Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et S ...

Soit GL(n, Z) le groupe multiplicatif des matrices n×n inversibles à coefficients
entiers. Différents auteurs ont étudié la fonction γ(n) ordre maximal
d’un sous groupe d’ordre fini de GL(n, Z). En particulier dans [6], il est
démontré :
log p
γ(n) ≤ (e c + o(1)) n n!,
n → +∞,
où c = ∑ p
= 1.227 . . ., la sommation portant sur tous les nombres
(p−1) 2
premiers. On conjecture que la constante e c = 3.41 . . . peut être remplacée
par 2.
Nous définissons G(n) comme l’ordre maximal d’un sous groupe cyclique
d’ordre fini de GL(n, Z). On trouvera dans [9] quelques propriétés de G(n).
Soit S n le groupe des n! permutations de n lettres. Dans [8], E. Landau a
introduit la fonction g(n), ordre maximal d’un élément de S n , et prouvé que
(1.1) log g(n) ∼ √ n log n .
Il est facile de voir que S n se plonge naturellement dans GL(n, Z) et cela
entraîne :
(1.2) g(n) ≤ G(n).
La fonction de Landau g a fait l’objet de plusieurs articles, et on lira avec
intérêt l’exposé de synthèse [14]. On trouvera dans la thèse de H. Gerlach
[3] une généralisation des fonctions g et G.
Une fonction arithmétique f est dite additive si l’on a f(mn) = f(m) +
f(n) lorsque m et n sont premiers entre eux. Une telle fonction est donc
définie si l’on connait sa valeur sur les puissances de nombres premiers. On
définit la fonction additive l par l(p α ) = p α pour tout p premier et α ≥ 1.
Il est démontré dans [15], p.139 que
(1.3) g(n) = max
l(N)≤n N.
Erdős et Turán ont observé dans [2] qu’il existe un élément d’ordre K
dans S n si et seulement si l(K) ≤ n, et ont montré que le nombre W (n)
d’ordres distincts d’éléments de S n vérifiait
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