Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et S ...

Par (6.4) et (6.5), on a |m−n| ≤ 1 4 mδ qui donne, avec (6.1), |m−n ′ | ≤ m δ .
On applique alors le lemme 6, et l’on obtient avec (4.3) :
et
l ′ (G(n)) − m − ρ log G(n)
N ′ ρ
= BÉN ρ (G(n)) = O(ρ)
l ′ (G(n ′ )) − m − ρ log G(n′ )
N ′ ρ
= BÉN ρ (G(n ′ )) = O(ρ).
Par soustraction, en observant que par le lemme 7 et (6.7) on a l ′ (G(n)) −
l ′ (G(n ′ )) = n − n ′ + O(ρ), il vient
qui, avec (6.7), prouve (ii).
log G(n)
G(n ′ ) = n − n′
+ O(1)
ρ
Démontrons maintenant le théorème 2. Soit n assez grand. Comme dans
la preuve de la proposition 3, on définit N ′ ρ comme le plus grand nombre
super l ′ -champion précédant G(n), et l’on pose m = l ′ (N ′ ρ). On introduit
ensuite les variables P , x ′ , ρ avec la même définition que dans la preuve de
la proposition 3, de telle sorte que les relations (6.2), (6.3), (6.4), (6.5), (6.6)
et (6.7) sont encore vérifiées.
Évaluons maintenant l(N ′ ρ). Par (2.10), on obtient :
l(N ′ ρ) = l ′ (N ′ ρ) + ∑ p≤x ′ p α′ p−1 = m + V (x ′ )
où V (x ′ ) est défini en (5.21) et donc, par (1.3),
(6.8) g(m + V (x ′ )) ≥ N ′ ρ.
Il vient ensuite, en observant que, par (2.14), G(m) = G(l ′ (N ′ ρ)) = N ′ ρ
(6.9)
G(n)
g(n) = G(n)
G(m)
N ′ ρ
g(m + V (x ′ ))
g(m + V (x ′ ))
g(n)
≤ G(n) g(m + V (x ′ ))
G(m) g(n)
par(6.8). On applique alors la proposition 3. Les hypothèses sont vérifiées,
puisque, par (6.4), (6.5) et le lemme 10 (iii), on a
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