Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et S ...

ce qui donne, par (2.3), 0 ≤ n − l ′ (G(n)) ≤ p − Q et qui, avec (4.20), achève
la preuve de (ii).
L’estimation dans (i) ou (ii) est assez grossière, mais cela vient du manque
de précision sur la majoration de la différence entre deux nombres premiers
consécutifs (cf. [15], Th. 3, p. 158).
5. Etude de sommes portant sur les nombres premiers
Rappelons d’abord deux lemmes classiques, l’un sur les nombres premiers,
l’autre sur les développements asymptotiques.
LEMME 8. Soit π(x) le nombre de nombres premiers inférieurs ou
égaux à x et li (x) = ∫ x dt
. On pose r(x) = π(x) − li (x). Soit R(x) une
2 log t
fonction positive, croissante pour x assez grand, tendant vers +∞ et vérifiant
|r(x)| ≤ R(x) pour tout x. Soit k un réel ≥ 1, dépendant éventuellement
de x, on a :
(5.1)
∑
p k−1 = li (x k ) + O(x k−1 R(x))
p≤x
et la constante impliquée dans le O est absolue.
Nous appliquerons ce lemme avec les fonctions R 1 (x) = c 1 x e −a√ log x , qui
est une majoration usuelle de |r(x)| dans le théorème des nombres premiers
avec c 1 et a des constantes positives bien choisies, ou encore avec R 2 (x) =
c 2
√ x log x qui majore |r(x)| sous l’hypothèse de Riemann.
Démonstration. On a par l’intégrale de Stieltjès :
∑
p k−1 =
p≤x
∫ x
2 − t k−1 d[π(t)] =
∫ x
t k−1
∫ x
2 − t k−1 (d( li (t)) + d[r(t)])
∫ x
=
2 log t dt + [tk−1 r(t)] x 2− − (k − 1)t k−2 r(t)dt
2
= li (x k ) − li (2 k ) + x k−1 r(x) − I,
avec, pour x assez grand
|I| =
∣
∫ x
2
∫ x
(k − 1)t k−2 r(t)dt
∣ ≤ |R(x)| (k − 1)t k−2 dt ≤ x k−1 R(x).
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2