MÉCANIQUE DES FLUIDES

MÉCANIQUE
DES FLUIDES
Tables des matières
1. Propriétés physiques des liquides et des gaz
2. Hydrostatique
3. Liquides réels
4. Surfaces libres des liquides
5. Hydrodynamique
6. Déviation d'un courant d'un fluide
Bibliographie
EI Bienne - Microtechnique
JEAN ROSSEL / Physique générale / édition du griffon Neuchâtel 1970
RONALD V. GILES / Mécanique des fluides et hydraulique / McGraw-Hill 1975
G. LEMASSON / Mécanique des fluides / Delagrave 1968
© C. Meier / L. Müller, Professeurs de Physique HESB / EI Bienne [V 3.0]

EI Bienne - Microtechnique Mécanique des fluides - 2 / 34
Table de matière
1. Propriétés physiques des fluides ................................................... 4
1.1. Les liquides réels ........................................................... 4
1.2. Les gaz réels ............................................................... 4
1.3. Les liquides parfaits et les gaz parfaits........................................... 4
2. Hydrostatique .................................................................. 5
2.1. Définition ................................................................. 5
2.2. Les deux causes de la pression absolue .......................................... 5
2.2.1. Pression produite par une force sur un piston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2. La pression due au poids propre des molécules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Mesure de la pression........................................................ 7
2.4. Les unités de pression........................................................ 7
2.5. Pression relative et pression absolue ............................................ 8
2.6. Technique du vide .......................................................... 8
2.7. Forces de pression exercées par les liquides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7.1. Force sur le fond d'un récipient ...................................... 9
2.7.2. Forces sur les parois latérales........................................ 9
2.7.3. Paroi latérale plane et verticale ..................................... 10
2.7.4. Paroi courbée latérale............................................. 11
2.8. Principe d'Archimède ....................................................... 11
2.8.1. Cause de la poussée d'Archimède ................................... 11
2.8.2. Corps entièrement plongé dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8.3. Corps flottants .................................................. 12
3. Liquides réels ................................................................. 14
3.1. Compressibilité des liquides.................................................. 14
3.2. Viscosité des liquides ....................................................... 14
3.2.3. Liquide newtonien ............................................... 14
3.2.4. Lubrifiants ..................................................... 15
3.3. Interface ................................................................. 15
3.3.1. Forces interparticulaires .......................................... 15
3.3.2. Tension superficielle ............................................. 16
3.3.3. Membranes liquides.............................................. 16
3.3.4. Interface liquide - solide .......................................... 17
4. Surfaces libres des liquides ...................................................... 19
4.1. Liquide au repos ou en mouvement rectiligne uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2. Liquide en translation avec une accélération constante ............................ 19
4.3. Liquide en mouvement circulaire uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5. Hydrodynamique .............................................................. 21
5.1. Notion de base de l'écoulement ............................................... 21
5.2. Répartition des vitesses dans une section circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.3. Equation d'écoulement ..................................................... 22
5.3.1. Débit massique et volumique ...................................... 22
5.3.2. Equation de continuité ............................................ 22
5.4. Equation de Bernoulli....................................................... 23
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5.5. Application de l'équation de Bernoulli.......................................... 24
5.5.1. Tuyère ........................................................ 24
5.5.2. Diffuseur ...................................................... 24
5.6. Ecoulement visqueux ....................................................... 25
5.6.1. Genre d'écoulement .............................................. 25
5.6.2. Nombre de Reynolds ............................................. 25
5.6.3. Résistance hydraulique d'un obstacle dans un écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.7. Ecoulement tubulaire ....................................................... 27
5.7.1. Nombre de Reynolds pour l' écoulement tubulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.7.2. Profil de vitesse et débit........................................... 27
5.8. Perte de charge pour un écoulement tubulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.8.1. Equation de Bernoulli avec des pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.8.2. Perte de charge répartie pour l'écoulement laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.8.3. Perte de charge répartie pour l' écoulement turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.8.4. Perte de charge singulières......................................... 29
5.8.5. Pertes de charge totale d'un système de conduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.9. Système d'écoulement avec apport et sortirage d'énergie ........................ 30
6. Déviation d'une veine ........................................................... 31
6.1. Théorème d'impulsion ...................................................... 31
6.2. Poussées exercée par le courant ............................................... 32
6.3. Force agissant sur une aile dans un écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7. Annexe ....................................................................... 33
7.1. Coefficient de traînée pour les corps soumis du courant de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.2. Diagramme de Moody ...................................................... 34
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1. Propriétés physiques des fluides
La mécanique des fluides est la partie de la mécanique appliquée qui traite du comportement des liquides,
des gaz et des vapeurs au repos ou
en mouvement.
1.1. Les liquides réels
Les liquides sont des substances susceptibles de s' écouler. Ils présentent les propriétés physiques
importantes suivantes:
- Un liquide n' a pas de forme propre; il épouse la forme de son récipient.
- A l'état de repos, la surface libre d'un liquide est dans un plan horizontal. Il y a écoulement du liquide
dès qu' une partie de la surface libre se trouve au-dessus d'une autre (à b = cst).
- Les liquides ont un volume propre; ils sont très peu compressibles.
- Lors des écoulements, les molécules roulent les unes sur les autres avec un frottement interne appelé
viscosité.
- Les forces de cohésion entre molécules sont très faibles mais existent cependant comme le prouvent
les phénomènes de tension superficielle (formation de gouttes, capillarité)
- Un liquide entre en ébullition dès que la pression extérieure est inférieure à la tension de vapeur.
- Les liquides s' évaporent dans les récipients ouverts.
1.2. Les gaz réels
Les gaz ont les propriétés physiques importantes suivantes:
- Les gaz n' ont pas de forme propre et pas de volume propre; ils occupent tout l' espace mis à leur
disposition. Le volume du gaz est égal au volume propre de ses molécules.
- Les gaz se laissent comprimer dans de larges limites.
- Les forces de cohésion entre molécules sont pratiquement inexistantes. Les molécules se meuvent
librement et de façon désordonnée. Leur vitesse moyenne augmente avec la température.
