Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et S ...

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S ′′ 4 ≤ ≤ K−1 ∑ k=1 x ( x ) ( ) ( − 1 2k 10k 1 exp k k log x k log x k + 10 ) log x K−1 ∑ x log x (1 + o(1)) x − 1 k 2 2k · k=1 On définit K 1 = log x . On a : 4 log log x ∑ 1 ∑ k 2 x−1/2k ≤ x −1/2K 1 1/k 2 = O((log x) −2 ) 1≤k≤K 1 k≥1 et ∑ K 1
(i) et (ii) log g(n) g(n ′ ) = n − n′ 2 √ n/ log n log G(n) G(n ′ ) = n − n′ 2 √ n/ log n ( ( 1 + 1 + log log n + 1 2 log n log log n + 1 2 log n ( ) ) 2 log log n + O + O(1) log n ( ) ) 2 log log n + O + O(1). log n Démonstration. Nous allons prouver (ii) ; la preuve de (i) est similaire. On définit N ′ ρ comme le nombre super l ′ -champion précédant G(n), et l’on pose m = l ′ (N ′ ρ). On a donc (cf. remarque à la fin du paragraphe 2) : (6.2) N ′ ρ ≤ G(n) et (6.3) m ≤ n < m + P où P est le plus petit nombre premier ne divisant pas N ′ ρ. Posons x′ −1 log x ′ = ρ. On sait que P est le plus petit nombre premier supérieur à x ′ et, par le théorème des nombres premiers, P ∼ x ′ . De (6.3) on déduit (6.4) 0 ≤ n − m des paramètres de N ρ ′ (c’est-à-dire tel que N ρ ′ minimise l ′ (M) − ρ log M). Avec les notations de (2.10), on a par le lemme 2 : p − 1 ≤ l ′ (p α′ p ) ≤ p α ′ p ≤ x ′ et cela implique, avec (2.16) ∑ (p − 1) ≤ m = l ′ (N ρ) ′ ≤ ∑ (p − 1) + x ′ π(x ′ 2). p≤x ′ p≤x ′ Par (6.4) et (4.7), il s’ensuit que 33
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Page 3 and 4: log W (n) = √ 2π √ (√ ) n n
Page 5 and 6: (1.10) (log n) 1+o(1) ≤ G(n)/g(n)
Page 7 and 8: En effet, il résulte de (1.4) que,
Page 9 and 10: l ′ (N) = l ′ (N ′ ) ≥ 2l(N
Page 11 and 12: Si ρ /∈ E ′ , l ′ (N) − ρ
Page 13 and 14: et cela entraînerait (2.19) (α
Page 15 and 16: LEMME 5. Soit x ′ ≥ 200000, ρ
Page 17 and 18: n G(n) log G(n) √ n log n 1 2 ∞
Page 19 and 20: (4.7) x ′ 2 = √ ( x ′ /2 1
Page 21 and 22: (4.16) x ′ 2 > q 1 > q 2 > · ·
Page 23 and 24: ce qui donne, par (2.3), 0 ≤ n
Page 25 and 26: et cela prouve δ k (x) = x − 1 l
Page 27 and 28: (5.16) (x ′ k) k ≤ x ( ) 2 log
Page 29 and 30: (5.27) α ′ p = k ⇐⇒ x ′ k+
Page 31: On procède alors comme ci-dessus.
Page 35 and 36: Par (6.4) et (6.5), on a |m−n|
Page 37 and 38: G(n) g(n) = G(n) G(m ′ − U(x))
Page 39 and 40: Références [1] R.C. Baker and G.

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