löytyy uusia sovellusmahdollisuuksia jo kauansitten luodulle matematiikalle.Toinen IT:n velanmaksumuoto ovat sen tarjoamatmahdollisuudet suorittaa rutiininomaisia matemaattisiaoperaatioita nopeasti ja vaivattomasti. Numeeriseenja symboliseen laskentaan kehitettyjä tietokoneohjelmiaon ollut jo kymmeniä vuosia, ja niiden ansiostamatemaattisten menetelmien sovellusmahdollisuuksienmäärä on kasvanut räjähdysmäisesti. Esimerkiksi suurtenmatriisien käsittely ilman tietokoneiden apua olisitoivottoman työläs tehtävä.Ennen tehokkaiden PC-koneiden aikakautta oli tyypillistä,että vähänkään vaativampi laskenta tehtiin keskustietokoneella,johon otettiin yhteys päätteeltä, jasupertietokoneita käytetään tähän tapaan edelleenkin.Paljon uudempi asia on, että matemaattisten ohjelmistojenmahdollisuudet ovat kenen tahansa käytettävissäinternetissä. Tunnetuimpia esimerkkejä tästä on Wolfram|Alpha,www.wolframalpha.com.Wolfram|Alpha on eräänlainen internet-hakukoneenja matematiikkaohjelman yhdistelmä. Jälkimmäisestäosasta vastaa Wolfram|Alphan taustalla toimiva samanyhtiön, Wolfram Researchin, jo 1980-luvulla kehittämäohjelma Mathematica. Suuri osa Mathematicankäskyistä toimii Wolfram|Alphassa sellaisenaan,mutta erityistä Wolfram|Alphassa on se, että käskyilläei ole tiukkaa syntaksia, vaan ohjelma pyrkii heuristisestitulkitsemaan käyttäjän syötettä, ja tulkitsemisenonnistuessa se varsinaisten internet-hakukoneidentapaan tulostaa ruudulle paljon aiheeseen liittyvää informaatiota.Syntaksin vapaus merkitsee esimerkiksiMathematica-ohjelmaan verrattuna sitä, että käyttäjänei tarvitse tietää, milloin käytetään aaltosulkuja,milloin hakasulkuja ja milloin tavallisia sulkumerkkejä,joilla kaikilla on Mathematicassa oma tarkoituksensa.Tällaisen vapauden ja heuristisen tulkinnan kääntöpuolenaon kuitenkin riski vääriin tulkintoihin.

22 Solmu 1/2012Yksinkertaisia esimerkkejäWolfram|Alphaan voi antaa syötteitä käyttämälläenglannin kieltä, matemaattisia lausekkeita tai näidenyhdistelmiä. Jokainen voi itse kokeilla yksinkertaisiamatemaattisia operaatioita, ja esimerkkejä löytyy verkostapaljon, esimerkiksi suoraan Wolfram|Alphan pääsivultakohdasta ”examples”. Käydään tässä läpi muutamaesimerkki. Kannattaa syöttää nämä käskyt itseWolfram|Alphaan ja tarkkailla tuloksia.Yhtälöiden ratkaisemiseksi riittää yksinkertaisimmillaankirjoittaa pelkkä yhtälö, tai jopa ainoastaan yhtälöntoinen puoli, jos toinen puoli on nolla. Esimerkiksi:x^3-2x^2+xNollakohtien lisäksi saat paljon muutakin tietoa, mm.funktion kuvaajan, derivaattafunktion, integraalifunktionsekä paikalliset ääriarvot.Kirjoittamallasolve x^3-2x^2+x = 0tulee vain kuvaaja ja yhtälön ratkaisut.Jos muuttujia on useita, voit valita, minkä muuttujansuhteen yhtälö ratkaistaan:solve x*y-x^2+y = 0 for yMäärätyn integraalin voi laskea esimerkiksi seuraavasti:integrate sin(x) from 0 to PiNe, jotka tuntevat LaTeXin syntaksin, voivat käyttääsitäkin:int_0^\pi \sin{x} dxMainittakoon, että Wolfram|Alpha osaa tulkita oikeinmyös tästä hiukan vapaamman muodonint_0^pi sin(x)mutta sen sijaanint 0 pi sin(x)on jo hiukan liian vapaamuotoinen esitys: sen ohjelmatulkitsee – kuten hyvin luonnollista onkin – tulon0·π·sin(x) = 0 integraalifunktioksi, ja sellaisiahan ovatkaikki vakiofunktiot.Wolfram|Alpha selviytyy myös matriisioperaatioista.Se edellyttää jo hiukan tiukempaa syntaksia, sillä epämääräisennumerojonon tulkitseminen matriisiksi juurisilloin, kun käyttäjä tarkoittaa matriisia, vaatisi tietokoneohjelmaltajo lähes telepaattisia kykyjä. Matriisinalkiot syötetään aaltosulkujen sisällä (kuten Mathematicassa)ja myös matriisin rivit erotetaan toisistaan sisemmilläaaltosuluilla, esimerkiksi eräs matriisitulo:{{3, 4} , {2 ,3}} * {{-1 ,0} , {4 ,9}}Jos haluttaisiin tehdä hieman laajempia laskelmia esimerkiksimatriiseilla, niin viimeistään tässä vaiheessatulisi vastaan eräs Wolfram|Alphan merkittävä puuteverrattuna varsinaisiin matematiikkaohjelmiin: matriisien,lukujen tai funktioiden tallentaminen muuttujiinei ole mahdollista, eikä työskentelyä näin ollen voi jatkaakäyttämällä suoraan muuttujaan tallennettua edellisenkäskyn tulosta. Tästä syystä Wolfram|Alpha soveltuuhyvin lähinnä pienimuotoisiin, nopeisiin laskutehtäviin.Myös yksinkertaiset fysiikan laskut sujuvat. Kokeileesimerkiksi syötettäm=1000 kg v=10 m/s kinetic energyParametriesityksetMathematica tarjoaa erittäin hyvät mahdollisuudet visualisoidaparametriesityksiä tasossa tai avaruudessa.Nämä mahdollisuudet ovat useimmissa muissa matematiikkaohjelmissamelko heikot ainakin kolmiulotteistenparametriesitysten osalta. Wolfram|Alphan toiminnallisuuskuitenkin vastaa tältä osin Mathematicaa, ainakinmelko yksinkertaisten tapausten osalta.Luodaan aluksi lyhyt katsaus siihen, mikä on parametriesityksenidea. Esimerkiksi suora, joka kulkee pisteen(2, − 1) kautta ja joka on vektorin i + 4 j suuntainen,voidaan esittää parametriesityksenäx = 2 + ty = −1 + 4t,missä parametri t saa kaikki reaaliarvot. Kaikki pisteet,joiden koordinaatit saadaan tästä jollakin parametrint arvolla, ovat suoralla. Esimerkiksi pistettä (4,7) vastaaparametrin arvo 2. Wolfram|Alphalla tämä suoravoidaan piirtää käskylläparametricplot 2+t , -1+4tYmpyrän parametriesityksessä parametrilla t on hyvinhavainnollinen geometrinen tulkinta: kulma. Tunnetustihankulman kosini on ympyrän kehäpisteen x-koordinaatti ja sini on y-koordinaatti, joten yksikköympyränkehä koostuu pisteistä (cos t, sin t). Jos ympyränkeskipiste on esimerkiksi (−1,3) ja säde 4, voidaan ympyräpiirtää käskylläparametricplot -1+4cos(t), 3+4sin(t)Wolfram|Alpha osaa itse määrittää sopivan vaihteluvälinparametrille, kaikki kulman arvot välillä [0, 2π]. Senvoi myös määrittää itse: kokeile lisätä edellisen käskynperään ”t from 0 to 2Pi/3”. Kuinka kuva muuttuu?

