pdf-muodossa - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

Solmu 1/2012 9kukaavojen johtamisella. Seuraava yksinkertainen esityson vanhasta lukion oppikirjasta [4]. Olympiavalmennussivuilla[5] voi tutustua perinteisempään tapaanjohtaa nämä kaavat.Määritellään nollavektorista eroaville vektoreille kuvion1 osoittama suunnatun kulman α suuruinen kiertoa ↦→ R α (a) vektorin alkupisteen ympäri.R α (a)αKuvio 1.Sovitaan erikseen, että R α (0) = 0.Suunnikkaan sivut ja lävistäjä kiertyvät yhtä paljon,aLisäksi on selvää, ettäR π/2 (i) = j ja R π/2 (j) = −i.Suoritetaan seuraavaksi kulman α suuruinen kiertokantavektoreille i ja j. Kosinin ja sinin määritelmienmukaanR α (i) = cos α i + sin α j,ja edellä todettuja laskusääntöjä soveltaenR α (j) = R α(Rπ/2 (i) )= R π/2(Rα (i) )= R π/2(cos α i + sin α j)= cos α R π/2 (i) + sin α R π/2 (j)= cos α j − sin α i.Kierretyt kantavektorit ovat siis{Rα (i) = cos α i + sin α jR α (j) = cos α j − sin α i.C ′A ′B ′OKuvio 2.BACYhtälöstäR α+β (i) = R β(Rα (i) )saadaan nyt helposti (aktiivinen lukija suorittaa yksityiskohdat)yhteenlaskukaavat{ cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin βsin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β,joten vektorien summa kiertyy termeittäin. SiisR α (a + b) = R α (a) + R α (b).Vektorin kierron ja venytyksen järjestys voidaan vaihtaa,R α (a)eli jos t ∈ R, niinαatR α (a) =R α (ta)taKuvio 3.R α (ta) = tR α (a).Aktiivinen lukija voi piirtää negatiivista t:n arvoa vastaavankuvion.On ilmeistä, että kaksi peräkkäin suoritettua kiertoavoidaan yhdistää laskemalla kulmat yhteen ja että peräkkäistenkiertojen järjestys voidaan vaihtaa. SiisR α(Rβ (a) ) = R α+β (a) = R β+α (a) = R β(Rα (a) ) .ja niistä edelleen kosinin parillisuutta ja sinin parittomuuttasoveltaen vähennyslaskukaavat{cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin βsin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β.On käsittämätöntä, että opetussuunnitelmista vastaavathenkilöt ovat ”unohtaneet” näin hienon ja keskimääräisellepitkän matematiikan opiskelijalle helpostiavautuvan tavan perustella nämä tärkeät kaavat.MAOLkin kannattaa ulkolukua ja kaavakokoelmastalunttaamista vastauksessaan ns. π:n päivän kirjeeseen:”Oikean, ongelman ratkaisemisessa tarvittavan tiedonetsiminen laajasta tietokokoelmasta on hyödyllinen taito,joka on syytä oppia lukiossa.” (Ks. [6] ja [7].) Eikökuitenkin olisi hyödyllisempää oppia ymmärtämäänmatematiikkaa perusteista lähtevien ja loogisesti etenevienesitysten kautta?Aktiivinen lukija pystyy nyt johtamaan lähes kaikkikeltaisen kirjan trigonometrian kaavat. Melkein vitsinävoi esimerkiksi todeta, että kosinin vähennyslaskukaavastaseuraacos 2 α + sin 2 α = cos (α − α) = cos 0 = 1.Ainakin kaksinkertaisen kulman kosini ja sini sekäkomplementti- ja suplementtikulmien kosinit ja sinit