- La viscosité est très faible.
- Les gaz se liquéfient sous une augmentation suffisante de pression pour autant que la température soit
inférieure à leur température critique.
- les seuls échanges énergétiques ont lieu par choc moléculaire
1.3. Les liquides parfaits et les gaz parfaits
L' hydro- et l' aérostatique simplifient les propriétés des liquides et des gaz. Elles considèrent des liquides
et des gaz dits parfaits ayant les propriétés physiques suivantes:
Liquides parfaits: Gaz parfaits:
- Pas de viscosité - Pas de viscosité
- Pas de tension superficielle - Pas de liquéfaction
- Incompressibilité parfaite - Pas de forces de cohésion entre molécules
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2. Hydrostatique
2.1. Définition
La pression absolue (ou simplement pression) caractérise l'état de contrainte mécanique
régnant au sein d'un liquide ou d'un gaz parfait au repos. La pression dans les
liquides s'explique par les forces de contact exercées par les molécules des liquides
les unes sur les autres, dans les gaz par les chocs des molécules les unes avec les
autres. La pression absolue p régnant en un point (x, y, z) d'un liquide ou d'un gaz au
repos est définie par:
Dans un liquide parfait (sans viscosité), il n'y a pas de contrainte de cisaillement.
Le vecteur force et le vecteur surface sont parallèles. Les forces
produites par un liquide sont indépendantes de l'orientation de la surface sur
laquelle elles s'exercent. En conséquence, la pression est une grandeur non
dirigée, donc un scalaire.
p: Pression [N/m ]
2
dF: Force sur l'élément de surface dA [N]
dA: Elément de surface [m ]
2
2.2. Les deux causes de la pression absolue
La pression d'un fluide au repos peut être produite de deux manières différentes:
2.2.1. Pression produite par une force sur un piston
En l'absence de pesanteur, la pression exercée en un endroit d'un
liquide ou d'un gaz se manifeste égale à elle-même en tout point
de ce liquide ou de ce gaz.
La pression exercée sur la surface A 1 se transmet dans le fluide
et elle apparaît sur la surface A avec la même grandeur.
F i:
Force sur le piston [N]
A : Surface du piston [m ]
2
i
2
La pression d'un gaz enfermé dans un récipient se comporte comme la pression produite par une force sur
un piston. Le poids propre du gaz est négligeable par rapport aux forces de pression.
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2.2.2. La pression due au poids propre des molécules
La pression due au poids propre des molécules est produite par le poids de la colonne de liquide ou de gaz
situé au-dessus de l'élément de surface considéré. Comme les gaz présentente en général une petite
densité, il n'est utile de tenir compte de leur poids que pour de très grandes hauteurs h. (pression atmosphérique).
2.2.2.1. Pression hydrostatique
Soit un fluide incompressible au repos. La différence de pression dans le liquide entre deux points A et B
est donnée par la pression hydrostatique:
�______________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
p: Pression [N/m ]
2
z: Hauteur [m]
�: Poids volumique [N/m ]
3
h: Différence d'hauteur [m]
La pression dans un liquide pesant est donc indépendante de la forme du récipient, et elle est constante
dans un même plan horizontal.
2.2.2.2. Pression atmosphérique b:
Elle est produit par le poids propre de la colonne d'air. Elle ne varie pas linéairement avec la hauteur h
parce que les gaz sont très compressible et la pression de l'atmosphère dépend aussi de la température.
C'est pourquoi, la pression atmosphérique ne varie pas seulement avec la hauteur, mais aussi avec la
température.
Variation de la pression atmosphérique avec l'altitude:
Equation de la pression atmosphérique b en fonction de l'altitude h,
compte tenu d'une chute de température de 6,5°C par 1000 m.
Valable si: h < 11 000 m
� : 15�C
b(h): Pression atmosphérique à l'altitude h [N/m ] 2
h: L'altitude [m]
b : Pression atm. moy. au niveau de la mer = 1,013�10 N/m
0
0
5 2
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2.3. Mesure de la pression
La pression se mesure avec un manomètre. Cet appareil est constitué par un tube en
U contenant un ou plusieurs liquides de masse volumique connue. On branche une
des extrémités du tube au récipient à l'intérieur duquel on désire mesurer la pression.
Comme la pression est la même dans un plan horizontal, la dénivellation entre les
deux branches permet un calcul de la pression. Notons que le diamètre et la forme
des branches du tube sont sans influence sur le résultat.
Avec le même principe (Tube de Torricelli) on mesure la pression atmosphérique b.
Les plus simples manomètres à liquide avec un tube en U:
Un liquide Plusieurs liquides Baromètre à mercure
�_________________ _________________________ ________________
___________________ _________________________ ________________
2.4. Les unités de pression
Systèmes d'unité Unités de pression
2
S.I.- Système 1 N/m = 1 Pascal [Pa]
2
Système technique 1 kp/cm = 1 Atmosphère technique [at]
2
Système CGS 1 dyn/cm = 1 �bar
Autres unités 1 atm = 1 Atmosphère physique = Pression atmosphérique
moyenne au niveau de la mer
1 mmWS = Pression d'une colonne d'eau de 1 mm
1 mmHg = Pression d'une colonne de mercure de 1 mm
1 Torr = 1 mmHg
1 psi = Pound per square inch
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2.5. Pression relative et pression absolue
Un indicateur de pression ou un manomètre mesure en général la
différence de pression régnant entre deux milieux (liquides ou
gazeux). On parle dans ce cas d'une pression différentielle. La
différence de pression régnant entre un milieu liquide ou gazeux
et le vide s'appelle: pression absolue p . Pour la différence de
pression mesurée par rapport à l'air ambiant b, on distingue entre
les deux cas suivants:
Pression absolue > Pression atmosphérique � Surpression
Pression absolue < Pression atmosphérique � Dépression
2.6. Technique du vide
a
2
p a:
Pression absolue [N/m ] ou [ata]
2
p ü:
Surpression [N/m ] ou [atü]
2
p : Dépression [N/m ] ou [atu]
u
Le vide parfait est un espace sans particule (molécule). En technique, il n'existe pas de processus pour
réaliser un vide parfait. Le problème principal en technique du vide est de réduire la densité de molécules
dans un volume donné. A température constante cela est toujours obtenu par un abaissement de la
pression de gaz. La pression de départ est la pression ambiante b.
