pdf-muodossa - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

28 Solmu 1/20122. Välttämättä joku tapahtumista t 1 , t 2 , t 3 tapahtuu.Nyt p 1 = 26/54 = 13/27, p 2 = 26/54 = 13/27 jap 3 = 2/54 = 1/27. Vastaavasti v 1 = 3, v 2 = −3 jav 3 = −1. A:n voittosumman odotusarvo (kun tappiolasketaan negatiiviseksi voitoksi) saadaan kaavallap 1 v 1 + p 2 v 2 + p 3 v 3 .Meidän tapauksessamme odotusarvo on siis 13/27×3+13/27 × (−3) + 1/27 × (−1) = −1/27. Samalla kaavallaodotusarvo voidaan laskea myös muissa sellaisissa tapauksissa,joissa ehdot (1) ja (2) toteutuvat.Jos tapahtumia on enemmän kuin kolme, odotusarvonkaava muodostetaan aivan samalla periaatteella, summattaviaon vain enemmän. Kuitenkin ehtojen (1) ja(2) vastineiden tulee päteä. (Jos taas tapahtumia onvain yksi, t 1 , tällöin t 1 tapahtuu välttämättä, eli p 1 = 1,ja odotusarvo on yhtä kuin v 1 .)Voittosumman odotusarvo (kun tappio mielletään negatiivisenavoittona) on hyvä mittari sille, mitä tapahtuupitkissä sarjoissa, joissa samaa peliä toistetaan moniakertoja. Tällöin pelaaja voittaa keskimäärin yhdessäpelissä odotusarvon verran (jos odotusarvo on positiivinen)tai häviää keskimäärin yhdessä pelissä odotusarvonverran (jos odotusarvo on negatiivinen). Josodotusarvo on nolla, pelaaja jää keskimäärin omilleen.Lopuksi vielä kiinnostuneita lukijoita varten muodollisestipätevä odotusarvon määritelmä.Olkoot t 1 , . . . , t n mahdollisia tapahtumia, jotka toteuttavatseuraavat ehdot:• On mahdotonta, että kaksi tai useampia tapahtumiajonosta t 1 , . . . , t n tapahtuu.• Väistämättä joku tapahtumista t 1 , . . . , t n tapahtuu.Olkoon kaikilla i, 1 ≤ i ≤ n, luku p i todennäköisyys,että t i tapahtuu. Tällöin välttämättä p 1 + · · ·+ p n = 1.Oletetaan, että jokaiseen tapahtumaan t i , 1 ≤ i ≤ n,on liitetty lukuarvo v i . Nyt muuttujan v odotusarvomääritetään kaavallap 1 v 1 + · · · + p n v n .Se on siis lukujen v 1 , . . . , v n todennäköisyyksillä painotettukeskiarvo.Liite 2: Mustan Maijan säännötPeliin osallistuu 2-10 pelaajaa, ja pelissä käytetään tavallista52 kortin korttipakkaa. Kortit sekoitetaan ja jokaisellepelaajalle jaetaan viisi korttia, ja loput korteistaasetetaan kuvapuoli alaspäin nostopakaksi. Nostopakanpäällimmäinen kortti asetetaan kuvapuoli ylöspäinpoikittain nostopakan alle, ja sen maa määrää valttimaan.Poikittain asetettu kortti on nostopakan alinkortti. Valttimaan kortteja kutsutaan valteiksi. Pataei voi olla valttia, joten jos valtiksi kääntyi pata, nostettukortti palautetaan pakan keskelle, ja uusi korttikäännetään määräämään valttimaa. Toistetaan kunnessaadaan valtiksi joku muu maa kuin pata. (Jos suurillapelaajamäärillä näyttää siltä, että nostopakassa onpelkkiä patoja, suoritetaan uusi jako.)Patakuningatar on erikoiskortti, ja sitä kutsutaan MustaksiMaijaksi.Vuorolla vuorossa oleva pelaaja lyö kortteja kädestäänpöytään seuraavin rajoituksin:1. Korttien tulee olla samaa maata (tässä suhteessaMusta Maija lasketaan padaksi.)2. Korttien määrä ei saa ylittää seuraavan pelaajankäsikorttien määrää.Tämän jälkeen, jos nostopakassa on jäljellä korttejaja vuorossa olevalla pelaajalla on vähemmän kuin viisikorttia kädessään, vuorossa oleva pelaaja nostaa nostopakastakortteja, kunnes hänellä on viisi korttia kädessään.Tämän jälkeen seuraavana vuorossa oleva pelaaja (jotakutsumme uhriksi) voi yrittää kaataa lyödyt kortit käsikorteillaan.Mikä tahansa kortti kaatuu korkeammallakortilla samaa maata (ässä on korkein). Mikä tahansaei-valttikortti kaatuu millä tahansa valtilla. Yhdelläkortilla voi kaataa vain yhden kortin. Mustaa Maijaa eivoi kaataa millään kortilla, eikä Mustalla Maijalla voikaataa mitään korttia. Kaataminen on vapaaehtoista.Kaadetut kortit ja ne kortit, joita käytettiin kaatamiseen,poistetaan pelistä.Jos uhri ei kaatanut kaikkia lyötyjä kortteja, hän ottaakaatamatta jääneet kortit käteensä.Jos uhrilla on tässä vaiheessa vähemmän kuin viisi korttiakädessään ja nostopakassa on jäljellä kortteja, uhriottaa nostopakasta kortteja, kunnes hänellä on viisikorttia kädessään.Jos uhri kaatoi kaikki lyödyt kortit, peli jatkuu uhrinlyöntivuorolla. Jos taas uhri nosti kaatamatta jääneitäkortteja käteensä, peli jatkuu uhrista seuraavan pelaajanlyöntivuorolla. Jos pelaajia on jäljellä vain kaksi,uhrista seuraava pelaaja on sama pelaaja, joka löikortteja uhrille.Kun nostopakan loputtua pelaaja pääsee eroon käsikorteistaan,hän on ulkona pelistä eikä enää osallistusiihen. Viimeinen pelaaja, jolla on kortteja kädessään,niiden joukossa Musta Maija, on hävinnyt pelin.