Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et S ...

En effet, il résulte de (1.4) que, pour tout n ≥ 0,
(2.3) l ′ (G(n)) ≤ n,
et que
A > G(n) =⇒ l ′ (A) > n ≥ l ′ (G(n)).
Cela prouve que G(n) est un l ′ -champion. Ensuite soit N un l ′ -champion ;
on a, toujours par (1.4),
A = G(l ′ (N)) ≥ N,
et, par (2.3), avec n = l ′ (N), on a l ′ (A) ≤ l ′ (N). Comme N est un l ′ -
champion, cela implique A ≤ N et A = N = G(l ′ (N)). Enfin, N = G(l ′ (N))
entraîne évidemment N ∈ G(N), ce qui complète la preuve de (2.2).
Si N possède k facteurs premiers, on a :
(N) 1/k = (p α 1
1 ...p α k
k )1/k ≤ pα 1
1 + p α 2
2 + ... + p α k
k
k
Il s’ensuit que
= l(N)
k ·
(2.4) l(N) ≥ k N 1/k
log N
log log N
et comme k ≤ (1 + o(1))
tN 1/t est décroissante pour t ≤ log N, on a lorsque N → +∞,
(cf. [4], chap. 18) et que la fonction t ↦→
(2.5) l(N) ≥
(log N)2+o(1)
log log N ·
Pour tout ρ > 0 réel fixé, on a donc l(N)−ρ log N → +∞, et cette fonction
admet un minimum qu’elle atteint en un (ou plusieurs) nombres N qui, par
(1.7), sont super l-champion. Comme la fonction N ↦→ l(N) − ρ log N est
additive, il est possible de déterminer ces nombres.
Supposons ρ ≥ 2 . Il existe un unique x ≥ 4 tel que ρ =
x . On
log 2 log x
définit alors
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