pdf-muodossa - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

More documents

Recommendations

Info

10 Solmu 1/2012kannattaa katsoa välittömästi, sillä joitakin niistä käytetäänseuraavissa esimerkeissä ilman erillista mainintaa.Myös tangentin yhteen- ja vähennyslaskukaava onhyvä selvittää itselleen, sillä viimeksi mainittuun perustuumm. kahden suoran välisen kulman laskeminenanalyyttisen geometrian kurssilla. Sanomattakin on selvää,että tätä laskutapaa ei mitenkään voi perustellatuolla kurssilla.4αs2αabαEsimerkkejäSeuraavia tehtäviä voisi epäilemättä ratkaista symboliseenlaskemiseen kykenevällä laskimella, mutta tuolloinsuoritukseen saattaisi jäädä kohtia, joita ratkaisijaei ymmärrä. Laskin toimisi siinä tapauksessa kuten tiibetiläinenrukousmylly: sitä vain pyöritetään ja rukouskieppuu korkeuksiin ilman, että pyörittäjällä on selvääkäsitystä sen sisällöstä. Oppimisen kannalta on siis parempijohtaa itse tarvittavat välitulokset.Esim. 1 Määritettävä funktion f(x) = sin x sin (a + x)suurin ja pienin arvo.Ratk. Ensimmäiseksi ehkä tulee mieleen sinin yhteenlaskukaavansoveltaminen jälkimmäiseen tekijään,mutta se johtaisi ilmeisesti alkuperäistä hankalampaanongelmaan. Hieman parempi ajatus on laskea funktionderivaattaf ′ (x) = cos x sin (a + x) + sin x cos (a + x)= sin (a + 2x),ja ratkaista tehtävä normaalina ääriarvotehtävänä. Derivaattaaei kuitenkaan tarvita, jos huomaa, että kahdensinin tulo saadaan kosinin vähennys- ja yhteenlaskukaavoista:cos (α − β) − cos (α + β) = 2 sin α sin β.Sijoittamalla tähän α = a + x ja β = x saadaanf(x) = 1 2(cos a − cos (a + 2x)),mistä tulos jo näkyykin.Esim. 2 Osoitettava, että säännöllisen 7-kulmion sivuns ja eripituisten lävistäjien a ja b välillä vallitseeyhtälö1a + 1 b = 1 s .Ratk. Tämän 70-luvun ylioppilastehtävän trigonometrinenratkaisu on suoraviivainen sinilauseen sovellus,jonka yksityiskohdissa tosin tarvitaan tiettyä näppäryyttä.Sijoittamalla 7-kulmio ympyrän sisään nähdäänkehäkulmiaKuvio 4.vastaavien kaarien avulla, että sivu ja lävistäjät muodostavatkolmion, jonka kulmat ovat α, 2α ja 4α. Sinilauseenavulla saadaansin 2αajosta edelleen= sin αs1a + 1 b = 1 sjasin 4αb= sin αs ,( sin αsin 2α + sin α ).sin 4αOikealla oleva sulkulauseke on siis osoitettava ykköseksiehdolla 7α = π. Kirjoitetaan se aluksi muotoonsin α (sin 4α + sin 2α).sin 2α sin 4αTämä ilmeisesti yksinkertaistuu, jos onnistutaan laskemaanosoittajassa oleva sinien summa. Tarvittava aputulossaadaan sinifunktion yhteen- ja vähennyslaskukaavoista:sin (x + y) + sin (x − y) = 2 sin x cos y.Yhtälöparista {x + y = 4αx − y = 2αseuraa x = 3α ja y = α, jotenNiinpäsin 4α + sin 2α = 2 sin 3α cos α.sin α (sin 4α + sin 2α)sin 2α sin 4αja väite on todistettu.2 sin α cos α sin 3α=sin 2α sin 4αsin 2α sin 3α=sin 2α sin 4αsin 3α=sin 4α=sin (π − 4α)sin 4α=sin 4αsin 4α = 1,Seuraavassa vielä muutama harjoitus aktiivisen lukijanmietittäväksi.1. Osoita, että sin (x + y) sin (x − y) = sin 2 x − sin 2 y.2. Määritä funktion f(x) = a cos x + b sin x suurin japienin arvo.3. Osoita, että jos tan x ∈ Q, niin myös cos 2x ∈ Q jasin 2x ∈ Q.