Il est habituel en technique du vide de diviser la gamme totale de pression, qui recouvre aujourd'hui plus
de 16 puissances de dix, en différents domaines dont les dénominations sont fixées par les normes:
Genre de vide Domaine de pression [bar] Densité de particules [Particules/m ]
3
Vide grossier
Vide moyen
Vide poussé
Ultravide
Gaz interstellaire
1 - 10 -3
-3 -6
10 - 10
-6 -10 10 - 10
-10 -14 10 - 10
� 10-18 25 22
2.5�10 - 2.5�10
22 19
2.5�10 - 2.5�10
19 15
2.5�10 - 2.5�10
15 11
2.5�10 - 2.5�10
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Les domaines définis se différencient très bien en prenant en considération leurs rapports avec la cinétique
des gaz et le type d'écoulement gazeux. Les techniques de travail dans les différents domaines ne sont pas
les mêmes.
Pour diminuer la densité de gaz et avec elle la pression dans un volume donné, on doit faire sortir les
particules du volume: c'est le rôle des pompes à vide. On distingue deux groupes de pompes à vide:
a) celles qui, à travers un ou plusieurs étages de compression, enlèvent les particules de gaz du volume
à pomper et le refoulent dans l'atmosphère (pompes à compression): déplacement des particules de
gaz par transport volumétrique ou transfert par impulsions,
b) Les pompes à vide qui fixent les particules de gaz à éliminer sur une paroi solide, qui constitue
souvent une partie de celles délimitant le volume à pomper, par condensation, ou par un autre
procédé (chimique par exemple).
2.7. Forces de pression exercées par les liquides
2.7.1. Force sur le fond d'un récipient
Les surfaces du fond d'un récipient ont les mêmes
grandeurs. La résultante F sur la surface A est donnée
avec la relation suivante:
�_________________________________
F: Force exercée sur le fond du récipient [N]
h: Hauteur de la colonne de liquide [m]
�: Poids volumique [N/m ]
3
A: Surface du fond du récipient [m ]
2
Paradoxe hydrostatique: La force de pression exercée sur le fond d'un récipient est indépendante de la
forme de ce dernier mais elle dépend de la hauteur du liquide et de son poids volumique.
2.7.2. Forces sur les parois latérales
La pression à l'intérieur d'un récipient produit une force sur ses
parois latérales. Sur un élément de surface latérale dA agit la
force élémentaire résultante :
�______________________________________________
______________________________________________
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2.7.3. Paroi latérale plane et verticale
A: Surface de la paroi latérale [m ] 2
S: Centroïde de la paroi latérale
D: Centre de poussée de la paroi latérale
F: Poussée sur la paroi latérale [N]
a: Largeur de la paroi [m]
z S:
Profondeur du centroïde [m]
z : Profondeur du centre de poussée [m]
Poussée sur l'élément de surface:________________________________________________________
Poussée totale:_______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
F: Force [N]
�: Poids volumique [N/m ]
3
Les composantes des forces et le centre de poussée de la paroi:
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D
La force résultante F agit avec le même moment sur la paroi
que la pression.
________________________________________________
Centre de poussée de la paroi z D :_______________________________________________________
Ligne d'action de poussée de la paroi passe par le centroïde du profil de la surpression!
F: Pousse sur la paroi [N]
F i:
Poussée sur la paroi partielle [m]
z i:
Profondeur de la force partielle [m]
z : Profondeur du centre de poussée [m]
D

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2.7.4. Paroi courbée latérale
La poussée élémentaire sur la paroi latérale se décompose en une composante horizontale dF H et une
composante verticale dF .
= ________________________
V
dF H = _________________________________________
F H = ___________________________________________
_______________________________________________
dF V = __________________________________________
F V = ___________________________________________
2.8. Principe d'Archimède
F: Poussée sur la paroi [N]
F H:
Composante horizontale de la poussée sur la paroi latérale [N]
F V:
Composante verticale de la poussée sur la paroi latérale [N]
A V:
Projection verticale de la paroi [m ] 2
z Sv: Profondeur du centroïde de la surface A V [m]
z Dv: Profondeur du centre de poussée de la surface A V [m]
V: Volume de liquide entre la paroi et la surface A [m ]
3
2.8.1. Cause de la poussée d'Archimède
Un corps entièrement plongé dans un fluide est soumis à une force, appelée "Poussée d'Archimède",
dirigée verticalement vers le haut et égale au poids du fluide déplacé. Le point d'application de la poussée
d'Archimède est au centre de gravité du volume de fluide déplacé.
�____________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
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V

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______________________________________________________
F A:
Poussée d'Archimède (agit selaon la direction z) [N]
� F:
Poids volumique du fluide [N/m ] 3
V : Volume du corps [m ] 3
k
Le point d'application de la poussée est au centre de gravité du volume de fluide déplacé.
2.8.2. Corps entièrement plongé dans un fluide
2.8.2.1. Volume et poids volumique d'un corps solide
Le volume et la densité volumique d'un corps solide peuvent être déterminés
par une pesée dans l'air et par une pesée dans un fluide .
�_______________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
2.8.2.2. Mouvement du corps
G: Poids du corps solide dans l'air [N]
G F:
Poids apparent du corps dans le fluide [N]
F A:
Poussée d'Archimède [N]
� F:
Poids volumique du fluide [N/m ]
3
� : Poids volumique du corps solide [N/m ]
3
K
On distingue trois cas suivant la grandeur du poids et la grandeur de la poussée
d'Archimède :
< : Le corps monte
= : Le corps est en équilibre indifférent
> : Le corps coule
2.8.3. Corps flottants
2.8.3.1. Poussée d'Archimède sur un corps
Le volume partiel V' du corps est immergé dans le fluide. La flottaison est un état
d'équilibre défini par:
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F

2.8.3.2. Aréomètre
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G: Poids du corps solide [N]
F A:
Poussé d'Archimède [N]
� F:
Poids volumique du fluide [N/m ] 3
V': Volume partiel immergé dans le fluide [m ] 3
La profondeur d'immersion d'un corps flottant dépend de la densité du liquide. La
mesure de la profondeur d'immersion permet déterminer la densité du liquide.