Solmu 1/2012 23Kolmiulotteisia parametriesityksiä voi visualisoida käskylläparametricplot3d. Edellisten kaksiulotteisten esitystenpohjalta saadaan mielenkiintoisia kolmiulotteisiaesimerkkejä, kun lisätään kolmas koordinaatti z.Esimerkiksi korkkiruuvi:parametricplot3d {cos(t), sin(t), 0.1t}t from 0 to 30Aaltosulut eivät ole välttämättömät, mutta ne helpottavatkäskyn lukemista. Kokeile muuttaa lukuja 0,1 ja30 ja mieti, mikä niiden merkitys on.Mieti, kuinka saat piirrettyä kartion. Se onnistuumuokkaamalla hiukan lieriön parametriesitystä.Loppukevennys ja vertailua GoogleenJo todettujen Wolfram|Alphan puutteiden vuoksi –mm. se, että tuloksia ei voi tallentaa muuttujiin jatkotyöskentelyävarten – ei Wolfram|Alphaa ja varsinaisiamatematiikkaohjelmia voine pitää toistensa kilpailijoina.Niiden pääasialliset käyttötarkoitukset ovat erilaisia.Kuvaajien piirron osalta Wolfram|Alphan kenties merkittävinkilpailija on – ehkä hiukan yllättäen, tai sittenei – Google. Parin kuukauden ajan Google-hakujen yhteydessäon toiminut uusi ominaisuus, joka piirtää kuvaajiamatemaattisista lausekkeista. Parametriesityksiinse ei ilmeisesti vielä pysty, mutta lukija voi syöttääseuraavan sekä Googleen että Wolfram|Alphaan ja arvioida,kumpi tuottaa kauniimman lopputuloksen (jamistä ero tuloksissa johtuu):(sqrt(cos(x))*cos(200*x)+sqrt(abs(x))-0.7)*(4-x*x)^0.01, sqrt(9-x^2), -sqrt(9-x^2)from -4.5 to 4.5Lähteitä ja muita linkkejähttp://www.wolframalpha.comKäyttämällä yhtä parametria saadaan käyriä. Sen sijaanpinnat avaruudessa vaativat kaksi parametria. Esimerkiksilieriön vaipan voi ajatella muodostuvan päällekkäinpinotuista ympyröistä, ja kulman lisäksi tarvitaanz-koordinaattia vastaava parametri, joka on tässäesimerkissä s:parametricplot3d {cos(t), sin(t), s}t from 0 to 2Pi, s from 0 to 4http://matta.hut.fi/matta3/WA/ (Simo K. KivelänWolfram|Alpha –opas)http://education.wolfram.com/index.html.en(Wolfram Education Portal – mm. tietoa siitä, kuinkaWolfram|Alphalla voi tehdä widgettejä)http://insidesearch.blogspot.com/2011/12/showing-some-love-to-math-lovers.htmlTulosta koulusi ilmoitustaululle Solmun etusivulta http://solmu.math.helsinki.fi– Solmun juliste– Monikielisen matematiikkaverkkosanakirjan juliste

24 Solmu 1/2012PelitehtäviäTuomas KorppiTämänkertaisissa tehtävissä analysoimme yksinkertaisiapelejä. Tehtävät 1–6 ovat helppoja, ja soveltuvatarvioni mukaan yläasteelle 1 . Tehtävät 7–11 ovat vaikeampia,ja niissä vaaditaan matematiikan harrastuneisuutta.Voittostrategia tarkoittaa menetelmää, jota käyttämälläpelin voittaa varmasti. Optimistrategia tarkoittaastrategiaa, jolla voittaa mahdollisimman paljon, tai häviäämahdollisimman vähän, jos voittaminen on mahdotonta.Helpot tehtävätTehtävä 1. Kivikasassa on n kiveä. 2 pelaajaa pelaaseuraavasti: Kumpikin ottaa kasasta vuorollaan 1 tai2 kiveä. Näin jatketaan, kunnes kaikki kivet on otettu.Se pelaaja voittaa, joka ottaa kasan viimeisen kiven.Kummalla pelaajalla on voittostrategia?Tehtävä 2. Pöydällä on 2n tikkua, joiden pituudetovat 1, 2, ..., 2n. Kaksi pelaajaa pelaa peliä, jossa kumpikinottaa vuorollaan pöydältä tikun. Kun kaikki tikuton otettu, se pelaaja voittaa, jonka ottamien tikkujenyhteispituus on suurempi. Optimistrategia on selvä,mutta kuinka monta yksikköä pelin voittaja jää voitolle,kun kumpikin pelaaja pelaa optimistrategialla? (Tehtäväänon olemassa helppo ratkaisu, jossa ei tarvitse tunteamitään summakaavoja.)Tehtävä 3. Sama kuin edellä, mutta aloittaja ottaaensimmäisellä vuorollaan yhden tikun, ja tämän jälkeenkumpikin ottaa aina vuorollaan kaksi tikkua (kunnespelin viimeisellä vuorolla otetaan taas yksi jäljelläolevatikku). (Tehtävään on olemassa helppo ratkaisu,jossa ei tarvitse tuntea mitään summakaavoja.)Tehtävä 4. Eräässä raha-automaattipokeripelissä pelaajavoi yrittää tietyissä tilanteissa tuplata. Tuplauksessapelaaja asettaa panokseksi summan s, ja automaattiarpoo kortin tavallisesta 52 kortin pakasta. Pelaajantulee arvata, onko kortti pieni (kuutonen tai alle)vai iso (kasi tai yli). Ässä lasketaan vain pieneksikortiksi.Jos pelaaja arvasi oikein, hän saa takaisin alkuperäisenpanoksensa s sekä voittoa s:n verran, ja jos pelaaja arvasiväärin, hän menettää panoksensa. Jos automaatinarpoma kortti on seiska, pelaaja menettää panoksensa.Laske pelaajan voiton odotusarvo tuplauksessa, kuntappio lasketaan negatiiviseksi voitoksi. (Jos et tiedä,mitä odotusarvo tarkoittaa, katso Liite 1.) Jääkö pelaajapitkällä aikavälillä voitolle vai tappiolle tuplauksessa?Tehtävä 5. Musta Maija -korttipelin säännöt löytyvätLiitteestä 2. Osoita, että kahden pelaajan Musta Maija-peli päättyy väistämättä lopulta, pelasivatpa pelaajatkuinka fiksusti tai typerästi tahansa.1 Joukossa on pari rahapelitehtävää, mutta opettajille huomauttaisin, että uskon rahapelien matematiikan ymmärtämisen olevanparas suoja rahapelien haittoja vastaan. Henkilö, joka ymmärtää, miksi tietyissä peleissä ei voi jäädä voitolle, ei myöskään syydäniihin rahojaan.

