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to the vector space schema […] by defining addition and scalar multiplication of these
functionals. This can be done very naturally, interpreting the functions as processes and using
“ point-wise operation”. In this way, the set of linear functionals becomes a vector space,
called the algebraic dual. Now comes a major interiorization. What we have been describing
is an action applied to a vector space E that constructs its algebraic dual E*. When this has
been interiorized, one has constructed the beginning of duality theory. One can reverse the
process to look for a “pre-dual”, that is, given a vector space F, can one find a vector space
E whose algebraic dual is F ? […]. Or one can perform the process twice. When two
instantiations are coordinated, one obtains the bidual E**. » (ibid., p. 108-109)
Cette analyse montre l’importance de l’opération d’encapsulation dans la formation des
schémas. Dans ses recherches sur les fonctions, Dubinsky montre que les sujets appliquent et
généralisent sans difficultés majeures les processus liés à l’objet « fonction », mais c’est le
mécanisme d’encapsulation, permettant la transformation des processus en objets, qui
présente selon lui le plus de difficulté chez les étudiants sur le plan cognitif.
Une théorisation proche de celle de Dubinsky a été développée par Tall. Elle s’en est
progressivement distinguée et est aujourd’hui présentée par ce dernier dans une construction
distinguant trois mondes mathématiques :
I. 2. 2. Les trois mondes mathématiques de Tall
Pour expliquer le développement cognitif permettant le passage d’une pensée
mathématique élémentaire (EMT) à une pensée mathématique avancée (AMT), Tall (2002, p.
5) postule l’existence de trois mondes des mathématiques :
• The Embodied world of perception and action, including reflection on perception and
action, which develops into a more sophisticated Platonic framework.
• The Proceptual world of symbols, such as those in arithmetic, algebra and calculus that
act as both processes to do (e.g. 4+3 as a process of addition) and concepts to think above
(e.g. 4+3 as the concept of sum) […]
• The Formal world of definitions and proof leading to the construction of axiomatic
theories.
Bien que Tall estime que chacun de ces mondes est caractérisé par un mode opératoire
spécifique, des règles de validité et des formes de vérité qui lui sont propres, il reconnaît
toutefois une certaine similarité dans la façon dont se forment les concepts mathématiques
dans chacun de ces mondes. Ainsi, dans le premier monde (embodied world), les objets
mathématiques, préalablement distingués par leurs caractéristiques physiques (un cercle est
rond, un carré a des côtés égaux et des angles droits), ou reconnus comme résultat d’une
action ( j’ai 1, 2, 3, 4 jouets dans mon sac : 4 est donc le résultat d’une action de
dénombrement ), se voient attribuer, sous l’effet d’actions réfléchies (procédures)
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