Fa:________________________________________________________________
� F:_______________________________________________________________
� F= ____________________ � F=
____________________________
2.8.3.3. Stabilité des corps flottants
a) La position du corps est toujours stable si le point d'application de la poussée
S A est au-dessus du centre de gravité du corps flottant S K.
b) La position du corps est stable ou instable, si le point d'application de la
poussé d'Archimède S A est en-dessous du centre de gravité du corps S K.
En
faisant tourner légèrement le corps de sa position d'équilibre, le poids et la
poussée A forment un couple qui ramène le corps dans sa position initiale
(équilibre stable) ou au contraire le fait basculer (équilibre instable).
Le point d'intersection M de la ligne d'action de la poussée d'Archimède dans la position déviée et de la
ligne d'action de la poussée d'Archimède dans la position d'équilibre s'appelle métacentre.
La position est stable si le métacentre est au-dessus du centre de gravité du corps.
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3. Liquides réels
Entre les molécules d'un liquide existent des forces dues à des effets électriques,
les forces de Van der Waals. Ces forces sont répulsives si les
molécules sont plus proches qu'un certaine distance r 0,
elles sont attractives
si la distance moyenne entre les molécules et plus grande que r
Cette théorie permet d'expliquer les propriétés suivantes:
3.1. Compressibilité des liquides
La compressibilité d'un liquide se mesure par la variation de volume produite par
une variation de pression à température constante. Elle est représentée par la grandeur
� qui est relativement faible pour les liquides ordinaires. Au lieu de la compressibilité
�, on utilise aussi le module de compression K.
�V: Variation de volume [m ]
3
�p: Variation de pression [N/m ]
2
V: Volume initiale du liquide [m ]
3
2
�: Compressibilité [m /N]
K: Module de compression [N/m ]
2
La diminution du volume entraîne une augmentation de la densité.
�________________________________________________________________________________
�: Densité [kg/m ]
3
3.2. Viscosité des liquides
3.2.3. Liquide newtonien
La viscosité d'un liquide est la propriété qui exprime sa résistance à une force tangentielle entre deux
couche du liquide. La viscosité est due principalement à l'interaction entre les molécules du
fluide et elle est une sorte de frottement interne. Le modèle suivant montre l'action de la viscosité.
Considérons deux grandes plaques parallèles à une faible distance
l'une de l'autre d, l'espace entre les plaques étant rempli d'un
liquide donné. La plaque supérieure est entraînée par une force
constante , si bien qu'elle est animée d'une vitesse constante .
Le liquide en contact avec la plaque supérieure va y adhérer et va
donc être animé de la vitesse v, tandis que le fluide en contact avec la plaque fixe aura une vitesse nulle.
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0.

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Si la distance d et la vitesse v ne sont pas trop grandes, la courbe représentative de la variation de la
vitesse va être une droite. Les liquides, qui ont une tel comportement de la variation de la vitesse sont des
liquides newtoniens. Les expériences ont montré que la force varie directement avec la surface de la
plaque A, avec la vitesse et inversement avec la distance d. On peut écrire pour la viscosité dynamique
�:
�_______________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
2
�: Viscosité dynamique [Ns/m = Pa s]
F: Force [N]
dv/dy: Gradient de vitesse [1/s]
On définit un deuxième coefficient de viscosité, le coefficient de viscosité cinématique �:
2
�: Viscosité cinématique [m /s]
�: Masse volumique [kg/m ]
3
La viscosité est souvent donnée dans le système CGS avec les unités de base Poise et Stokes. La conver-
2 2 4
sion en système SI est donné par les relations suivantes: 1 Ns/m = 10 Poise et 1 m /s = 10 Stoke. La
viscosité des liquides est inversement proportionnelle à la température mais elle n'est pas affectée de
manière appréciable par les variations de pression.
3.2.4. Lubrifiants
Certaines huiles contenant des additifs ont un comportement différement du fluide Newtonien. L'équation
suivante empirique de Ubbelohde-Walther, donne approximativement leur comportement.
3.3. Interface
3.3.1. Forces interparticulaires
Les forces dans les corps entre les molécules de même genre sont
appelées les forces de cohésion (Forces cohérentes). Ces forces de
cohésion sont présents dans les solides et les liquides. Dans les gaz
avec des températures plus hautes que la température critique, les
forces de cohésion sont négligeables. Dans les liquides avec les molécules
relativement mobiles, les effets des forces de cohésion sont bien
visible. Toute molécule est soumise à des forces de la part de ses voisines.
Tant qu'elle se trouve au sein du liquide, la répartition des forces
est symétrique, leur résultante est donc nulle. Il n'en est plus de même près de la surface ou près d'une
-8
paroi. Pour les molécules plus près de la surface que le rayon de la sphère d'action (� 10 m), la résultante
des forces de cohésion n'est plus zéro et elle croît avec la réduction de la distance par rapport à la surface.
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EI Bienne - Microtechnique Mécanique des fluides - 16 / 34
Les forces entre les molécules de deux matières différentes sont des forces d'adhésion (Forces adhérentes).
Elles sont bien visible entre les liquides et les solides.
3.3.2. Tension superficielle
La force de cohésion dans les liquides développe à leur surface un effet remarquable: la tension superficielle.
Il faut fournir du travail pour amener une molécule de l'intérieur du liquide à sa surface. Les
molécules de la surface possèdent donc une énergie potentielle et toute augmentation de surface implique
un accroissement correspondant de l'énergie. Cette énergie par unité de surface de liquide est appelée
constante de tension superficielle et elle est désignée par �.
En l'absence de forces extérieures le liquide est dans l'état d'énergie potentielle minimale. C'est-à-dire la
surface est minimale.