Solmu 1/2012 25Mitä voit sanoa kolmen pelaajan Mustasta Maijasta?Tehtävä 6. A ja B pelaavat seuraavaa peliä, johonkumpikin on asettanut samansuuruisen panoksen. EnsinA heittää noppaa. Sen jälkeen A saa halutessaanehdottaa panosten tuplausta. Jos A ehdottaa tuplausta,B voi joko hyväksyä tuplauksen, jolloin A ja B asettavatkumpikin alkuperäisten panostensa verran lisää panostapeliin, tai luovuttaa, jolloin B häviää alkuperäisenpanoksen ja peli päättyy. Peli jatkuu B:n nopanheitolla.Suurempi tulos voittaa, paitsi että B voittaatasatilanteessa.Millä ensimmäisen nopan silmäluvuilla A:n kannattaaehdottaa tuplausta? Millä ensimmäisen nopan silmäluvuillaB:n kannattaa hyväksyä tuplaus? (Pelaajan kannattaapelata niin, että hän maksimoi voittosummanodotusarvoa, kun tappio mielletään negatiiviseksi voitoksi.Jos et tiedä, mitä odotusarvo tarkoittaa, katsoLiite 1.)Kumpi pelaaja jää pitkällä aikavälillä voitolle, kun peliätoistetaan useita kertoja ja pelaajat pelaavat niinkuin heidän kannattaa pelata?Haastavammat tehtävätTehtävä 7. Musta Maija -korttipelin säännöt löytyvätLiitteestä 2. Oletetaan, että Musta Maija -pelissä on npelaajaa, 2 ≤ n ≤ 10. Millä n:n arvoilla joku pelaajistapääsee väistämättä lopulta eroon korteistaan, pelasivatpapelaajat kuinka fiksusti tai typerästi tahansa?Tehtävä 8. Kaksi pelaajaa pelaa hutunkeittoa seuraavasti:Ensimmäisenä pelaava heittää pesäpallomailanilmaan, ja toisena pelaava nappaa siitä kiinni satunnaisestakohdasta. Tämän jälkeen ensimmäisenä pelaavaottaa mailasta kiinni niin, että hänen kätensä koskettaatoisena pelaavan kättä ja on kahvan puolella mailaaverrattuna toisena pelaavan käteen. Tämän jälkeen toisenapelaava irroittaa otteensa mailasta ja ottaa mailastakiinni niin, että hänen kätensä koskettaa ensimmäisenäpelaavan kättä ja on kahvan puolella mailaaverrattuna ensimmäisenä pelaavan käteen. Näin jatketaan,kunnes jompi kumpi pitää kiinni mailan kahvanpuoleisestapäästä (osa kädestä saa jäädä tyhjän päälle.Oletetaan myös, että mikä tahansa nollasta eroava pituusmailaa mahdollistaa otteen saamisen.) Tämä pelaajavoittaa pelin.Oletetaan, että kun maila otetaan heitosta kiinni, kädenja mailan kahvanpuoleisen pään väliin jää k:n verrantilaa. Kun pelaajat tämän jälkeen ottavat mailastakiinni, he voivat valita otteensa viemän tilan väliltä[n,m]. Kummalla pelaajalla on voittostrategia hutunkeitossa,kun k, n ja m ovat annettuja?Tehtävä 9. Osoita, että jätkänshakissa (siis siinä, jotapelataan rajoittamattomalla pelialueella, ja jossa pitääsaada viisi riviin) toisena pelaavalla ei ole voittostrategiaa.Tehtävä 10. Kaksi pelaajaa pelaa äärettömällä ruutupaperillaseuraavaa peliä: Toinen pelaa rasteilla, toinennollilla. Kumpikin merkkaa vuorollaan oman merkkinsäjohonkin vapaaseen ruutuun. Se pelaaja voittaa, jokasaa merkittyä 2 × 2 -blokin itselleen. Tällöin pelimyös päättyy. Osoita, että kummallakaan pelaajalla eiole voittostrategiaa.Tehtävä 11. Tätä peliä pelataan äärettömällä ruutupaperilla,ja kutsumme ruutujen reunaviivojen leikkauspisteitäpaikoiksi.Yksi pelaaja pelaa seuraavasti: Alussa äärettömälläruutupaperilla on merkitty äärellinen määrä paikkoja.Vuorollaan pelaaja aina merkitsee yhden merkitsemättömänpaikan ja vetää viivan viiden peräkkäisen merkitynpaikan kautta vaakasuoraan, pystysuoraan tai diagonaalisesti.(Kaksi merkittyä paikkaa ovat siis viivanalku- ja loppupiste, ja kolme viivan sisäpisteitä.) Kaksivedettyä viivaa saa leikata korkeintaan yhdessä pisteessä,eli ne eivät saa ”kulkea päällekkäin”. Osoita, ettäpeliä ei voi jatkaa äärettömiin.Ratkaisut(1) Oletetaan, että kasassa on kolmella jaollinen määräkiviä. Tällöin toisena pelaava pystyy varmistamaanaina omalla siirrollaan, että kasaan jää hänen siirtonsajälkeen kolmella jaollinen määrä kiviä. Lopulta kasassaon kolme kiveä, ja ensimmäisenä pelaava ottaa niistä 1tai 2, ja toisena pelaava voi ottaa loput ja voittaa.Jos kasan kivien määrä ei ole kolmella jaollinen, voiensimmäisenä pelaava jättää kasaan ensimmäisen siirtonsajälkeen kolmella jaollisen määrän kiviä ja voittaapelaamalla samoin kuin toisena pelaava edellisessäkappaleessa.(2) Optimistrategialla kumpikin ottaa vuorollaan kasassajäljellä olevista pisimmän tikun. Ajatellaan tikutpareiksi niin, että 2n ja 2n−1 mittaiset ovat pari, 2n−2ja 2n − 3 mittaiset ovat pari ja niin edelleen. Kustakinparista pelin aloittaja ottaa pidemmän ja toisena pelaavalyhyemmän. Jokaisessa parissa ensimmäisenä pelaavajää yhden yksikön voitolle, joten hän jää kokopelissä n yksikköä voitolle.(3) Ajatellaan tikut pareiksi samoin kuin edellisessätehtävässä. Nyt pelaajat jäävät pareissa vuorotellen yhdenyksikön voitolle. Jos n on parillinen, pareja on parillinenmäärä, ja kumpikin jää yhtä monta kertaa voitolle.Siis tasapeli. Jos n on pariton, jää pelin aloittajayhden kerran enemmän voitolle, joten hän voittaa yhdenyksikön.(4) Käytetään samaa notaatiota kuin liitteessä.

26 Solmu 1/2012Merkitään t 1 =”Pelaaja arvasi oikein”, t 2 =”Pelaajaarvasi väärin” ja t 3 =”Kortti on seiska”. Nyt p 1 = 6/13(huomaa, että veikkasipa pelaaja pientä tai isoa, hänelläon kuusi mahdollisuutta kolmestatoista osua oikeaan),p 2 = 6/13 ja p 3 = 1/13. Nyt t 1 = s (se, kuinkapaljon pelaaja saa voittoa), t 2 = −s ja t 3 = −s. Siisodotusarvo on 6/13 × s + 6/13 × (−s) + 1/13 × (−s) =−s/13. Siis odotusarvo on negatiivinen, ja pelaaja jääpitkällä aikavälillä tappiolle.(5) Huom! Seuraavassa 52 (korttipakan korttien lukumäärä)on yläraja, eli se on luku, joka on varmasti riittävänsuuri. On mahdollista, että se on liiankin suuri,mutta tämä ei vähennä ratkaisun oikeellisuutta.Kahden hengen peli:Aina kun pelissä lyöntivuoro vaihtuu pelaajalta toiselle,kortteja poistuu pelistä. Jos siis lyöntivuoro vaihtuuvähintään 52 kertaa, on jompi kumpi pelaajista päässytkaikista korteistaan eroon ja voittanut pelin.Aina kun saman pelaajan lyöntivuoro säilyy, hän menettääkäsikorttejaan ja nostaa uusia kortteja pakastatai pääsee eroon käsikorteistaan. Näin pelaaja pääseeeroon korteistaan, jos hän pääsee lyömään vähintään52 kertaa peräkkäin.Siis kahden hengen pelissä lyöntivuoro voi vaihtua pelaajaltatoiselle korkeintaan 52 kertaa, ja kahden peräkkäisenvaihtumisen välissä voi olla korkeintaan 52lyöntivuoroa. Niinpä kahden hengen peli kestää korkeintaan52 × 52 lyöntivuoroa.Kolmen hengen Musta Maija puolestaan jää jumiinmm. silloin, jos pelaajat aina lyövät yhden kortin jaaina nostavat käteen heille lyödyn kortin.Jos pelaajia on enemmän kuin kolme, peli muuttuu kolmenhengen peliksi siinä vaiheessa kun sopiva määräpelaajia on päässyt eroon korteistaan (ellei peli ole jäänytjumiin sitä ennen). Tällöin saatetaan kohdata samaongelma kuin kolmen hengen Mustassa Maijassa.(6) Oletetaan, että A:n voittotodennäköisyys ensimmäisennopanheiton jälkeen on p, kun B:n mahdollinenluovutus jätetään huomiotta. A:n voittosummanodotusarvo tuplaamattomassa pelissä on p − (1 − p) =2p − 1, tuplatussa pelissä 2(2p − 1) = 4p − 2 ja 1, josB luovuttaa. 