Comparaison des ordres maximaux dans les groupes GL(n,Z) et S ...

(5.16) (x ′ k) k ≤ x ( ) 2 log x
log x ′
log x log x − 3
k.
En itérant (5.16) à partir de (5.15), il vient :
(5.17) (x ′ k) k ≤ x ( ) 2 log x 1
log x log x − 3 k log(2x) ≤ x 10
(1 +
k log x )
pour x assez grand. Il s’ensuit que :
(5.18) x ′ k ≤
( x
) ( 1/k
1 + 10 ) ( x
) ( )
1/k 10
≤ exp .
k log x k log x
Les formules (5.8), (5.12) et (5.17) prouvent (5.5), tandis que (5.8), (5.13)
et (5.18) prouvent (5.6). La même méthode fournit, pour k fixé, le développement
pour x k ou x ′ k :
(5.19)
( x (
k )1/k 1 − log k
k log x − log k
2k 2 (log x) (k log k + 2k − log k) + O( 1
)
2 (log x) ) .
3
LEMME 10. Soit x un nombre réel ≥ 2. On pose
(5.20) U(x) = ∑ p≤x
p αp−1
(5.21) V (x) = ∑ p≤x
p α′ p−1
où α p et α ′ p sont les plus grands entiers vérifiant :
(5.22) p αp ≤ p
p − 1 log p x
log x
et
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