Considérons une lame liquide dont on peut faire varier la surface à l'aide
d'un étrier. Un déplacement dx de l'étrier nécessite un travail pour augmenter
l'énergie potentielle du système et pour accroître la surface. On
obtient pour la tension superficielle �:
�___________________________________________________
F: Force [N]
e: Longueur de l'étrier [m]
�: Tension superficielle [N/m]
La tension superficielle varie beaucoup avec la température.
3.3.3. Membranes liquides
Considérons un élément de surface dA de membrane liquide en équilibre. En supposant les pressions
différentes sur les deux faces de la lame, l'équilibre aura lieu lorsque les forces de pression s'exerçant sur
dA seront compensées par les forces de tension superficielles agissant sur le pourtour de dA.
�______________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
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__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
�p: Surpression interne [N/m ] 2
�: Tension superficielle [N/m]
R , R : Rayons de courbure de la surface courbe [m]
1 2
3.3.4. Interface liquide - solide
3.3.4.3. Formes de mouillage
Le contact d'une goutte de liquide et d'un support plan
forment l'angle caractéristique � entre la surface du liquide
et support plan. D'après la grandeur de l'angle de
contact, on distingue les deux cas:
a) 0 � � � �/2: Liquide mouillant
Les forces d'adhésion sont plus grandes que les forces
de cohésion. Le liquide se propage sur le corps solide.
b) �/2 � � � �: Liquide non-mouillant
Les forces d'adhésion sont plus petites que les forces de cohésion. Le liquide forme des gouttes sur
le corps solide.
3.3.4.2. Capillarité
D'après la forme de mouillage, on distingue entre les deux
phénomènes de capillarité:
a) Le liquide mouillant montre une ascension capillaire (h
> 0).
b) Le liquide non-mouillant montre une dépression capillaire
(h < 0).
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L'ascension capillaire ou la dépression capillaire h dépendent principalement de l'angle de contact �.
L'équilibre du colonne du liquide montre que:
�___________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
h: Hauteur de la colonne [m]
�: Tension superficielle [N/m]
�: Angle entre la paroi et la surface du liquide [-]
�: Masse volumique du liquide [kg/m ] 3
R: Rayon du tube [m]
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4. Surfaces libres des liquides
On peut soumettre un liquide à une rotation, à une accélération constante sans
occasionner de mouvement relatif entre les particules du fluide. Dans ces
conditions, il y a équilibre relatif et absence de tensions internes. Il n'existe, en
général, pas de mouvement relatif entre le fluide et le récipient qui le contient.
La force résultante de l'inertie et du poids est perpendiculaire à la surface du
liquide. Une molécule de la surface se déplace jusque à une position où la
composante tangentielle des forces qui agissent sur elle a disparue.
4.1. Liquide au repos ou en mouvement rectiligne uniforme
La surface libre d'un liquide au repos ou en translation constante forme
pratiquement un plan horizontal.
�: Inclinaison de la surface libre du liquide [-]
4.2. Liquide en translation avec une accélération constante
Chaque élément de masse dm de la surface libre du liquide est soumis à
la force d'inertie et au propre poids de l'élément considéré. La force
résultante agit perpendiculairement à la surface du liquide.
�____________________________________________________
______________________________________________________
a: Accélération [m/s ]
2
g: Accélération terrestre de la pesanteur [m/s ]
2
4.3. Liquide en mouvement circulaire uniforme
Chaque élément de masse dm de la surface libre du liquide agit
avec la force d'inertie et avec le poids propre de l'élément considéré
sur la surface. L'orientation de la force résultante est perpendiculaire
à la surface libre. L'angle d'inclinaison �(r) varie avec la
distance par rapport à l'axe de rotation r.
�__________________________________________________
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EI Bienne - Microtechnique Mécanique des fluides - 20 / 34
___________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
�: Vitesse angulaire [1/s]
r: Distance de l'axe de rotation [m]
y : Position du sommet du paraboloïde [m]
0
La surface libre du liquide en rotation forme un paraboloïde de révolution. La forme de la surface est
indépendante de la densité du liquide.
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5. Hydrodynamique
5.1. Notion de base de l'écoulement
Les liquides considérés sont pratiquement incompressible. Dans un écoulement on a des frottements entre
les couches de liquide qui sont déterminés par la viscosité. C'est ainsi en partie la viscosité qui détermine
le genre d'écoulement. On définit dans un écoulement les grandeurs suivantes:
Trajectoire La trajectoire est l' ensemble des positions occupées au
cours du temps par un même élément de fluide. (photo
avec long temps de pose)
Ligne de courant Un écoulement peut être caractérisé ou visualisé à l'
aide des lignes de courant. A un instant donné les
courbes tangentes aux vecteurs vitesses forment les
lignes de courants (photo avec court temps de pose).
Veine liquide Une veine liquide est un écoulement entier limité par
une paroi. Un ensemble de lignes de courant traversant
une surface A délimitée par une courbe fermée est
appelée tube de courant ou veine liquide.
Ecoulement stationnaire
On se trouve en présence d'un écoulement stationnaire si, en tout point, la vitesse des
particules de liquide successives reste la même à tout instant. En un point donné, la
pression et la densité restent constantes.
Ecoulement non instationnaire
Un écoulement est instationnaire quand les conditions en un point quelconque du fluide
varient avec le temps. On rencontre les écoulements non stationnaires dans les machines
à piston par exemple.
5.2. Répartition des vitesses dans une section circulaire
Liquide non visqueux
Les liquides parfaits, sans frottement, ont une répartition des vitesses homogène
dans toute la section.
Liquide visqueux
Dans un écoulement réel le liquide adhère à la paroi du
récipient ou du tube. La vitesse moyenne de l'écoulement
v dans un tube est calculé par la méthode suivante.
m
�___________________________________________
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________________________________________________________________________________
A: Section de l'écoulement [m ] 2
v(r): Vitesse à la position r [m/s]
v : Vitesse moyenne [m/s]
m
Dans ce cours la vitesse v correspond à la vitesse moyenne de l'écoulement.