1 ≥ 2p − 1 aina, ja 4p − 2 ≥ 2p − 1 jos javain jos p ≥ 1/2 (yhtäsuuruus toteutuu jos ja vain josp = 1/2.) A:n kannattaa siis ehdottaa tuplausta, josp > 1/2, olla ehdottamatta, jos p < 1/2 ja päätös onyhdentekevä, jos p = 1/2.Oletetaan, että B:n voittotodennäköisyys ensimmäisennopanheiton jälkeen on q, kun B:n mahdollinenluovutus jätetään huomiotta. B:n kannattaa hyväksyätuplaus, jos ja vain jos 2(q − (1 − q)) ≥ −1, eli josq ≥ 1/4 (yhtäsuuruuden vallitessa päätös on yhdentekevä).1. nopan p = 1 − q kannattaa kannattaatulos ehdottaa hyväksyä1 0 ei kyllä2 1/6 ei kyllä3 1/3 ei kyllä4 1/2 yhdentekevä kyllä5 2/3 kyllä kyllä6 5/6 kyllä eiAlla käytän samaa notaatiota kuin liitteessä. Viimeiseenkysymykseen vastaamiseksi muodostetaan tapauksett 1 =”Ensimmäisen nopan tulos on yksi ja Avoittaa”, t 2 =”Ensimmäisen nopan tulos on yksi ja Bvoittaa”, t 3 =”Ensimmäisen nopan tulos on kaksi ja Avoittaa”, t 4 =”Ensimmäisen nopan tulos on kaksi ja Bvoittaa” jne. Määritetään tapahtumien todennäköisyydetja tapahtumien rahalliset arvot (pelaajan A kannalta)ja asetetaan ne pelaajan A voittosumman odotusarvon(kun tappio mielletään negatiivisena voittona)kaavaan. Havaitaan, että termit p 1 v 1 + p 2 v 2 jap 11 v 11 + p 12 v 12 kumoavat toisensa, samoin kuin termitp 3 v 3 + p 4 v 4 ja p 9 v 9 + p 10 v 10 . Koska p 7 v 7 + p 8 v 8 = 0,odotusarvo on p 5 v 5 + p 6 v 6 = (2 − 4)/36 = −1/18. SiisB jää pitkällä aikavälillä voitolle.(7) Ratkaisu: Joku pelaajista pääsee väistämättä lopultaeroon korteistaan jos ja vain jos n on parillinen.n parillinen: Jaetaan pelaajat porukoihin A ja B niin,että jokainen istuu kahden vierasta porukkaa edustavanvälissä.Aina kun pelissä lyöntivuoro vaihtuu porukalta toiselle,kortteja poistuu pelistä. Jos siis lyöntivuoro vaihtuuporukalta toiselle vähintään 52 kertaa, on joku pelaajistapäässyt kaikista korteistaan eroon.Aina kun lyöntivuoro säilyy samalla porukalla, jokuporukan pelaajista menettää käsikorttejaan ja nostaauusia kortteja pakasta tai pääsee eroon käsikorteistaan.Näin joku porukan pelaajista pääsee eroon korteistaan,jos sama porukka pääsee lyömään vähintään 52 kertaaperäkkäin.Siis lyöntivuoro voi vaihtua porukalta toiselle korkeintaan52 kertaa, ja kahden peräkkäisen vaihtumisen välissävoi olla korkeintaan 52 lyöntivuoroa, ennenkuinjoku on päässyt eroon korteistaan. Niinpä kestää korkeintaan52×52 lyöntivuoroa, ennenkuin joku on päässyteroon korteistaan.n pariton: Oletetaan, että jokainen lyö aina yhden kortinja nostaa hänelle lyödyn kortin käteen. Jokainenpelaaja on joka toisella kierroksella lyöjän roolissa jajoka toisella kierroksella nostajan roolissa. Niinpä pelaajaei pääse korteistaan eroon, vaan hänen käsikorttiensamäärä alkaa vaihdella kuuden ja viiden välillä.(8) Kutsutaan perusstrategiaksi strategiaa, jossa otteenkoko on vähintään mailan loppuosa, jos mailaa on jäljelläkorkeintaan m:n verran, ja muutoin otteen koko

Solmu 1/2012 27on n + m − x, missä x on vastustajan edellisen otteenkoko.Olkoon y reaaliluku. Merkitään f(y):llä pienintä positiivistareaalilukua, jolle on olemassa kokonaisluku lsiten, että f(y) = y + l(n + m).Jos f(k) > m, toisena pelaava pystyy voittamaan perusstrategialla.Jos n ≤ f(k) ≤ m, ensimmäisenä pelaava voi jättääensimmäisellä otteellaan mailaan pituuden k ′ , jollef(k ′ ) = n+m ja tämän jälkeen voittaa perusstrategialla.Jos f(k) < n, ensimmäisenä pelaava ottaa ensimmäisenotteensä n:n kokoisena. Tämän jälkeen pituutta jäämailaan k ′ yksikköä, jolle f(k ′ ) > m. Nyt ensimmäisenäpelaava voittaa perusstrategialla.Tehtävässä teimme idealisoivan oletuksen, että mikätahansa pituus mailaa viimeisessä otteessa riittää voittoon.Käytännön pelitilanteet ovat sellaisia, että tuonpituuden on oltava vähintään pieni vakio a. Kiinnostunutlukija voi miettiä, kuinka tehtävän ratkaisu muuttuutällä vaatimuksella.(9) Lyhyt todistus: Aloitussiirrosta ei missään tilanteessaole haittaa ensimmäisenä pelaavalle.Pitkä todistus: Oletetaan, että toisena pelaavalla onvoittostrategia S. Nyt ensimmäinen pelaaja voi pelataensimmäisen siirtonsa mielivaltaisesti, ja sen jälkeenS:n mukaan kuvitellen, että ensimmäistä siirtoa ei oletehty. Jos jossain vaiheessa S:n mukaan ensimmäisenpelaajan pitää tehdä se siirto, jota hän ei kuvittele tehneensä,hän lakkaa kuvittelemasta, että kyseistä siirtoaei ole tehty, tekee mielivaltaisen siirron ja alkaa jatkossakuvitella, että hän ei ole tehnyt tuota mielivaltaistasiirtoa. Koska S on voittostrategia ja siitä siirrosta, jotaensimmäinen pelaaja ei kuvittele tehneensä, ei oleensimmäiselle pelaajalle haittaa, ensimmäinen pelaajavoittaa välttämättä. Ristiriita.(10) Ajatellaan ruutupaperi ”tiiliseinäkuvioksi”, jokakoostuu 2 × 1 -”tiilistä”. Huomataan, että jokaisen2 × 2 -blokin pitää sisältää yksi edellisessä virkkeessäkuvitelluista ”tiilistä”. Nyt kumpikin pelaaja pystyy estämääntoista pelaajaa voittamasta pelaamalla aina samaan”tiileen” kuin vastustajan edellinen siirto (tai pelaamallamielivaltaisesti, jos samassa ”tiilessä” on jooma merkki.)(11) Ajatellaan, että jokaisella merkityllä paikalla onkahdeksan ilmansuuntaa. Jokainen vedetty viiva kulkeekahdeksan merkitty paikka–ilmansuunta -parin kautta(yksi viivan kussakin päätepisteessä ja kaksi kussakinsisäpisteessä.) Kaksi viivaa ei voi käyttää samanpaikan samaa ilmansuuntaa, koska tällöin ne leikkaisivatuseammassa kuin yhdessä pisteessä. Koska vuorollamerkitään yksi paikka (kahdeksan ilmansuuntaa)ja vedetään viiva kahdeksan merkitty paikka–ilmansuunta -parin kautta, vapaiden merkitty paikka–ilmansuunta -parien määrä säilyy koko ajan vakiona.Koska pelitilanteen ylä-, ala-, oikeassa ja vasemmassareunassa on väistämättä vapaita merkitty paikka–ilmansuunta -pareja (esim. jokaisen rivin, jolla on merkittyjäpaikkoja, idänpuolimmaisessa merkityssä paikassaon vapaa ilmansuunta itään päin), vieläpä sitäenemmän mitä enemmän paikkoja on merkitty, pelitilanneei voi kasvaa mielivaltaisen suureksi.Liite 1: OdotusarvoTutkitaan aluksi peliä, jossa A vetää yhden kortin tavallisesta52 kortin pakasta. Jos kortti on punainen, Avoittaa 3 euroa, ja jos kortti on musta, A häviää 3 euroa.Merkitään t 1 :llä tapahtumaa ”vedetty kortti on punainen”ja t 2 :lla tapahtumaa ”vedetty kortti on musta”.Kun pelataan yksi peli, seuraavat kaksi ehtoa pätevät:1. Ei ole mahdollista, että kumpikin tapahtumista t 1ja t 2 tapahtuu.2. Jompi kumpi tapahtumista t 1 ja t 2 tapahtuu.Ensimmäinen ehto pätee siksi, että kortti ei voi olla yhtaikaapunainen ja musta, ja jälkimmäinen ehto siksi,että jokainen kortti on joko punainen tai musta.Tapahtumilla t 1 ja t 2 on todennäköisyydet p 1 ja p 2 .Koska puolet pakan korteista on punaisia ja puoletmustia, p 1 = 1/2 ja p 2 = 1/2.Lisäksi tapahtumiin t 1 ja t 2 liittyy luvut v 1 ja v 2 . KoskaA voittaa kolme euroa punaisella kortilla, voidaanmäärittää v 1 = 3, ja koska A häviää kolme euroa mustallakortilla, voidaan määrittää v 2 = −3.Nyt A:n voittosumman odotusarvo (kun tappio lasketaannegatiiviseksi voitoksi) lasketaan kaavallap 1 v 1 + p 2 v 2 .Tässä tapauksessa siis odotusarvo on (1/2)×3+(1/2)×(−3) = 0. Samalla kaavalla odotusarvo voidaan laskeakaikissa tilanteissa, joissa numeroidut ehdot (1) ja (2)pätevät.Tutkitaan seuraavaksi peliä, jossa pakkaan on lisättykaksi jokeria (joita ei lasketa mustiksi eikä punaisiksikorteiksi). Tavallisten korttien osalta peli etenee kutenedellisessä kohdassa, mutta jokerin vetäessään A häviääyhden euron.Nyt t 1 ja t 2 ovat kuten edellä, ja mukaan tulee uusitapahtuma t 3 , joka on ”vedetty kortti on jokeri”. Kunpelataan yksi peli, seuraavat ehdot pätevät:1. Ei ole mahdollista, että kaksi tai useampia tapahtumistat 1 , t 2 , t 3 tapahtuu.

