Systèmes Dynamiques Notes du cours de M2

2.2. IRRÉDUCTIBILITÉ 11
Définition 2.2.1 On dit que f est minimale sur X ou que X est minimale
pour f si X est f-minimal.
Remarque : Si f est minimale et si X est infini alors f n’admet pas d’orbite
périodique.
Exemples : a) Soit X = R/Z le tore et f(x) = x + α. Montrons que
f est minimale si et seulement si α /∈ Q/Z. Si α = p/q il est clair que
tout point est périodique (f q (x) = x mod 1). Réciproquement supposons α
irrationnel : alors la suite nα est dense sur T. En effet, la suite nα prend une
infinité de valeurs sur le compact X et admet donc un point d’accumulation,
disons x 0 , c’est-à-dire qu’il existe une suite n k strictement croissante telle
que n k α converge vers x 0 . Ainsi, pour tout ɛ > 0, il existe N tel que, dès que
n k > n l ≥ N, on a d(n k α, n l α) < ɛ soit : d(mα, 0) < ɛ où m = n k − n l . Il est
facile de voir que si z ∈ T vérifie d(z, 0) < ɛ alors pour tout x ∈ T il existe
r ∈ N tel que d(x, rz) < ɛ. Si on pose z = mα, on a ainsi d(x, (rm)α) < ɛ.
Terminons la preuve de la minimalité : si x et y sont deux points il existe
r ′ ∈ N tel que d(y − x, r ′ α) < ɛ et donc d(y, x + r ′ α) < ɛ.
b) Sur X = R/Z, f(x) = 2x n’est pas minimale car elle admet des points
périodiques (les k/2 n ).
c) Un homéomorphisme de R n’est jamais minimal
d) Un homéomorphisme de R 2 n’est jamais minimal (c’est une conséquence
du théorème de translation de Brouwer : si un homéomorphisme de R 2 est
sans point fixe alors tout point est errant).
2.2.2 Transitivité
Définition 2.2.2 On dit que f est transitive sur X si et seulement s’il existe
un point x ∈ X tel que l’ensemble des points d’accumulation de l’orbite positive
de x soit dense dans X. (Si f est inversible il est équivalent de dire que
l’orbite de x est dense dans X).
Voici une proposition qui justifie la terminologie :
Proposition 2.2.2 f est transitive sur X si et seulement si pour tous ouverts
U et V de X il existe n tel que f −n (U) ∩ V ≠ ∅ (c’est-à-dire il existe
un point de U qui visite un point de V ).
Démonstration.— Supposons donc qu’il existe un point z ∈ X tel que l’ensemble
des points d’accumulation de l’orbite positive de z soit dense et soient
U, V deux ouverts de X. Il existe donc n > m entiers positifs tels f m (z) ∈ U
et f n−m (f m (z)) = f n (z) ∈ V . On a donc f m (z) ∈ U ∩ f −(n−m) (V ).