Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et S ...

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(6.10) m − n = O( √ n log n) et m + V (x ′ ) − n = O( √ n log n). La proposition 3 et (6.9) donnent alors log G(n) g(n) ( ( )) n − m ≤ 2 √ log log n 1 1 + n / log n 2 log n + O log n + m + V ( ( )) (x′ ) − n 2 √ log log n 1 1 + n / log n 2 log n + O + O(1). log n Par (6.10), les deux premiers termes de reste se fondent dans le troisième, et l’on obtient (6.11) log G(n) ( g(n) ≤ V (x ′ ) 2 √ 1 + n / log n ) log log n + O(1). 2 log n En estimant x ′ par (6.5) et V (x ′ ) par le lemme 10 (iii) et (iv), on obtient la majoration dans (1.10) et (1.11). La minoration s’obtient de façon très symétrique. Partant de n assez grand, on définit N ρ ′ comme le nombre super l-champion précédant g(n). On pose m ′ x = l(N ρ ′). On définit x ≥ 4 par = log x ρ′ et P ′ est le plus petit nombre premier ne divisant pas N ρ ′. La similitude des fonctions l et l ′ fait que les relations (6.2), (6.3), (6.4), (6.5), (6.6) et (6.7) sont encore vérifiées, en remplaçant m par m ′ , P par P ′ , x ′ par x et ρ par ρ ′ . En particulier, on a (6.12) x ∼ √ n log n. Évaluons maintenant l ′ (N ρ ′). Par (2.6), on obtient : l ′ (N ρ ′) = l(N ρ ′) − ∑ p≤x p αp−1 = m ′ − U(x) où U(x) est défini en (5.20) et donc, par (1.4), Il vient ensuite G(m ′ − U(x)) ≥ N ρ ′. 36
G(n) g(n) = G(n) G(m ′ − U(x)) G(m ′ − U(x)) g(m ′ ) N ρ ′ g(n) ≥ En appliquant la proposition 3 on obtient (6.13) log G(n) g(n) ≥ U(x) 2 √ n / log n ( 1 + G(n) g(m ′ ) G(m ′ − U(x)) g(n) . ) log log n + O(1) 2 log n qui, à l’aide de (6.12) et de l’estimation de U(x) par le lemme 10 (ii) donne la minoration dans (1.10). 37
Page 1 and 2: Comparaison des ordres maximaux dan
Page 3 and 4: log W (n) = √ 2π √ (√ ) n n
Page 5 and 6: (1.10) (log n) 1+o(1) ≤ G(n)/g(n)
Page 7 and 8: En effet, il résulte de (1.4) que,
Page 9 and 10: l ′ (N) = l ′ (N ′ ) ≥ 2l(N
Page 11 and 12: Si ρ /∈ E ′ , l ′ (N) − ρ
Page 13 and 14: et cela entraînerait (2.19) (α
Page 15 and 16: LEMME 5. Soit x ′ ≥ 200000, ρ
Page 17 and 18: n G(n) log G(n) √ n log n 1 2 ∞
Page 19 and 20: (4.7) x ′ 2 = √ ( x ′ /2 1
Page 21 and 22: (4.16) x ′ 2 > q 1 > q 2 > · ·
Page 23 and 24: ce qui donne, par (2.3), 0 ≤ n
Page 25 and 26: et cela prouve δ k (x) = x − 1 l
Page 27 and 28: (5.16) (x ′ k) k ≤ x ( ) 2 log
Page 29 and 30: (5.27) α ′ p = k ⇐⇒ x ′ k+
Page 31 and 32: On procède alors comme ci-dessus.
Page 33 and 34: (i) et (ii) log g(n) g(n ′ ) = n
Page 35: Par (6.4) et (6.5), on a |m−n|
Page 39 and 40: Références [1] R.C. Baker and G.

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