Systèmes Dynamiques Notes du cours de M2

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48CHAPITRE 4. HOMÉOMORPHISMES ET DIFFÉOMORPHISMES DU CERCLE ✷ Exercice Démontrer qu’en général le nombre de rotation de la composition de deux homéomorphismes du cercle préservant l’orientation n’est pas égal à la somme de leurs nombres de rotation. (Considérer une perturbation d’un difféomorphisme du cercle admettant un point fixe hyperbolique). 4.1.3 Le théorème de Poincaré Une question centrale en systèmes dynamiques est de savoir si une dynamique donnée peut être conjuguée à une dynamique modèle plus simple. Dans le cas qui nous intéresse il s’agit de savoir si un homéomorphisme du cercle peut être conjugué à une rotation par un homéomorphisme. Comme nous allons le voir, ce n’est en général pas le cas mais on a le résultat important suivant dû à Poincaré. En fait, si ρ(f) /∈ Q on peut toujours semi-conjuguer f à une rotation. Théorème 4.1.2 Soit f ∈ Homeo + (T) tel que ρ(f) /∈ Q. Alors, il existe h : T → T continue surjective telle que f ◦ h = R ρ(f) ◦ h et h admet un relèvement de la forme H(x) = x + θ(x) croissant au sens large sur R avec θ ∈ C 0 (R/Z). En outre, si µ est une mesure de probabilité f-invariante et ˜µ est un relèvement de µ à R (π ∗˜µ = µ) on peut choisir H(x) = ∫ x d˜µ(t). 0 L’application h appartient à Homeo + (T) si et seulement si supp(µ) = T. Démonstration.— Soit µ une mesure de probabilité sur T invariante par f. Remarquons déjà que µ est sans atome car si ce n’était pas le cas l’orbite d’un atome serait nécessairement finie et donc f admettrait un point périodique ; or, cela est impossible car ρ(f) /∈ Q. On peut relever µ à R en posant pour tout borélien A de R ˜µ(A) = ∑ k∈Z µ(A ∩ [k, k + 1)). On a ˜µ(A + k) = ˜µ(A) pour tout borélien A de R et tout entier k. La mesure ˜µ ainsi obtenue est également F invariante si F est un relèvement de f. Posons H(x) = ∫ x d˜µ(t). 0 Cette application est croissante au sens large puisque ˜µ est positive, elle est continue car ˜µ est sans atome et elle vérifie H(x + 1) = H(x) + 1 ; détaillons ce dernier point : ˜µ([0, x + 1]) = ˜µ([0, x]) + ˜µ([x, x + 1]) ; mais si k est l’entier pour lequel x ≤ k < x + 1 on a ˜µ([x, x + 1]) = ˜µ([x, k]) + ˜µ([k, x + 1]) = ˜µ([x, k])+˜µ([k−1, x]) = ˜µ([k−1, k]) = 1. Démontrons que H vérifie la relation de semi-conjugaison. On a H(F (x)) = ˜µ([0, F (x)]) = ˜µ([0, x]) + ˜µ([x, F (x)]). Comme ˜µ([x, F (x)]) = −˜µ([0, x]) + ˜µ([0, F (0)]) + ˜µ([F (0), F (x)])
4.1. HOMÉOMORPHISMES DU CERCLE 49 et comme ˜µ est F -invariante et que F est un homéomorphisme (monotone) on a ˜µ([F (0), F (x)]) = ˜µ([0, x]) si bien que H(F (x)) = F (x) + λ où λ = ˜µ([0, F (0)]). Mais comme le nombre de rotation est invariant par semi-conjugaison on déduit de cela que λ = ρ(F ). L’application H est surjective puisque H(k) = k pour tout entier k et elle est strictement croissante si µ charge tout ouvert. ✷ Remarques 1) On dit que (T, R ρ(f) ) est un facteur de (T, f). 2) Il est commode de considérer que T = [0, 1]/ ∼ où ∼ est l’identification de 0 et de 1 et de voir h comme une application continue croissante au sens large de [0, 1] dans lui même et telle que h(0) = 0, h(1) = 1. 3) Supposons que le support de µ ne soit pas égal à T. Son complémentaire est un ouvert qui possède ainsi un nombre dénombrable de composantes connexes. Si I est l’une d’entre elles h est constante sur I. Réciproquement, si I est un intervalle sur lequel h est constante alors I est inclus dans le support de µ 4) Si I = (a, b), J = (c, d) sont deux composantes connexes distinctes et si on suppose par exemple (a, b, c, d) bien ordonné on a b < c car sinon {b} serait un point isolé dans le support de µ et serait un atome. On a µ([b, c]) > 0 car sinon (a, d) serait inclus dans le support de µ et I ne serait pas une composante connexe du complémentaire de suppµ. On a donc h(c) = h(b) + µ([b, c]) > h(b). On voit donc que les composantes connexes de O µ sont indexées par leurs h-hauteur. 5) Notons O µ le complémentaire de suppµ. C’est un ouvert qui est invariant par f (puisque le support de µ est f-invariant). Si I est une composante connexe de O µ alors pour tout k ∈ Z, f k (I) est une composante connexe de I qui est toujours disjointe de I car h|f k (I) = h|I + kρ(f) mod 1 et ρ(f) /∈ Q. Par conséquent, toute composante connexe de O µ est un ensemble errant. 6) Notons I µ l’ensemble dénombrable des composantes connexes de O µ et D µ l’union des ∂I, pour I variant dans I µ . Alors, D µ est un ensemble dénombrable et il est invariant par f puisque si x ∈ ∂I, I ∈ I µ on a f(I) ∈ I µ et x ∈ ∂(f(I)). Lemme 4.1.3 Soit h : [0, 1] → [0, 1], h(0) = 0, h(1) = 1 une application continue croissante. Notons O l’ouvert sur lequel h est localement constante,
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