28 Solmu 1/20122. Välttämättä joku tapahtumista t 1 , t 2 , t 3 tapahtuu.Nyt p 1 = 26/54 = 13/27, p 2 = 26/54 = 13/27 jap 3 = 2/54 = 1/27. Vastaavasti v 1 = 3, v 2 = −3 jav 3 = −1. A:n voittosumman odotusarvo (kun tappiolasketaan negatiiviseksi voitoksi) saadaan kaavallap 1 v 1 + p 2 v 2 + p 3 v 3 .Meidän tapauksessamme odotusarvo on siis 13/27×3+13/27 × (−3) + 1/27 × (−1) = −1/27. Samalla kaavallaodotusarvo voidaan laskea myös muissa sellaisissa tapauksissa,joissa ehdot (1) ja (2) toteutuvat.Jos tapahtumia on enemmän kuin kolme, odotusarvonkaava muodostetaan aivan samalla periaatteella, summattaviaon vain enemmän. Kuitenkin ehtojen (1) ja(2) vastineiden tulee päteä. (Jos taas tapahtumia onvain yksi, t 1 , tällöin t 1 tapahtuu välttämättä, eli p 1 = 1,ja odotusarvo on yhtä kuin v 1 .)Voittosumman odotusarvo (kun tappio mielletään negatiivisenavoittona) on hyvä mittari sille, mitä tapahtuupitkissä sarjoissa, joissa samaa peliä toistetaan moniakertoja. Tällöin pelaaja voittaa keskimäärin yhdessäpelissä odotusarvon verran (jos odotusarvo on positiivinen)tai häviää keskimäärin yhdessä pelissä odotusarvonverran (jos odotusarvo on negatiivinen). Josodotusarvo on nolla, pelaaja jää keskimäärin omilleen.Lopuksi vielä kiinnostuneita lukijoita varten muodollisestipätevä odotusarvon määritelmä.Olkoot t 1 , . . . , t n mahdollisia tapahtumia, jotka toteuttavatseuraavat ehdot:• On mahdotonta, että kaksi tai useampia tapahtumiajonosta t 1 , . . . , t n tapahtuu.• Väistämättä joku tapahtumista t 1 , . . . , t n tapahtuu.Olkoon kaikilla i, 1 ≤ i ≤ n, luku p i todennäköisyys,että t i tapahtuu. Tällöin välttämättä p 1 + · · ·+ p n = 1.Oletetaan, että jokaiseen tapahtumaan t i , 1 ≤ i ≤ n,on liitetty lukuarvo v i . Nyt muuttujan v odotusarvomääritetään kaavallap 1 v 1 + · · · + p n v n .Se on siis lukujen v 1 , . . . , v n todennäköisyyksillä painotettukeskiarvo.Liite 2: Mustan Maijan säännötPeliin osallistuu 2-10 pelaajaa, ja pelissä käytetään tavallista52 kortin korttipakkaa. Kortit sekoitetaan ja jokaisellepelaajalle jaetaan viisi korttia, ja loput korteistaasetetaan kuvapuoli alaspäin nostopakaksi. Nostopakanpäällimmäinen kortti asetetaan kuvapuoli ylöspäinpoikittain nostopakan alle, ja sen maa määrää valttimaan.Poikittain asetettu kortti on nostopakan alinkortti. Valttimaan kortteja kutsutaan valteiksi. Pataei voi olla valttia, joten jos valtiksi kääntyi pata, nostettukortti palautetaan pakan keskelle, ja uusi korttikäännetään määräämään valttimaa. Toistetaan kunnessaadaan valtiksi joku muu maa kuin pata. (Jos suurillapelaajamäärillä näyttää siltä, että nostopakassa onpelkkiä patoja, suoritetaan uusi jako.)Patakuningatar on erikoiskortti, ja sitä kutsutaan MustaksiMaijaksi.Vuorolla vuorossa oleva pelaaja lyö kortteja kädestäänpöytään seuraavin rajoituksin:1. Korttien tulee olla samaa maata (tässä suhteessaMusta Maija lasketaan padaksi.)2. Korttien määrä ei saa ylittää seuraavan pelaajankäsikorttien määrää.Tämän jälkeen, jos nostopakassa on jäljellä korttejaja vuorossa olevalla pelaajalla on vähemmän kuin viisikorttia kädessään, vuorossa oleva pelaaja nostaa nostopakastakortteja, kunnes hänellä on viisi korttia kädessään.Tämän jälkeen seuraavana vuorossa oleva pelaaja (jotakutsumme uhriksi) voi yrittää kaataa lyödyt kortit käsikorteillaan.Mikä tahansa kortti kaatuu korkeammallakortilla samaa maata (ässä on korkein). Mikä tahansaei-valttikortti kaatuu millä tahansa valtilla. Yhdelläkortilla voi kaataa vain yhden kortin. Mustaa Maijaa eivoi kaataa millään kortilla, eikä Mustalla Maijalla voikaataa mitään korttia. Kaataminen on vapaaehtoista.Kaadetut kortit ja ne kortit, joita käytettiin kaatamiseen,poistetaan pelistä.Jos uhri ei kaatanut kaikkia lyötyjä kortteja, hän ottaakaatamatta jääneet kortit käteensä.Jos uhrilla on tässä vaiheessa vähemmän kuin viisi korttiakädessään ja nostopakassa on jäljellä kortteja, uhriottaa nostopakasta kortteja, kunnes hänellä on viisikorttia kädessään.Jos uhri kaatoi kaikki lyödyt kortit, peli jatkuu uhrinlyöntivuorolla. Jos taas uhri nosti kaatamatta jääneitäkortteja käteensä, peli jatkuu uhrista seuraavan pelaajanlyöntivuorolla. Jos pelaajia on jäljellä vain kaksi,uhrista seuraava pelaaja on sama pelaaja, joka löikortteja uhrille.Kun nostopakan loputtua pelaaja pääsee eroon käsikorteistaan,hän on ulkona pelistä eikä enää osallistusiihen. Viimeinen pelaaja, jolla on kortteja kädessään,niiden joukossa Musta Maija, on hävinnyt pelin.