5.3. Equation d'écoulement
5.3.1. Débit massique et volumique
Si un fluide s'écoule dans un tube avec la vitesse v, il se forme un écoulement de
masse par unité de temps ou un débit massique de la manière suivante:
�_________________________________________________________________
Pour un fluide incompressible se forme le débit volumique:____________________
: Débit massique [kg/s]
3
: Débit volumique [m /s]
�: Densité [kg/m ]
3
5.3.2. Equation de continuité
La loi de continuité est le bilan de la masse. Pour un écoulement
stationnaire, le débit masse reste constant en toute section.
La veine liquide ne contient ni source et ni pertes entre
les points 1 et 2. Pour un écoulement stationnaire, le débit
massique reste constant en toute section.
�_________________________________________________
Pour un fluide incompressible (� = const.)
v i:
Vitesse moyenne de l'écoulement [m/s]
A : Section de l'écoulement [m ] 2
i
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5.4. Equation de Bernoulli
L' équation de Bernoulli exprime la conservation de l' énergie d'un écoulement stationnaire dans une
veine fluide. Le théorème d'énergie de la mécanique paraît sous une autre forme. L' énergie de déformation
n' intervient pas pour les liquides. Par contre, le travail de déplacement est soumise d'une variation.
L'énergie mécanique pour une masse m avec le volume V a les termes suivants:
Energie potentielle: E P = mgh
Energie cinétique: E K = ½mv2 Travail de transvasement: Cette énergie correspond au travail nécessaire pour
déplacer la masse m d'un volume V dans une espace
de pression p.
�_______________________________________________________________
E V:
Energie du travail de transvasement [J]
p: Pression [N/m ] 2
V: Volume [m ]
3
Chaque élément de masse �m conserve son énergie sur le déplacement
de la position 1 à la position 2.
�_______________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________ Forme 1
_________________________________________________________ Forme 2
_________________________________________________________ Forme 3
Par la suite, on utilise la conservation d'énergie sous la forme 2
z 1, z 2:
Hauteur [m]
v 1, v 2:
Vitesse [m/s]
g: Accélération de la pesanteur [m/s ] 2
�: Masse volumique du liquide [kg/m ] 3
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EI Bienne - Microtechnique Mécanique des fluides - 24 / 34
5.5. Application de l'équation de Bernoulli
5.5.1. Tuyère
La tuyère transforme l' énergie de pression en énergie cinétique.
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
5.5.2. Diffuseur
v 1, v 2:
Vitesse [m/s]
p 1, p 2:
Pression [N/m ]
2
�: Masse volumique [kg/m ]
3
A , A : Surface [m ]
2
1 2
Le diffuseur transforme l' énergie cinétique en énergie de pression.
____________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
v 1, v 2:
Vitesse [m/s]
p 1, p 2:
Pression [N/m ] 2
�: Masse volumique [kg/m ] 3
A , A : Surface [m ] 2
1 2
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EI Bienne - Microtechnique Mécanique des fluides - 25 / 34
5.6. Ecoulement visqueux
5.6.1. Genre d'écoulement
Tous les liquides sont visqueux. Dans un écoulement les frottements entre les couches de liquide sont
déterminés par la viscosité. C'est ainsi en partie la viscosité du fluide qui détermine le genre d' écoulement,
car ce sont en partie les forces de frottement dans le courant qui sont responsables pour le genre
d' écoulement. Un écoulement peut être indiqué ou rendu visible à l' aide des lignes d' écoulement ou
lignes de courant. En principe une ligne d' écoulement représente la trajectoire d'une particule de liquide.
On distingue deux genres d' écoulement pour un fluide réel. On les appelle écoulement laminaire
et écoulement turbulent.
L' écoulement laminaire est une forme d' écoulement ordonné, régulier
où les particules de fluide se déplacent en couches. Deux couches voisines
possèdent des vitesses différentes et frottent l' une sur l' autre,
provocant ainsi une force de cisaillement tangentielle F R entre elles. La
contrainte de cisaillement � est donné par:
F R:
Force de cisaillement [N]
A: Surface [m ]
2
dv/dy: Gradient de vitesse [1/s]
�: Contrainte de cisaillement [N/m ]
2
L' écoulement turbulent représente une forme d' écoulement désordonné,
où les particules de liquide parcourent des zones de grandes et faibles
vitesses. Ces trajectoires sont déterminées par les chocs entre particules.
Du point de vue microscopique l' écoulement est instationnaire. Malgré le
caractère complexe d'un tel écoulement le nombre énorme de particules
de fluide qui prennent part fait que globalement un tel écoulement reste stationnaire. Pour étudier l'
écoulement turbulent on conserve le modèle de l' écoulement laminaire avec des couches fluides et des
lignes d' écoulement stables. On suppose encore que c'est le frottement entre les couches qui produit la
perte de charge et on introduit une contrainte de cisaillement fictive entre les couches, bien que la perte
de pression provienne d'un tout autre phénomène: les chocs entre les parties de fluide et qu' il n' existe
ni couches et ni lignes d' écoulement. Pour la contrainte de cisaillement fictive on écrit:
5.6.2. Nombre de Reynolds
C: Constante [-]
�: Masse volumique [kg/m ]
3
v : Vitesse moyenne [m/s]
m
L' étude générale du passage d'un écoulement laminaire à un écoulement turbulent est rendre possible
grâce à la théorie de la similitude mécanique. L' analyse dimensionnelle en théorie de similitude
hydraulique permet l' expérimentation sur des modèles réduits. Dans une équation exprimant une
relation entre les grandeurs caractéristiques, force et temps, l' égalité absolue des nombres et des dimensions
est obligatoire. Les grandeurs caractéristiques sont: la vitesse d' écoulement, le diamètre du
tube, la longueur du profil, le diamètre de la sphère, etc. Les rapports: force d' inertie / force de pression
(Euler), force d' inertie / poids (Froude), force d' inertie / élasticité (Cauchy), temps, dimensions
du profil forment la base pour le nombre caractéristiques de l' écoulement. Le Nombre de Reynolds se
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EI Bienne - Microtechnique Mécanique des fluides - 26 / 34
base sur le rapport des grandeurs: force d' inertie / force de viscosité
__________________________________________________________________________________
Re: Nombre de Reynolds [-]
v: Vitesse [m/s]
L: Longueur caractéristique [m]
2
�: Viscosité cinématique [m /s]
Au laboratoire les essais sont fait en soufflerie sur un modèle
réduit géométriquement semblable. Le Nombre de Reynolds
pour le modèle est donné par:
Re M:
Nombre de Reynolds du modèle [-]
v M:
Vitesse dans le canal de souffl. [m/s]
L M:
Dimension caractéristique du modèle [m]
2
� : Viscosité cinématique du fluide d' essai [m /s]
M
Le Nombre de Reynolds critique correspond à la vitesse critique v K déterminant le passage du régime
laminaire au régime turbulent.
