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X, lorsque T est accomplie selon une technique τ , est nommé alors le topos de X dans la tâche
T.
« L’une des difficultés didactiques les plus ordinaires et les plus pressantes pour un
professeur est celle qu’il rencontre pour donner une place aux élèves, c’est à dire pour
créer, à leur intention, et à propos de chacun des thèmes étudiés, un topos approprié, qui
donne à l’élève le sentiment d’avoir un vrai rôle à jouer ». (Chevallard 1998)
En mathématiques, la transition Secondaire/Supérieur et particulièrement ES/CPS1 6 , est
caractérisée, entre autres choses, par des bouleversements dans l’organisation générale du
couple (cours/exercices) et dans les rapports entre « théorie » et « pratique ». Ceci entraîne
naturellement des changements au niveau des exigences de travail des étudiants et des
modifications dans les topos respectifs des enseignants et enseignés.
Dans l’enseignement secondaire, le cours est (de façon générale) dépouillé de toute
problématisation théorique, les concepts et théorèmes sont présentés sous l’angle de la
fonctionnalité et sont illustrées par de nombreuses applications. Les élèves, dont le travail est
essentiellement axé sur la résolution d’exercices guidés et relativement stéréotypés, se
soucient peu des démonstrations données dans le cours, car les techniques et démarches mises
en jeu dans un grand nombre de ces démonstrations s’écartent de ce dont ils auront besoin
dans les exercices et problèmes. En classe terminale 7 particulièrement, il n’est pas rare de
trouver des enseignants qui préfèrent remplacer des démonstrations de théorèmes par un
travail sur les exercices qu’ils trouvent mieux à même de contribuer à préparer les élèves à
l’examen de Baccalauréat. Le travail des démonstrations, qui donne l’occasion d’accéder à un
certain niveau théorique et de formalisation mathématique, se trouve ainsi marginalisé par
l’institution du Secondaire et reste, généralement, confiné dans le topos des enseignants.
En revanche, dans les classes préparatoires scientifiques, il est bien connu que l’étude du
cours joue un rôle central dans le travail personnel des étudiants et qu’il devient indissociable
de l’étude des exercices et problèmes. Ceci provient, d’une part des opportunités que donne
le cours pour étudier les techniques de raisonnement et les démarches mises en jeu dans les
démonstrations, d’autre part du fait que les techniques que requiert la résolution des exercices
et problèmes donnés aux étudiants dans les séances de travaux dirigés (TD), ou dans les
devoirs et examens, ressemblent, dans une certaine mesure, à celles utilisées dans les
démonstrations du cours. Pour cette raison, les enseignants laissent souvent à la charge de
leurs étudiants les démonstrations de certaines propriétés et théorèmes du cours, et dans les
fiches de TD, on donne souvent des exercices qui proposent de démontrer des corollaires aux
théorèmes du cours ou des extensions théoriques de parties étudiées dans le cours.
6 Enseignement Secondaire/Première année MP des Classes Préparatoires Scientifiques.
7 Nous désignons par classe terminale, la dernière classe de lycée, désignée encore par classe de quatrième année
de l’enseignement secondaire.
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