Solmu 1/2012 29Olisiko ammattini matemaatikko?Matti LehtinenHelsingin yliopistoIan Stewart: Kirjeitä nuorelle matemaatikolle.Suom. Juha Pietiläinen. Terra Cognita 2007, 215 s.Ovh. 25 e.arkkitehti, insinööri tai juontaja (joka nykyään useinnäyttäytyy nuoren toiveammattina). Kysyjälle voin tokijotain vastata, itse koetun tai muilta kuullun perusteella.Mielelläni kuitenkin suosittelen ammatinvalintasuunnitelmissaanmatemaatikkoa yhtenä vaihtoehtonapitäville nyt esillä olevaan kirjaan tutustumista.Englantilainen Ian Stewart (s. 1945) on matemaatikko,jonka tieteellinen julkaisutoiminta käsittelee mm.Lien algebroja ja katastrofiteoriaa. Hän on kuitenkintunnetumpi monista matematiikkaa ja luonnontieteitäkäsittelevistä yleistajuisista kirjoistaan. Professorinvirkatyökin liittyy, harvinaista kyllä, tällaiseen kirjoittamiseen.Hän on Warwickin yliopiston matematiikankansantajuistamislaitoksen (sellainen tosiaan on olemassa!),Mathematics Awareness Centren johtaja.Aina silloin tällöin kohtaan nuoren henkilön, joka kysyyminulta, mitä matemaatikko oikeastaan tekee. Elämänuranamatemaatikko näyttää varmaan abstraktimmaltakuin esimerkiksi opettaja (joita kaikki näkevät),Stewart on ottanut tehtäväkseen päivittää maanmiehensäG.H. Hardyn kuuluisan, vuonna 1940 ilmestyneenMatemaatikon apologian, jonka suomennos olivuonna 1997 toimintansa alkaneen Kimmo PietiläisenTerra Cognita -kustantamon ensimmäinen julkaisu.Hardyn kirja on pitkään ollut selkeimmin matematiikanolemusta yleistajuisesti, tyylikkäästi ja esteettisestikorkeatasoisesti esittelevä pikku teos. Stewartin suomentajaJuha Pietiläinen kirjoittaa sujuvasti ja korrektisti– vävyn ja langon sekoittuminen on luettava ajanilmiöksi, sukulaisuussuhteiden merkityshän taitaa ylimalkaanolla vähenemässä.Ian Stewart rakentaa kirjansa 21:stä kuvitteellisestakirjeestä nuorelle ystävälleen Megille, joka kirjan aika-

30 Solmu 1/2012na etenee matematiikasta kiinnostuneesta lukiolaisestamatematiikan opiskelijaksi, jatko-opiskelijaksi, postdociksija viimein oikeaksi matemaatikoksi, yliopistovirkaan.Meg, arvattavasti Margaret, on sinänsä päivitys:yksi Hardyn lainatuimpia virkkeitä koskee matematiikkaanuoren miehen alana. Stewart esittelee matematiikkaaitseään siten kuin siitä voisi ajatella olevantarpeen kertoa vasta koulumatematiikkaan tutustuneelleja kertoo siitä, miten hän itse tuli lähteneeksialalle. Yliopisto-opiskelija Meg saa neuvoja matematiikanlukemisesta ja oppimisesta, todistuksen olemuksesta,soveltavan ja puhtaan matematiikan eroistasekä ajatuksia matematiikan filosofisesta rakenteesta.Jo tieteen portteja kolkuttelevalle neuvotaan tutkijoidenhierarkiaa ja yhteistyötä. Kerrotaanpa ammatinmukanaan tuomista pikku ongelmista kuten konferenssimatkoistaeksoottisiin maailmankolkkiin omituistenlentoyhtiöiden kyydissä. Vaikka Stewartin taustaon anglosaksinen, suurin osa hänen tekstistään on päteväämuissakin kulttuureissa, Suomessakin. Matematiikkaon kovin kansainvälinen tiede.Keneltäpä nuori, jonka mieleen välähtäisi elämä matemaatikkona,menisi tietoja kyselemään? Kun matemaatikkojakuitenkaan ei ole kovin tiheässä, ainakaanyliopistopaikkakuntien ulkopuolella, ei monenkaan lähipiiriinvoi oikeaa matemaatikkoa kuulua. Paras tiedonantajavoisi olla opettaja. Harva matematiikanopettajatietää omakohtaisesti kovinkaan paljon oikeastamatematiikasta, matematiikasta sellaisena kuin matemaatikkosen kohtaa. Näin ollen hän ei, vaikka parastaanyrittäisikin, osaa antaa kovin realistista kuvaamatemaatikon elämästä ainakaan ohi opintojen perusvaiheiden.Stewartin kirja olisi mainiota luettavaaniin matematiikan opettajille kuin opinto-ohjaajillekin.Eniten sitä suosittelen kuitenkin jokaiselle matematiikastavähän keskimääräistä enemmän kiinnostuneellenuorelle. Kirjan luettuaan voi olla hiukan varmempi siitä,saattaisiko tulevaisuus matemaatikkona olla omientoiveiden täyttymystä vai ei. Varmoja vastauksiahannäihin elämän tärkeisiin kysymyksiin ei kukaan pystyantamaan.Diplomitehtävien oheislukemistoaOsoitteessa http://solmu.math.helsinki.fi/diplomi.html on diplomitehtäville oheislukemistoa, joka varmastikiinnostaa muitakin kuin diplomien tekijöitä:Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat?Murtolukujen laskutoimituksiaNegatiivisista luvuistaHiukan osittelulaistaLausekkeet, kaavat ja yhtälötÄärettömistä joukoistaErkki Luoma-aho: Matematiikan peruskäsitteiden historiaGaussin jalanjäljissäK. Väisälä: AlgebraYläkoulun geometriaaGeometrisen todistamisen harjoitusK. Väisälä: GeometriaLukuteorian diplomitehtävät

Solmu 1/2012 31Tuomaksen tehtäviäTuomas KorppiReaalilukujen järjestelmä tavanomaisine laskutoimituksineenon kaikille tuttu, mutta voidaanko reaaliluvuillemääritellä muita laskutoimituksia niin, että tututlaskulait säilyvät, eli hienommin sanottuna saadaankunta? Tämänkertaisissa tehtävissä pohdimmekin, voidaankokunnan yhteenlaskuksi valita reaalilukujen kertolasku.Hiukan teoriaaJos K on joukko, periaatteessa mitä tahansa funktiotaK × K → K voidaan pitää laskutoimituksena joukossaK. Meille tutut laskutoimitukset kuitenkin tottelevaterilaisia laskulakeja, esimerkkinä vaikkapa se, että reaaliluvuillepäteea + (b + c) = (a + b) + c.Abstraktissa algebrassa tutkitaankin yleensä sellaisiarakenteita, joiden laskutoimitukset toteuttavat erilaisialaskulakeja. Eräs tällainen rakenne on kunta, jonkamäärittelemme seuraavaksi.Viisikko (K, ⊕, ⊗,O,I) on kunta, jos K on joukko,⊕: K × K → K, ⊗: K × K → K, ja O,I ∈ K, sekäseuraavat aksioomat pätevät.1. (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c) kaikilla a, b, c ∈ K.2. O ⊕ a = a kaikilla a ∈ K.3. Kaikilla a ∈ K on olemassa b ∈ K, jolle a ⊕ b = O.4. a ⊕ b = b ⊕ a kaikilla a, b ∈ K.5. (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c) kaikilla a, b, c ∈ K.6. I ⊗ a = a kaikilla a ∈ K.7. Kaikilla a ∈ K, a ≠ O, on olemassa b ∈ K, jollea ⊗ b = I.8. a ⊗ b = b ⊗ a kaikilla a, b ∈ K.9. a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) kaikilla a, b, c ∈ K.10. O ≠ I.Kunnassa on siis määritelty yhteen- ja kertolaskut sekäykkös- ja nolla-alkiot, jotka tottelevat tavanomaisialaskulakeja. Aksiooman 3 nojalla kaikilla alkioilla onmyös vasta-alkio sekä aksiooman 7 nojalla kaikilla nollastaeroavilla alkioilla on käänteisalkio.Tuttuja kuntia ovat rationaalilukujen kunta, reaalilukujenkunta ja kompleksilukujen kunta, tavallisilla laskutoimituksillaanja nolla- ja ykkösalkioilla varustettuna.Kunta on kuitenkin määritelty abstraktisti niin,että mikä tahansa joukko, joka on varustettu aksioomattoteuttavilla laskutoimituksilla ja nolla- ja ykkösalkioillaon kunta. On esimerkiksi olemassa kahden alkionkunta, jonka ainoat alkiot ovat O ja I ja jossaO ⊕I = I ⊕O = I ⊗I = I ja O ⊕O = I ⊕I = O ⊗O =O ⊗I = I ⊗O = O.Liitteessä annetaan lisää esimerkkejä kunnista. Voit lukaistaliitteen tässä välissä, tai siirtyä suoraan tehtäviin.

