Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et S ...

et cela prouve
δ k (x) = x − 1
log x xk−2 (x − 1) ≥ x − 1
log x = δ k(x ′ k) > 0 = δ k (1)
(5.7) 1 < x ′ k ≤ x.
De plus, on a, par (5.3) et (5.7)
x ′ k
γ k (x ′ k) = δ k (x ′ k)
x ′ k − 1 = x − 1
log x
x ′ k
x ′ k − 1 ≥
et cela prouve (5.4). Pour 2 ≤ k ≤ (log x)/ log log x, on a
γ k (4) ≤ 4 k log 4 log x
≤ exp(
log log x ) ≤
pour x assez grand, et cela prouve, avec (5.4)
x
log x = γ k(x k ) ,
x
log x = γ k(x k )
(5.8) 4 ≤ x k ≤ x ′ k.
Pour minorer x k , on itère la formule déduite de (5.2) :
(5.9) x k k ≥ x
log x log x k.
En partant de (5.8), on obtient successivement, pour x assez grand :
soit :
x k k ≥
x
log x log 4 ≥ √ x
(5.10) x k ≥ (x) 1/2k ,
soit
x k k ≥
x log x
log x 2k
= x 2k
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