v K:
Vitesse critique [m/s]
5.6.3. Résistance hydraulique d'un obstacle dans un écoulement
La résistance hydraulique d'un obstacle dans un écoulement dépend des propriétés du fluide, du genre
de l' écoulement, de la vitesse relative, de l'état de surface et de la forme de l' obstacle.
5.6.3.3. Traînée dans un écoulement laminaire
La traînée d'une sphère a été déterminée par Stoke. La formule de
Stoke permet de déterminer la viscosité dynamique d'un liquide.
F W:
Traînée [N]
2
�: Viscosité dynamique [Ns/m ]
R: Rayon de la sphère [m]
5.6.3.4. Traînée dans un écoulement turbulent
Cette traînée due au travail de formation de tourbillons à l' arrière
de l' obstacle. La force de frottement visqueux est négligeable
par rapport au travail de formation de tourbillons.
c W:
Coefficient de traînée [-]
A: Section du corps [m ] 2
�: Densité du liquide [kg/m ] 3
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EI Bienne - Microtechnique Mécanique des fluides - 27 / 34
Le coefficient de traînée c W est un nombre sans dimension qui dépend de la forme géométrique de l'
obstacle et varie lentement avec le nombre de Reynolds Re. Toutefois, pour des domaines relativement
étendus, on peut considérer c comme constant pour une forme géométrique donnée.
5.7. Ecoulement tubulaire
W
5.7.1. Nombre de Reynolds pour l' écoulement tubulaire
Pour l' écoulement tubulaire le diamètre du tube est la dimension
caractéristique L dans le nombre de Reynolds Re.
Re: Nombre de Reynolds [-]
d: Diamètre du tube [m]
v: Vitesse moyenne [m/s]
2
�: Viscosité cinématique [m /s]
Le passage d'un écoulement laminaire à un écoulement turbulent n' est pas brutal. Dans un tube rectiligne
un écoulement devient turbulent au delà d' environ Re = 2320. Pour les applications pratiques, on
écrit:
Re CRIT = 2300
5.7.2. Profil de vitesse et débit
5.7.2.1. Ecoulement laminaire
Puisque le fluide "colle" à la paroi du tube, la vitesse
est zéro à cet endroit. La rugosité de la paroi est sans
influence pour les écoulements laminaires sur la
perte de pression, puisque les aspérités sont remplies
de fluide et la couche voisine à la paroi rencontre une
surface très lisse. La force résultant de la différence
de pression déplace le cylindre fluide examiné. La
résistance est fournie par le frottement à la surface de
la couche liquide.
Profil de vitesse:
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
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EI Bienne - Microtechnique Mécanique des fluides - 28 / 34
__________________________________________________________________________________
5.7.2.2. Ecoulement turbulent
v(r): Profil de vitesse [m/s]
�: Viscosité dynamique [Ns/m ] 2
�p: Différence de pression [N/m ] 2
L: Longueur du tube [m]
r a:
Rayon du tube [m]
r: Rayon intérieur du tube [m]
La répartition des vitesses dans la section d'un écoulement tubulaire
turbulent est déterminée expérimentalement. La répartition montre sur
toute la section une vitesse presque constante à l'exception d'une mince
couche à la paroi du tube ou la vitesse diminue rapidement jusqu' à s'
annuler. Le profil de vitesse s' aproxime bien par la loi exponentielle
de Blasius.
v(r): Vitesse à la position r [m/s]
r: Rayon [m]
r a:
Rayon du tube [m]
v MAX:
Vitsse maximale [m/s]
n: Exposent [-]
L'exposent n prend les valeurs entre 0,1 et 0,2. Cette valeur dépend de nombre de Reynold et de la
rugosité de la paroi. La vitesse moyenne v � 0,8�v .
m MAX
5.8. Perte de charge pour un écoulement tubulaire
5.8.1. Equation de Bernoulli avec des pertes
Les pertes d'énergie se manifestent sous forme d'une perte de pression
dans l'élément d'écoulement. Les pertes sont proportionnelles à
v.
2
�p: Perte de charge [N/m ]
2
�: Masse volumique [kg/m ]
3
v: Vitesse [m/s]
g: Accélération de la pesanteur [m/s ]
2
Les pertes totales introduites dans l'équation de Bernoulli:
z: Hauteur [m]
p: Pression [N/m ] 2
N: Nombre de pertes [-]
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EI Bienne - Microtechnique Mécanique des fluides - 29 / 34
5.8.2. Perte de charge répartie pour l'écoulement laminaire
Re: Nombre de Reynolds [-]
L: Longueur du tube [m]
d: Diamètre du tube [m]
5.8.3. Perte de charge répartie pour l' écoulement turbulent
� R:
Coefficient de frottement [-]
� R pour un écoulement turbulent dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité k de la paroi du
tuyau. Il est même possible que pour une très grande rugosité, elle ne dépend plus que de celle-ci. C'est
la rugosité relative k' qui est déterminante, puisque pour la comparaison de rugosité de tuyaux c'est le
rapport géométrique entre la rugosité et le diamètre qui caractérise l'état de rugosité.
k': Rugosité relative [-]
k: Rugosité [m]
d: Diamètre du tuyau [m]
La rugosité des parois n' exerce aucune influence sur l' écoulement laminaire et le coefficient � R pour ce
genre d' écoulement. Dans le régime turbulent, le � a une grande influence et la détermination
Der Reibkoeffizient ist für alle Bereiche im Diagramm von Moody � R(Re,
k') dargestellt (siehe Seite:
34)
5.8.4. Perte de charge singulières
Les pertes de pression concentrées dans des éléments d' écoulement
comme par exemple: vanne, soupape, coude de tuyau etc. sont proportionnelles
au coefficient �. Les effets de la viscosité et de la rugosité sont négligeable.
