Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et S ...

(i)
et
(ii)
log g(n)
g(n ′ ) = n − n′
2 √ n/ log n
log G(n)
G(n ′ ) = n − n′
2 √ n/ log n
(
(
1 +
1 +
log log n + 1
2 log n
log log n + 1
2 log n
( ) ) 2 log log n
+ O
+ O(1)
log n
( ) ) 2 log log n
+ O
+ O(1).
log n
Démonstration. Nous allons prouver (ii) ; la preuve de (i) est similaire.
On définit N ′ ρ comme le nombre super l ′ -champion précédant G(n), et l’on
pose m = l ′ (N ′ ρ). On a donc (cf. remarque à la fin du paragraphe 2) :
(6.2) N ′ ρ ≤ G(n) < P N ′ ρ
et
(6.3) m ≤ n < m + P
où P est le plus petit nombre premier ne divisant pas N ′ ρ. Posons x′ −1
log x ′ = ρ.
On sait que P est le plus petit nombre premier supérieur à x ′ et, par le
théorème des nombres premiers, P ∼ x ′ . De (6.3) on déduit
(6.4) 0 ≤ n − m < P = O(x ′ ).
Déterminons maintenant ρ en fonction de n, ρ étant l’un quelconque des
paramètres de N ρ ′ (c’est-à-dire tel que N ρ ′ minimise l ′ (M) − ρ log M). Avec
les notations de (2.10), on a par le lemme 2 : p − 1 ≤ l ′ (p α′ p ) ≤ p
α ′ p ≤ x ′ et
cela implique, avec (2.16)
∑
(p − 1) ≤ m = l ′ (N ρ) ′ ≤ ∑ (p − 1) + x ′ π(x ′ 2).
p≤x ′ p≤x ′
Par (6.4) et (4.7), il s’ensuit que
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