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the notion of proof, i.e. the real meaning of the theorem [or question]. The statement of a
theorem [or question] as a symbol may evoke the proof deduction as a process that may
contain sequential procedures and require the synthesis of distinct cognitive units 9 or the
general notion of the theorem or question as an object like a manipulable entity to be used as
inputs to other theorems re questions. (Chin & Tall, 2002, p. 2)
Le jeu qu’entraine cette théorisation entre le symbole et la dialectique processus/objet pose
le problème de la flexibilité dans l’usage du symbolisme mathématique. Pour expliquer ce
phénomène et les possibilités d’acquisition de moyens de pensée efficaces, Barnard et Tall
(1997), introduisent la notion d’unité cognitive :
« A cognitive unit consists of a cognitive item that can be held in the focus of attention of
an individual at one time, together with other ideas that can be immediately linked to it. »
(Barnard & Tall, 1997, p. 2)
« The identification of schema and concept works only when the individual can
comprehend the whole schema as a single cognitive unit. » (ibid. p. 9)
Il s’agit d’une construction proche de la structure de schéma de Dubinsky. Néanmoins, les
auteurs ici distinguent deux types de structures : une structure dont les composants sont
encore diffus et les liens internes sont faibles, ce qui ne permet pas un usage flexible et
efficace du schéma, et une deuxième structure compacte, dont les items sont bien compressés
et fortement liés. Celle-ci correspond à la notion d’unité cognitive.
Barnard et Tall postulent que la construction d’une pensée mathématique flexible et
opératoire dépend de deux facteurs essentiels et complémentaires : la faculté de pouvoir
compresser l’information dans des unités cognitives et la faculté d’établir des connexions
dans et entre les unités cognitives :
« […] two complementary factors are important in building a powerful thinking structure :
1) The ability to compress information to fit into cognitive units.
2) The ability to make connections within and between cognitive units so that other relevant
information can be pulled in and out of the focus of attention at will.
[…] An individual with compressed cognitive structures and relevant internal links will be
able to make relationships between them far more efficiently than one who has a more diffuse
cognitive structure. »(ibid. p. 16)
Suite à des expérimentations menées avec des étudiants de première année universitaire,
les auteurs concluent que cette capacité de manipuler de manière flexible les théorèmes
9 “A cognitive unit consists of a cognitive item that can be held in the focus of attention of an individual at one
time, together with other ideas that can be immediately linked to it.” (Barnard & Tall, 1997, p. 2)
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