La perte de charge correspondante est donnée par:
2 2
�p/�: Pertes de charge [m /s ]
�: Coefficient de proportionnalité [-]
v: Vitesse du liquide [m/s]
5.8.5. Pertes de charge totale d'un système de conduite
La perte de charge totale est donnée par la somme des pertes partielles.
�: Masse volumique [kg/m ] 3
2 2
p/�: i Pertes partielles [m /s ]
2 2
P /�: Pertes totales [m /s ]
TOT
R
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EI Bienne - Microtechnique Mécanique des fluides - 30 / 34
5.9. Système d'écoulement avec apport et sortirage d'énergie
Un écoulement avec une amenée d'énergie (p.ex. pompe) ou une dissipation
d'énergie (p.ex. turbine) fournit l'équation d'énergie suivante:
z i:
Hauteur [m]
v i:
Vitesse [m/s]
p i:
Pression [N/m ] 2
�p: Perte de charge par la viscosité [N/m ] 2
�p P:
Gain de la pression par la pompe [N/m ] 2
�p : Perte de pression par la turbine [N/m ] 2
T
La croissance de la puissance par la pompe ou la décroissance de la puissance par la turbine:
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
P P:
Apport de puissance par la pompe [W]
P T:
Sortirage de puissance par la turbine [W]
3
dV/dt: Débit volumique [m /s]
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EI Bienne - Microtechnique Mécanique des fluides - 31 / 34
6. Déviation d'une veine
Chaque déviation de veine entraîne l'effet d'une force sur les
éléments de déviation (coude, aube, auget). Cette force est donnée
par la variation de la quantité de mouvement du fluide (macrovision)
dévié. La résultante de ces forces (force d'accélération)
sont les forces de déviation . La poussée est la
force de réaction sur l'élément de déviation.
�_______________________________________________
6.1. Théorème d'impulsion
Poursuivons l'élément de masse de liquide ou de gaz
�m dans un volume contrôlée lors d'un écoulement
constant. Chaque particule de masse connaît une modification
d'impulsion par les forces extérieures sur la
manière de 1 à 2.
Impulsion:_________________________________
Flux d'impulsion:____________________________
__________________________________________
Des flux d'impulsion et des forces sur toutes les éléments
de masse �m dans le volume contrôlé ressortent
de l'intégration sur le volume considéré total. À cause
de l'action et de la réaction les forces annule
mutuellement à l'intérieur du volume et autrement restent
les forces à la surface. Les flux d'impulsion (action)
d'entrée compensent ceux des sortent (réaction)
jusqu'aux flux d'impulsion sur les surface du volume.
Pour la surface du volume contrôlé vaut:
�_____________________________________
F i:
Forces extérieur sur le volume contrôlé [N]
: Flux massique [kg/s]
: Vitesse du liquide [m/s]
Courant sortant v > 0, courant entrant v < 0
Les forces sur les parois, les forces de pression et les forces de frottement apparaissent comme force
extérieur. La composante s'appelle le flux d'impulsion.
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EI Bienne - Microtechnique Mécanique des fluides - 32 / 34
Signe du flux d'impulsion. Si le vecteur de surface du volume
contrôlé et le flux d'impulsion ont (n'ont pas) les mêmes orientation
le signe du flux d'impulsion est positive (négative).
�____________________________________________
6.2. Poussées exercée par le courant
Pour le dimensionnement de la fixation d'un élément de courant, la
poussée doit être connue. On a par le théorème d'impulsion sans
force de frottement:
�____________________________
____________________________________________________
_____________________________________________________
F S:
Pousséöe exercée par le courant [N]
F pi:
Force de pression [N]
: Flux massique [kg/s]
v : Vitesse [m/s]
Les composantes et s'appellent le flux d'impulsion
6.3. Force agissant sur une aile dans un écoulement
Lorsqu'un corps se meut dans un fluide visqueux, il subit une
poussée exercée par le courant qui peut être décomposée dans
deux directions privilégiées, l'une parallèle à la direction du mouvement
du corps, l'autre dans une direction perpendiculaire . La
composante parallèle à la vitesse , appelée traînée, est désignée
ici par . La composante normale, ici , est dénommée portance.
Les forces et dépendent de l'angle � et du profil du corps.
i
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7. Annexe
EI Bienne - Microtechnique Mécanique des fluides - 33 / 34
7.1. Coefficient de traînée pour les corps soumis du courant de fluide
Forme de corps Coefficient de traînée cw
Plaque de cercle 1.17
Plaque de rectangle h/b = 1 � 1.1
h/b = 2 � 1.15
h/b = 4 � 1.19
h/b = 10 � 1.29
h/b = 18 � 1.40
h/b = � � 2.01
Hémisphère
afflué à partir de l'extérieur
Hémisphère
afflué à partir de l'intérieur
Cylindre
afflué à partir de la face
Cône
afflué à partir du dessus
Cône
afflué à partir de la surface de
base
Prisme carré
afflué verticalement
Prisme carré
afflué en diagonal
Cube
afflué verticalement
Cube
afflué en diagonal
sans sol 0.34
avec sol 0.40
sans sol 1.33
avec sol 1.17
L/d = 1 � 0.91
L/d = 2 � 0.85
L/d = 4 � 0.87
L/d = 7 � 0.99
� = 30� � 0.34
� = 60� � 0.51
� 0.58
pour b �
� 2.05
pour b �
� 1.55
� 1.05
� 0.8
© C. Meier / L. Müller, Professeurs de Physique HESB / EI Bienne [V 3.0]

EI Bienne - Microtechnique Mécanique des fluides - 34 / 34
7.2. Diagramme de Moody
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