32 Solmu 1/2012TehtävätTehtäviin 2–5 vaaditaan paitsi vastaus, myös sen todistus.Tehtävät on pisteytetty, joten voit kokeilla, monenkopisteen edestä saat tehtäviä ratkaistua. Joihinkintehtäviin on myös vihjeitä, jotka helpottavat tehtävää,mutta vähentävät pistesaalista. Jos luet viidenpisteen vihjeen, saat tehtävästä vain viisi pistettä. Josluet kolmen pisteen vihjeen, saat tehtävästä vain kolmepistettä, ja jos luet yhden pisteen vihjeen, saat vainyhden pisteen.Kunnassa voidaan laskea aika pitkälle samalla tavoinkuin reaaliluvuillakin. Seuraavassa tehtävässä johdammehiukan lisää laskulakeja.Tehtävä 1. (1 piste)Olkoon (K, ⊕, ⊗,O,I) kunta. Todista seuraavat väitteet:1. Jos a, b, c ∈ K, pätee (a ⊕ b) ⊗ c = (a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c).2. Jos a, b ∈ K, ja a ⊕ b = O, niin myös b ⊕ a = O.3. Jos a, b ∈ K, ja a ⊗ b = I, niin myös b ⊗ a = I.4. Jos a ∈ K, a ⊕O = a.5. Jos a ∈ K, a ⊗I = a.Lopuissa tehtävissä pohdimme, onko olemassa kuntarakenteita,joissa reaalilukujen kertolasku on kunnanyhteenlasku.Jos et saa seuraavaa tehtävää tehtyä, on alla yhden pisteenvihje.Jos et saa seuraavaa tehtävää ratkaistua, on alla viidenpisteen vihje, kolmen pisteen vihje ja yhden pisteenvihje.Tehtävä 5. (7 pistettä)Olkoon R + = {x ∈ R | x > 0}. Olkoon ⊕: R + ×R + →R + , a ⊕ b = ab ja O = 1. Onko olemassa paria (⊗,I)siten, että (R + , ⊕, ⊗,O,I) on kunta?Viiden pisteen vihjeet(3) Ei ole.(5) Kyllä on.Kolmen pisteen vihjeet(3) Todista ensin seuraavat kaksi lemmaa.Lemma 1. Olkoon (K, ⊕, ⊗,O,I) kunta. Tällöin O ⊗x = O kaikilla kunnan alkioilla x ∈ K.Lemma 2. Olkoon (K, ⊕, ⊗,O,I) kunta, jossa I ⊕I ≠O. Olkoon x ∈ K. Tällöin on olemassa y ∈ K, jolley ⊕ y = x.(5) Tutki funktiota f : R → R + , f(x) = e x . Se on bijektio,ja pätee f(x + y) = f(x) ⊕ f(y) kaikilla x, y ∈ R,sekä f(0) = O.Tehtävä 2. (3 pistettä)Olkoon ⊕: R ×R → R, a ⊕ b = ab ja O = 1. Onko olemassaparia (⊗,I) siten, että (R, ⊕, ⊗,O,I) on kunta?Jos et saa seuraavaa tehtävää tehtyä, on alla viiden pisteenvihje, kolmen pisteen vihje ja yhden pisteen vihje.Tehtävä 3. (7 pistettä)Olkoon ⊕: R \ {0} × R \ {0} → R \ {0}, a ⊕ b = abja O = 1. Onko olemassa paria (⊗,I) siten, että(R \ {0}, ⊕, ⊗,O,I) on kunta?Jos et saa seuraavaa tehtävää tehtyä, on alla yhden pisteenvihje.Tehtävä 4. (3 pistettä)Olkoon R + = {x ∈ R | x > 0}. Olkoon ⊕: R + ×R + →R + , a ⊕ b = ab ja O = 1. Olkoon lisäksi ⊗: R + ×R + →R + , a ⊗ b = a b . Onko olemassa alkiota I siten, että(R + , ⊕, ⊗,O,I) on kunta?Yhden pisteen vihjeet(2) Ei ole.(3) Kolmen pisteen vihjeen Lemman 1 todistuksessa onhyödyllistä pohtia alkiota (O ⊕O) ⊗ x.Todista, että kolmen pisteen vihjeen Lemmassa 2 voidaanvalita y seuraavasti: Olkoon b sellainen, että(I ⊕I) ⊗ b = I. Nyt y = x ⊗ b.Jotta pääset käyttämään Lemmaa 2 tehtävän ratkaisussa,tee vastaoletus ja tutki tuloa (I ⊕ I) ⊗ a, missäa > 1.(4) Ei ole.(5) Olkoon f kuten kolmen pisteen vihjeessä. Yritämääritellä ⊗ niin, että pätee f(xy) = f(x) ⊗ f(y) kaikillax, y ∈ R.

Solmu 1/2012 33Ratkaisut(1) Näytämme kohdan 1. Muut ovat samankaltaisia,mutta helpompia. (a ⊕ b) ⊗ c = c ⊗ (a ⊕ b) = (c ⊗ a) ⊕(c ⊗ b) = (a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c).(2) Ei ole. Tehdään vastaoletus: Pari (⊗,I) on olemassa.Aksiooman 3 nojalla on olemassa b ∈ R, jolle 0⊕b = O.Mutta nyt 0b = 1, mikä ei päde millään b ∈ R. Ristiriita.(3) Todistetaan ensin kolmen pisteen vihjeessä annetutlemmat:Lemma 1: O ⊗ x = (O ⊕O) ⊗ x = (O ⊗ x) ⊕ (O ⊗ x).On olemassa b siten, että (O ⊗ x) ⊕ b = O. SiisO = (O ⊗ x) ⊕ b = ((O ⊗ x) ⊕ (O ⊗ x)) ⊕ b =(O ⊗ x) ⊕ ((O ⊗ x) ⊕ b) = O ⊗ x.Lemma 2: Olkoon b sellainen, että (I ⊕I) ⊗ b = I. Nyt(x ⊗ b) ⊕ (x ⊗ b) = x ⊗ (b ⊕ b) = x ⊗ ((I ⊗ b) ⊕ (I ⊗ b)) =x ⊗ ((I ⊕I) ⊗ b) = x ⊗I = x.Nyt ratkaistaan itse tehtävä, eli osoitetaan, että vaadittuaparia ei ole olemassa.Tehdään vastaoletus: Pari (⊗,I) on olemassa.Olkoon a > 1. Nyt (I ⊕ I) ⊗ a = (I ⊗ a) ⊕ (I ⊗ a) =a⊕a = a 2 ≠ 1 = O. Siis Lemman 1 nojalla (I⊕I) ≠ O.Olkoon x < 0. Lemman 2 nojalla on olemassa y ∈R \ {0}, jolle y ⊕ y = x, eli yy = x. Tämä on kuitenkinristiriita sen kanssa, että negatiivisilla luvuilla eiole neliöjuurta.(4) a⊗b = b⊗a ei päde. Esimerkiksi 2 3 ≠ 3 2 . Myöskääna ⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c ei päde. Esimerkiksi 2 23 = 256,mutta (2 2 ) 3 = 64.(5) Osoitetaan, että vaadittu pari on olemassa. Tutkitaanfunktiota f : R → R + , f(x) = e x . Se on bijektio,ja lisäksi pätee f(x + y) = e x e y = f(x) ⊕ f(y) sekäf(0) = O.Määritellään x ⊗ y = f(f −1 (x)f −1 (y)) = e (ln x)(ln y) ,sekä I = e.Nyt pätee f(1) = I. Olkoot x, y ∈ R annettuja,ja merkitään a = f(x), b = f(y). Nyt a ⊗ b =f(f −1 (a)f −1 (b)), eli f(x) ⊗ f(y) = f(xy).Nyt kaikki aksioomat voidaan todistaa helposti, kaikkisamaa strategiaa käyttäen. Todistamme esimerkkinäaksioomat 9 ja 7.Ensin 9:Olkoon a, b, c ∈ R + . Olkoot x, y, z ∈ R sellaiset, ettäf(x) = a, f(y) = b ja f(z) = cNyt a ⊗ (b ⊕ c) = f(x) ⊗ (f(y) ⊕ f(z)) = f(x) ⊗ f(y +z) = f(x(y + z)) = f(xy + xz) = f(xy) ⊕ f(xz) =(f(x) ⊗ f(y)) ⊕ (f(x) ⊗ f(z)) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).Sitten 7:Olkoon a ∈ R + , a ≠ O, annettu. Olkoon x ∈ R sellainen,että f(x) = a. Koska