Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et S ...

LEMME 5. Soit x ′ ≥ 200000, ρ = (x ′ − 1)/ log x ′ , et N ′ ρ défini par
(2.10). Alors on a
√
(3.5) log N ρ ′ ≤ 1.05434 l ′ (N ρ) ′ log(l ′ (N ρ)) ′ .
Démonstration. Par (2.18), on a log N ′ ρ ≤ Ψ(x ′ ), et l’on a pour Ψ(x ′ )
la majoration (cf. [19], p. 357)
(
(3.6) Ψ(x ′ ) ≤ x ′ 1 + 0.0221 ) (
≤ x ′ 1 + 0.0221 )
≤ 1.00182 x ′ .
log x ′ log(200000)
L’exposant de 2 dans N ′ ρ est, par (2.13), supérieur à 3 ; en observant que
pour α ≥ 2, l ′ (p α ) = p α − p α−1 ≥ p et que l ′ (p) = p − 1, on a, par (2.10) :
l ′ (N ′ ρ) ≥ ∑ p≤x ′ p − π(x ′ ).
Par le lemme 4, et la majoration classique de π(x) = ∑ p≤x
69), il vient :
1 (cf. [18], p.
l ′ (N ρ) ′ ≥ S(x ′ ) − π(x ′ ) ≥ x′ 2 (
1 + 0.477 )
− 1.26
2 log x ′ log x ′
≥
x ′ 2 (
1 + 1 (
0.477 −
2 log x ′ log x ′
2.52 log x′
x ′ ))
.
x ′
log x ′
Et, comme pour x ′ ≥ 200000,
2.52 log x′
x ′ ≤ 10 −3 , on obtient :
(3.7) l ′ (N ρ) ′ ≥ x′ 2 (
1 + 0.476 )
.
2 log x ′ log x ′
Il vient ensuite, en posant X = 1/ log x ′ :
log l ′ (N ′ ρ) ≥ 2 log x ′ − log 2 − log log x ′ = 2 X
(
1 − X log 2 + X log X )
2 2
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