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œuvre plusieurs quantificateurs dans un même énoncé et des difficultés d’articulation entre
logique et mathématiques. Pour surmonter ces difficultés, Durand-Guerrier et Arsac
conjecturent qu’il est impératif de mettre sur pied un enseignement plus systématique des
règles de raisonnement prenant en compte « de manière explicite l’articulation entre les
aspects syntaxique et sémantique qui est au cœur de l’activité mathématique dés lors que l’on
se propose de tirer parti des avantages du formalisme liés à ses propriétés opératoires,
l’aspect syntaxique, sans renoncer pour autant aux intérêts d’un contrôle par la signification,
l’aspect sémantique » (Durand-Guerrier, Arsac, 2003, p. 334).
Les travaux de recherche que nous venons de citer montrent que le langage mathématique
formel (y compris le langage de la logique) est loin de pouvoir fonctionner de façon naturelle
et spontanée chez les étudiants entrant à l’université. Les effets négatifs induits par les
difficultés de son usage sur l’activité mathématique des étudiants sont incontestables dans de
nombreux pays. Mais la question des stratégies à développer pour remédier à cet état de fait,
celle de l’importance qu’il faut accorder à ce langage et à son fonctionnement au niveau de
l’enseignement, restent toujours largement ouvertes.
II. 3. Secondaire/Supérieur, discontinuité des organisations praxéologiques
Se situant dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique, Bosch et al. (2004)
étudient les difficultés qui surgissent lors de la transition entre l’enseignement secondaire et
l’université en Espagne. Pour ces chercheurs, ces difficultés s’expliquent, entre autres choses,
par des contradictions, des discontinuités et des changements brusques dans les contrats
didactiques institutionnels qui régissent les organisations mathématiques et didactiques des
deux institutions. Ils les décrivent de la façon suivante :
1. Dans le Secondaire
Dans l’enseignement secondaire (S), les organisations mathématiques (OM) enseignées
sont généralement ponctuelles, rigides et peu coordonnées entre elles, ce qui rend difficile, et
même empêche, la construction d’organisations mathématiques locales (OML) relativement
complètes. L’activité mathématique dans (S) se trouve en conséquence centrée sur le bloc
pratico-technique [ T / τ]
. Le bloc technologico-théorique [ θ / Θ]
, quant à lui, a peu
d’incidence sur le travail effectivement effectué par les élèves.
Pour justifier leur point de vue, les auteurs postulent l’existence d’indices caractéristiques
du degré de complétude d’une OML, dont le manquement met en évidence certains aspects de
rigidité des OMP et leur limite à s’articuler et à s’intégrer dans des OML relativement
complètes. Nous résumons ces indicateurs dans les points suivants :
i 1 ) Intégration des types de tâches composant l’OML, soit par un discours technologique, soit
par développement successifs des techniques associées.
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