Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et S ...

(4.7) x ′ 2 = √ (
x ′ /2 1 − log 2 (
2 log x + O 1
))
√
x
, x ′ ′
′ (log x ′ ) 2 3 ∼ 3 3
(cf. lemme 9 ci-dessous et (5.19)). Ensuite par (2.18) et le théorème des
nombres premiers, on a log N ′ ρ ∼ x ′ , et comme n ′ = l ′ (N ′ ρ), on a, par (2.14),
N ′ ρ = G(n ′ ) et
log G(n ′ ) = log N ′ ρ ∼ x ′ .
Enfin, par (1.6), on a x ′ ∼ √ n ′ log n ′ , ce qui entraîne :
(4.8) n ′ = (x ′ ) 2+o(1) .
Soit x ′ < P 1 < P 2 < · · · les nombres premiers suivant x ′ . On définit
j ≥ 0 par
(4.9) P 1 − 1 + P 2 − 1 + · · · + P j − 1 ≤ t < P 1 − 1 + · · · + P j+1 − 1
lorsque t est positif. Nous allons démontrer (ii) lorsque t est positif. Pour t
négatif, on utiliserait les nombres premiers précédant x ′ . De (4.9) il vient :
j(x ′ − 1) ≤ t ≤ n ′δ ,
et, par (4.8) et le choix de δ, pour x ′ assez grand,
(4.10) j ≤ (x ′ ) 2δ−1+o(1) = o ( (x ′ ) 1−τ) = o ( x ′τ / log x ′)
car τ > 1/2. On a donc aussi j + 1 = o(x ′τ / log x ′ ) et (4.6) entraîne que,
pour ρ assez grand
(4.11) x ′ < P 1 < P 2 < · · · < P j+1 ≤ x ′ + (x ′ ) τ .
On introduit ensuite les nombres premiers q i < · · · < q 2 < q 1 < x ′ 2
précédant x ′ 2 mais supérieur à x ′ 3 , et l’on pose
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