Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et S ...

(1.10) (log n) 1+o(1) ≤ G(n)/g(n) ≤ exp(O(log log n) 2 ).
(ii) Sous l’hypothèse de Riemann, on a, lorsque n → +∞ :
(1.11) G(n)/g(n) ≤ (log n) 3+o(1) .
Je conjecture que G(n)/g(n) = (log n) 1+o(1) . Cependant, la liste des points
(n, G(n)/g(n)) donnée en annexe, montre une assez grande dispersion.
La démonstration du théorème 2, exposée au paragraphe 6, repose de
façon essentielle sur l’estimation de la somme portant sur les nombres premiers
:
(1.12) U(x) = ∑ p≤x
p αp−1 ,
où α p est le plus grand entier tel que
(1.13) p αp ≤ p
p − 1 log p x
log x ,
et sur une somme voisine V (x) définie en (5.21). En effet, si N est un nombre
super l-champion, sa décomposition en facteurs premiers est connue (cf.
(2.6) ci dessous), et l’on a
l(N) − l ′ (N) = U(x)
pour une valeur de x adéquate.
Pour majorer U(x), on utilise le théorème des nombres premiers qui,
sous l’hypothèse de Riemann est beaucoup plus précis, et cela explique la
différence entre (1.10) et (1.11). L’étude des sommes U(x) et V (x) fera
l’objet du paragraphe 5.
Un autre outil important dans la preuve du théorème 2 est la proposition
3 qui fournit une formule des “accroissements finis” pour les fonctions log g
et log G, et montre que leur comportement local est assez régulier. Cette
proposition repose sur la “méthode des bénéfices”, qui a déjà été appliquée
avec succès dans [15], [11] et [12].
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