Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et S ...

l ′ (N) = l ′ (N ′ ) ≥ 2l(N ′ )
3
=
2(l(N) − 2)
3
≥ l(N)
2
dès que l(N) ≥ 8. Or l’étude de la fonction t ↦→ tN 1/t et (2.4) montrent que
l(N) ≥ e log N et donc pour N ≥ 19, on a l(N) ≥ 8. Le calcul de l(N) et
l ′ (N) pour N = 10, 14, 18 achève la preuve du lemme 1.
Par (2.5) et le lemme 1, on voit que pour ρ fixé, l ′ (N) − ρ log N tend
vers l’infini avec N, et la fonction N ↦→ l ′ (N)−ρ log N admet un minimum
sur N ∗ , qu’elle atteint en un, ou plusieurs nombres N qui, par (1.7), sont
super l ′ -champions.
Pour ρ > 0, ou définit N ′ ρ par :
(2.10) N ′ ρ = ∏ p≤x ′ p α′ p
où, pour ρ > 0, x ′ est défini par x ′ = 2 si ρ ≤ 1
log 2
et pour ρ >
1
log 2 par :
(2.11)
x ′ − 1
log x ′ = ρ.
Quant à α ′ p, il est défini comme l’exposant α qui minimise la quantité l ′ (p α )−
ρα log p ; de façon plus précise, pour p impair on a
(2.12)
{
α
′
p = 1 si
α ′ p = α ≥ 2
si
p−1
≤ ρ < (p−1)2
log p log p
p α−2 (p−1) 2
≤ ρ < pα−1 (p−1) 2
,
log p log p
et pour p = 2, compte tenu de ce que l ′ (2) = 0, on a
(2.13)
{
α
′
2 = 1 si ρ < 2
log 2
α 2 ′ 2
= α ≥ 3 si α−2
≤ ρ < 2α−1 ·
log 2 log 2
Table des N ′ ρ
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