Solmu 1/2012 11JännenelikulmiostaEdellisen kappaleen harjoituksista selviytyneen aktiivisenlukijan kannattaa myös perehtyä jo mainittuunolympiavalmennussivustolla olevaan järeään trigonometriapakettiin[5]. Katsotaan lopuksi sieltä eräs jännenelikulmionominaisuus. Tällaisen nelikulmion vastakkaisetkulmat ovat toistensa suplementtikulmia, jotenniiden kosinit ovat toistensa vastalukuja. Siksi kosinilauseenavulla on mahdollista löytää sivujen ja lävistäjienvälisiä yhtälöitä, joissa kulmat eivät ole eksplisiittisestimukana. Asetetaan tehtäväksi löytää mahdollisimmanyksinkertainen tällainen yhtälö.Olkoot jännenelikulmion sivut a, b, c ja d sekä lävistäjäte ja f.Toisen lävistäjän neliö löytyy mukavimmin näkökulmaamuuttamalla: sijoittamalla edelliseen a → b, b →c, c → d, d → a ja e → f, saadaanNiinpäelif 2 =(ab + cd)(ac + bd).(ad + bc)e 2 f 2 = (ac + bd) 2 ,ef = ac + bd.Tämä kaunis tulos on keksijänsä mukaan nimetty Ptolemaioksen1 lauseeksi:Jännenelikulmion lävistäjien tulo on vastakkaisten sivujentulojen summa.beαaLauseen perinteinen, ehkä jopa alkuperäinen, todistuslöytyy teoksessa [3]. Aktiivinen lukija miettinee, voisikoPtolemaioksen lauseen avulla ratkaista edellä esitetyn7-kulmio-ongelman yksinkertaisemmin!cfKuvio 5.Kosinilause antaa e:n neliölle yhtälöt{ e 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos αe 2 = c 2 + d 2 + 2cd cos α,joista kosinitermin eliminoimisella saadaane 2 (ab + cd) = a 2 cd + b 2 cd + c 2 ab + d 2 abd= (a 2 cd + d 2 ab) + (c 2 ab + b 2 cd)= ad(ac + bd) + bc(ac + bd)= (ad + bc)(ac + bd).Viitteet[1] Pekka Alestalo, Trigonometriset funktiot,http://solmu.math.helsinki.fi/2005/1/alestalo.pdf[2] Juhani Fiskaali, Heronin ja Brahmaguptan kaavoista,http://solmu.math.helsinki.fi/2011/2/heron.pdf[3] Matti Lehtinen, Jorma Merikoski, Timo Tossavainen,Johdatus tasogeometriaan, WSOY 2007.[4] Yngve Lehtosaari, Jarkko Leino, Pekka Norlamo,Laaja matematiikka 2, kurssit 5–8, Kirjayhtymä1983.[5] http://solmu.math.helsinki.fi/olympia/kirjallisuus/trig.pdfSiise 2 =(ad + bc)(ac + bd).(ab + cd)[6] http://solmu.math.helsinki.fi/2011/maol.pdf[7] http://solmu.math.helsinki.fi/2011/MAOLvastaus.pdf1 Klaudios Ptolemaios, (n.85–n.165), kreikkalainen astronomi.
Page 1 and 2: Matematiikkalehti1/2012http://solmu
Page 3 and 4: Solmu 1/2012 3SisällysPääkirjoit
Page 5 and 6: Solmu 1/2012 5jalta on esitetty vä
Page 7 and 8: Solmu 1/2012 7että mukana oli myö
Page 9: Solmu 1/2012 9kukaavojen johtamisel
Page 13 and 14: Solmu 1/2012 13ala. Tehtävää voi
Page 15 and 16: Solmu 1/2012 15hyvinkin monessa pap
Page 17 and 18: Solmu 1/2012 17rittamisen esille. V
Page 19 and 20: Solmu 1/2012 19Matematiikka kiehtoo
Page 21 and 22: Solmu 1/2012 21Wolfram|Alphasta, pa
Page 23 and 24: Solmu 1/2012 23Kolmiulotteisia para
Page 25 and 26: Solmu 1/2012 25Mitä voit sanoa kol
Page 27 and 28: Solmu 1/2012 27on n + m − x, miss
Page 29 and 30: Solmu 1/2012 29Olisiko ammattini ma
Page 31 and 32: Solmu 1/2012 31Tuomaksen tehtäviä
Page 33 and 34: Solmu 1/2012 33Ratkaisut(1) Näytä

pdf-muodossa - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?