Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et S ...

(4.16) x ′ 2 > q 1 > q 2 > · · · > q 2h ≥ x ′ 2 − x ′ 2τ > x ′ 3.
Par (4.10) et (4.15), on a j + h = o(x ′τ / log x ′ ), qui assure, par (4.6)
(4.17) x ′ < P 1 < P 2 < · · · < P j+h ≤ x ′ + x ′τ .
Majorons maintenant BÉN ρ (M j,h ) : par (4.3) et (4.12), il vient :
j+h
∑
(4.18) BÉN ρ (M j,h ) = (P i − 1 − ρ log P i ) +
i=1
2h∑
i=1
(
ρ log qi − (q i − 1) 2) .
Or on a, puisque ρ = x′ −1
log x ′ = (x′ 2 −1)2
log x ′ 2
:
et
P i − 1 − ρ log P i = P i − 1 − (x ′ − 1) − ρ log P i
x ′ ≤ P i − x ′
ρ log q i − (q i − 1) 2 = (x ′ 2 − 1) 2 − (q i − 1) 2 + ρ log q i
x ′ 2
≤ (x ′ 2 − 1) 2 − (q i − 1) 2 ≤ 2x ′ 2(x ′ 2 − q i ).
Donc (4.16), (4.17) et (4.18) entraînent :
et par (4.10), (4.15) et (4.7),
BÉN ρ (M j,h ) ≤ (j + h)x ′τ + 4h x ′ 2 x ′ τ
2
(4.19) BÉN ρ (M j,h ) ≤ (x ′ ) max(2δ+τ−1,(1+τ)/2)+o(1) .
Enfin, de (4.14) et de (1.4), on déduit G(n ′ + t) ≥ M j,h . Par (4.3), (2.3) et
(4.14), il suit :
BÉN ρ (G(n ′ + t)) = l ′ (G(n ′ + t)) − l ′ (N ′ ρ) − ρ log G(n′ + t)
N ′ ρ
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