pdf-muodossa - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

Solmu 1/2012 13ala. Tehtävää voi kritisoida: kaikki informaatio ei sisällytekstiin, vaan osa on arvattava kuvasta. Kuvan mukaankukin kuudesta pienestä ympyrästä sivuaa paitsisisintä ja ulointa ympyrää, myös viereisiä ympyröitä.Tehtävän teksti sallisi sellaisenkin tilanteen, jossa jotkinkuudesta pienestä ympyrästä leikkaisivat toisiaan.Myöskään sitä, että sisimmän pienen ympyrän keskipisteyhtyy uloimman ympyrän keskipisteeseen, ei tehtävässäilmoiteta; kun sisimmän ja uloimman ympyränvälissä on vähintään kaksi samansäteistä sivuavaa ympyrää,keskipisteiden yhtyminen on välttämätöntä.väliympyrän keskipisteet, ala sekä kuusi pienen ympyränkahden kolmanneksen kokoista sektoria. Kuusikulmionalan laskeminen edellyttää jälleen sen yhden kuudenneksenmuodostaman tasasivuisen kolmion alan laskemista.Kun kuviosta luettavat ilmeiset symmetriat hyväksyy,niin halutun pinta-alan voi laskea hiukan eri reittejä.Joka tapauksessa on huomattava, että ison ympyränhalkaisija on kolme pienen ympyrän halkaisijaa, mistäseuraa, että pienen ympyrän säde on 2. Kysytty alaon kuudesosa jäännöksestä, kun ison ympyrän alastaπ6 2 = 36π poistetaan seitsemän pikkuympyrän alaa,7·4π ja kuusi pikkuympyröiden väliin jäävää ympyränkaarikolmiota,sellaista kuin kuvan kaarien ⌢ZY ,⌢Y Xja ⌢XZ rajoittama kuvio. Olennaista on, että ympyröidensivuamispisteet ovat niiden keskipisteitä yhdistävilläjanoilla: tämähän seuraa siitä, että sivuavien ympyröidensivuamispisteisiin piirretyt säteet ovat molemmatkohtisuorassa ympyröiden yhteistä tangenttia vastaanja ovat siis saman suoran janoja. Näin ollen ympyränkaarikolmionZY X ala on tasasivuisen kolmionOP Q ala vähennettynä kolmella pienen ympyrän kuudenneksella.Koska OP = 4, tasasivuisen kolmion alaon 1 2 42 sin 60 ◦ = 4 √ 3. Kun laskutoimitukset suoritetaan,kysytyn alueen alaksi tulee 103 π − 4√ 3. Hiukansuoremmin pääsee perille, jos lähtee liikkeelle sektorista,joka on ison ympyrän kuudennes ja siis alaltaan 6π,vähentää siitä tasasivuisen kolmion alan 4 √ 3 ja kaksi2pienen ympyrän kolmannesta eli · 4π. Edelleen on3mahdollista vähentää uloimman ympyrän alasta sensäännöllisen kuusikulmion, jonka kärjet ovat kuudenKoska jokainen näistä strategioista perustuu siihen, ettäympyröiden sivuamispisteet (kuten kuvan X) sijaitsevatympyröiden keskipisteiden yhdysjanoilla (kutenP Q) eikä tämä suoraan näy tehtävän mukana olleessakuviossa, täysiin pisteisiin edellytettiin, että tähänasiaan olisi jotain huomiota kiinnitetty. Äärimmäisenharvoissa vastauksissa näin tapahtui, vaikka kolmionOP Q kulmien ja sivujen suuruuksia oli ahkerasti perusteltu.Näinpä yleisin tehtävästä annettu pistemääräoli 5. (Nollaksi arvioituja vastauksia oli yksi vähemmän;kaikissa muissa tehtävissä 0 oli myös yleisin pistemäärä.)Kilpailijat saivat käyttää apuvälineinään laskimia jataulukkokirjoja, toisin kuin matematiikkakilpailuissayleensä. Tämä johti useat ratkaisijat likiarvolaskuihin;puhdasta likiarvolaskelmaa, vaikka se olisikin johtanutoikeannäköiseen tulokseen, ei pidetty aivan täydellisenä.Arvostelijoiden ratkaisu on periaatteellinen: tehtäväkoskee olennaisesti R-säteistä ympyrää, ei tiettyäkonkreettista tilannetta. Ja onhan ketjussa, jossamukana on vähennyslaskujakin, aina tarjolla olennaisenpyöristysvirheen vaarakin, jota ei etukäteen osaaarvioida. Aika monet suhtautuivat lukuarvoihin kovinsuurpiirteisesti. Kun laskin näytti alueen pinta-alaksivähän yli 3,5, vastaukseksi annettiin ”4”. Lienee opittu,että kun mittausdata, tässä siis uloimman ympyränsäde, on kerrottu yhdellä merkitsevällä numerolla,ei vastauksessakaan saisi olla enempää tarkkuutta.Taulukkokirjan käyttö ja ilmeisesti muussa yhteydessäkuin matematiikassa annettava tieteellisen kirjoittamistavanopetus johti aika monet vastaajat hiukan koomisenoloiseenesitystapaan: tasasivuisen kolmion alanlaskemiseen käytetty menetelmä esitettiin lähdeviitteineen”MAOL, s. 30”.