pdf-muodossa - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

Solmu 1/2012 27on n + m − x, missä x on vastustajan edellisen otteenkoko.Olkoon y reaaliluku. Merkitään f(y):llä pienintä positiivistareaalilukua, jolle on olemassa kokonaisluku lsiten, että f(y) = y + l(n + m).Jos f(k) > m, toisena pelaava pystyy voittamaan perusstrategialla.Jos n ≤ f(k) ≤ m, ensimmäisenä pelaava voi jättääensimmäisellä otteellaan mailaan pituuden k ′ , jollef(k ′ ) = n+m ja tämän jälkeen voittaa perusstrategialla.Jos f(k) < n, ensimmäisenä pelaava ottaa ensimmäisenotteensä n:n kokoisena. Tämän jälkeen pituutta jäämailaan k ′ yksikköä, jolle f(k ′ ) > m. Nyt ensimmäisenäpelaava voittaa perusstrategialla.Tehtävässä teimme idealisoivan oletuksen, että mikätahansa pituus mailaa viimeisessä otteessa riittää voittoon.Käytännön pelitilanteet ovat sellaisia, että tuonpituuden on oltava vähintään pieni vakio a. Kiinnostunutlukija voi miettiä, kuinka tehtävän ratkaisu muuttuutällä vaatimuksella.(9) Lyhyt todistus: Aloitussiirrosta ei missään tilanteessaole haittaa ensimmäisenä pelaavalle.Pitkä todistus: Oletetaan, että toisena pelaavalla onvoittostrategia S. Nyt ensimmäinen pelaaja voi pelataensimmäisen siirtonsa mielivaltaisesti, ja sen jälkeenS:n mukaan kuvitellen, että ensimmäistä siirtoa ei oletehty. Jos jossain vaiheessa S:n mukaan ensimmäisenpelaajan pitää tehdä se siirto, jota hän ei kuvittele tehneensä,hän lakkaa kuvittelemasta, että kyseistä siirtoaei ole tehty, tekee mielivaltaisen siirron ja alkaa jatkossakuvitella, että hän ei ole tehnyt tuota mielivaltaistasiirtoa. Koska S on voittostrategia ja siitä siirrosta, jotaensimmäinen pelaaja ei kuvittele tehneensä, ei oleensimmäiselle pelaajalle haittaa, ensimmäinen pelaajavoittaa välttämättä. Ristiriita.(10) Ajatellaan ruutupaperi ”tiiliseinäkuvioksi”, jokakoostuu 2 × 1 -”tiilistä”. Huomataan, että jokaisen2 × 2 -blokin pitää sisältää yksi edellisessä virkkeessäkuvitelluista ”tiilistä”. Nyt kumpikin pelaaja pystyy estämääntoista pelaajaa voittamasta pelaamalla aina samaan”tiileen” kuin vastustajan edellinen siirto (tai pelaamallamielivaltaisesti, jos samassa ”tiilessä” on jooma merkki.)(11) Ajatellaan, että jokaisella merkityllä paikalla onkahdeksan ilmansuuntaa. Jokainen vedetty viiva kulkeekahdeksan merkitty paikka–ilmansuunta -parin kautta(yksi viivan kussakin päätepisteessä ja kaksi kussakinsisäpisteessä.) Kaksi viivaa ei voi käyttää samanpaikan samaa ilmansuuntaa, koska tällöin ne leikkaisivatuseammassa kuin yhdessä pisteessä. Koska vuorollamerkitään yksi paikka (kahdeksan ilmansuuntaa)ja vedetään viiva kahdeksan merkitty paikka–ilmansuunta -parin kautta, vapaiden merkitty paikka–ilmansuunta -parien määrä säilyy koko ajan vakiona.Koska pelitilanteen ylä-, ala-, oikeassa ja vasemmassareunassa on väistämättä vapaita merkitty paikka–ilmansuunta -pareja (esim. jokaisen rivin, jolla on merkittyjäpaikkoja, idänpuolimmaisessa merkityssä paikassaon vapaa ilmansuunta itään päin), vieläpä sitäenemmän mitä enemmän paikkoja on merkitty, pelitilanneei voi kasvaa mielivaltaisen suureksi.Liite 1: OdotusarvoTutkitaan aluksi peliä, jossa A vetää yhden kortin tavallisesta52 kortin pakasta. Jos kortti on punainen, Avoittaa 3 euroa, ja jos kortti on musta, A häviää 3 euroa.Merkitään t 1 :llä tapahtumaa ”vedetty kortti on punainen”ja t 2 :lla tapahtumaa ”vedetty kortti on musta”.Kun pelataan yksi peli, seuraavat kaksi ehtoa pätevät:1. Ei ole mahdollista, että kumpikin tapahtumista t 1ja t 2 tapahtuu.2. Jompi kumpi tapahtumista t 1 ja t 2 tapahtuu.Ensimmäinen ehto pätee siksi, että kortti ei voi olla yhtaikaapunainen ja musta, ja jälkimmäinen ehto siksi,että jokainen kortti on joko punainen tai musta.Tapahtumilla t 1 ja t 2 on todennäköisyydet p 1 ja p 2 .Koska puolet pakan korteista on punaisia ja puoletmustia, p 1 = 1/2 ja p 2 = 1/2.Lisäksi tapahtumiin t 1 ja t 2 liittyy luvut v 1 ja v 2 . KoskaA voittaa kolme euroa punaisella kortilla, voidaanmäärittää v 1 = 3, ja koska A häviää kolme euroa mustallakortilla, voidaan määrittää v 2 = −3.Nyt A:n voittosumman odotusarvo (kun tappio lasketaannegatiiviseksi voitoksi) lasketaan kaavallap 1 v 1 + p 2 v 2 .Tässä tapauksessa siis odotusarvo on (1/2)×3+(1/2)×(−3) = 0. Samalla kaavalla odotusarvo voidaan laskeakaikissa tilanteissa, joissa numeroidut ehdot (1) ja (2)pätevät.Tutkitaan seuraavaksi peliä, jossa pakkaan on lisättykaksi jokeria (joita ei lasketa mustiksi eikä punaisiksikorteiksi). Tavallisten korttien osalta peli etenee kutenedellisessä kohdassa, mutta jokerin vetäessään A häviääyhden euron.Nyt t 1 ja t 2 ovat kuten edellä, ja mukaan tulee uusitapahtuma t 3 , joka on ”vedetty kortti on jokeri”. Kunpelataan yksi peli, seuraavat ehdot pätevät:1. Ei ole mahdollista, että kaksi tai useampia tapahtumistat 1 , t 2 , t 3 tapahtuu.