f(0) = O ja f on bijektio,x ≠ 0. Nyt on olemassa y ∈ R, jolle xy = 1. SiisI = f(1) = f(xy) = f(x) ⊗ f(y) = a ⊗ f(y). Siis onolemassa b = f(y), jolle a ⊗ b = I.LiiteEsimerkki 1Tämä esimerkki vaatii hiukan esitietoja lukuteoriasta.Olkoon p alkuluku. Jos a ∈ Z, määritetään a:n ekvivalenssiluokka[a] = {b ∈ Z | a ≡ b mod p}. Olkoona, b ∈ Z. Havaitaan, että [a] = [b] jos ja vain jos a ≡ bmod p.Merkitään Z p = {[a] | a ∈ Z}. Havaitaan, että Z p ={[0], [1], . . . , [p − 1]}, eli Z p :ssä on p alkiota.Jos a, b, c, d ∈ Z, a ≡ b mod p ja c ≡ d mod p, päteemyös a + c ≡ b + d mod p ja ac ≡ bd mod p. Siis, jos[a] = [b] ja [c] = [d], pätee myös [a + c] = [b + d] ja[ac] = [bd]. Näin ollen voidaan määritellä ekvivalenssiluokkienjoukossa laskutoimitukset ⊕: Z p ×Z p → Z p ,[x] ⊕ [y] = [x + y] ja ⊗: Z p ×Z p → Z p , [x] ⊗ [y] = [xy].Merkitään O = [0] ja I = [1].Nähdään helposti, että (Z, +, ×, 0, 1) toteuttaa kaikkimuut kunta-aksioomat, paitsi aksiooma 7 ei toteudu.Nyt voidaan todistaa helposti, että (Z p , ⊕, ⊗,O,I) toteuttaakaikki kunta-aksioomat paitsi aksiooma 7, johonpalaamme hetken päästä. Kaikki muut aksioomattodistetaan samalla strategialla. Näytämme esimerkkinäaksiooman 9. Olkoot [a], [b], [c] ∈ Z p . Nyt[a] ⊗ ([b] ⊕ [c]) = [a] ⊗ ([b + c]) = [a(b + c)] = [ab + ac] =[ab] ⊕ [ac] = ([a] ⊗ [b]) ⊕ ([a] ⊗ [c]). Toisena esimerkkinänäytämme aksiooman 3. Olkoon [a] ∈ Z p . Nyta + (−a) = 0, joten [a] ⊕ [−a] = [a + (−a)] = [0] = O.Olkoon [a] ∈ Z p , [a] ≠ O. Nyt a ei ole jaollinen p:llä, jotenFermat’n pienen lauseen nojalla a p−1 ≡ 1 mod p.Siis [a] ⊗ [a p−2 ] = [a p−1 ] = [1] = I. Siis [a]:lla on käänteisalkio[a p−2 ], ja aksiooma 7 toteutuu.Siis (Z p , ⊕, ⊗,O,I) on kunta.Esimerkki 2Haluamme määritellä rationaalifunktioiden joukon.Nämä ovat funktioita, jotka saadaan kahden polynominosamääränä. Koska nimittäjäpolynomilla voi ollanollakohtia, emme voi määritellä rationaalifunktioita

34 Solmu 1/2012koko R:ssa. Näin ollen annamme seuraavan määritelmän.OlkoonK ′ = {f : R \ A → R | A ⊂ R on äärellinen ja onolemassa reaalikertoimiset polynomit P, Q,joille f(x) = P (x)/Q(x) aina, kun f(x) onmääritelty.}Määritellään joukossa K ′ yhteen- ja kertolaskut⊕: K ′ × K ′ → K ′ , ⊗: K ′ × K ′ → K ′ seuraavasti: Olkootf, g ∈ K ′ . Asetetaan (f ⊕ g)(x) = f(x) + g(x)aina, kun sekä f(x) että g(x) ovat määriteltyjä, ja(f⊗g)(x) = f(x)g(x) aina, kun sekä f(x) että g(x) ovatmääriteltyjä. Määritellään O ′ vakiofunktioksi O ′ (x) =0 kaikilla x ∈ R ja I ′ vakiofunktioksi I ′ (x) = 1 kaikillax ∈ R.Havaitaan helposti, että (K ′ , ⊕, ⊗,O ′ ,I ′ ) toteuttaakaikki muut kunta-aksioomat, paitsi ei aksioomia 3 ja7. Kaikki muut aksioomat näytetään samalla tavalla.Näytämme esimerkkinä aksiooman 9.Olkoot f, g, h ∈ K ′ . Aina, kun f, g, h ovat määriteltyjäpisteessä x, pätee (f ⊗ (g ⊕ h))(x) = f(x)(g ⊕h)(x) = f(x)(g(x) + h(x)) = f(x)g(x) + f(x)h(x) =(f ⊗ g)(x) + (f ⊗ h)(x) = ((f ⊗ g) ⊕ (f ⊗ h))(x). Koskafunktiot f ⊗(g⊕h) ja (f ⊗g)⊕(f ⊗h) on määritelty samoissapisteissä (ts. aina kun kaikki funktioista f, g, hovat määriteltyjä), ja ne ovat samoja kaikissa pisteissä,joissa ne on määritelty, f ⊗ (g ⊕ h) = (f ⊗ g) ⊕ (f ⊗ h).Rationaalifunktioillajax + 1(x + 1)(x − 1)1x − 1on ainoastaan se ero, että ensimmäinen ei ole määriteltypisteessä −1. Haluamme kuitenkin ajatella, että nämäovat sama funktio. Kun tällainen tilanne kohdataanmatematiikassa, yleensä muodostetaan ekvivalenssiluokaksikutsuttu joukko, johon laitetaan kaikki ne oliot,joita halutaan kohdella samoina. Tämän jälkeen jatkossapelataan ekvivalenssiluokkien joukolla. Näin ollenannamme seuraavat määritelmät:Olkoon f ∈ K ′ . Määritellään [f] = {g ∈ K ′ | g(x) =f(x) kaikilla x ∈ R \ A, A ⊂ R on äärellinen}. OlkoonK = {[f] | f ∈ K ′ }.Havaitaan, että jos [f] = [f ′ ] ja [g] = [g ′ ], niin myös[f ⊕ g] = [f ′ ⊕ g ′ ] ja [f ⊗ g] = [f ′ ⊗ g ′ ]. Näin ollen voidaanK:ssa määritellä laskutoimitukset ⊕: K×K → Kja ⊗: K×K → K, [f]⊕[g] = [f ⊕g] ja [f]⊗[g] = [f ⊗g].Määritellään O = [O ′ ] ja I = [I ′ ].Siitä, että (K ′ , ⊕, ⊗,O ′ ,I ′ ) toteuttaa kaikki kuntaaksioomatpaitsi 3 ja 7, seuraa helposti, että myös(K, ⊕, ⊗,O,I) toteuttaa nämä aksioomat. Näytämmeesimerkkinä aksiooman 9. Olkoon [f], [g], [h] ∈ K. Nyt[f] ⊗ ([g] ⊕ [h]) = [f] ⊗ ([g ⊕ h]) = [f ⊗ (g ⊕ h)] = [(f ⊗g)⊕(f ⊗h)] = [f ⊗g]⊕[f ⊗h] = ([f]⊗[g])⊕([f]⊗[h]).(K, ⊕, ⊗,O,I) toteuttaa myös aksioomat 3 ja 7. Näytämmeaksiooman 7. Aksiooma 3 on samankaltainenmutta helpompi.Olkoon [f] ∈ K, [f] ≠ O. Siis lukuunottamatta äärellistäpistejoukkoa f(x) = P (x)/Q(x), missä P ja Qovat polynomeja, ja P, Q eivät ole identtisesti nolla. SiisP :llä on vain äärellinen määrä nollakohtia. Nyt voidaanmuodostaa g, g(x) = Q(x)/P (x), joka on määritelty aina,kun P (x) on erisuuri kuin nolla, eli kaikkialla äärellistämäärää pisteitä lukuunottamatta. Siis g ∈ K ′ja [g] ∈ K. Nyt f(x)g(x) = 1 aina, kun f(x), g(x) ovatmääriteltyjä. Siis [f] ⊗ [g] = [f ⊗ g] = I. Siis aksiooma7 toteutuu.Solmun matematiikkadiplomitPeruskoululaisille tarkoitetut Solmun matematiikkadiplomit I–VI tehtävineen ovat tulostettavissa osoitteessahttp://solmu.math.helsinki.fi/diplomi.htmlVastauksia voi pyytää koulun sähköpostiin.