Systèmes Dynamiques Notes du cours de M2

2.3. DÉCALAGES (OU SHIFTS) 13
2.2.3 Mélange topologique
Définition 2.2.3 On dit que f est topologiquement mélangeante si pour tous
ouverts U, V de X il existe N tel que pour tout n ≥ N f −N (U) ∩ V ≠ ∅.
Remarque : Le mélange topologique, tout comme la minimalité entraîne la
transitivité l’inverse étant faux.
Exemples a) Sur X = R/Z, f(x) = 2x est topologiquement mélangeante
(et donc transitive). En effet, il suffit de démontrer que pour tous intervalles
dyadiques I et J, il existe N tel que pour tout n ≥ N f −n (I)∩J est non vide.
Or dès que n ≥ N, f −n (I) a une intersection non vide avec tout intervalle
dyadique de longueur 2 −N .
b) Une translation T α sur R/Z n’est jamais faiblement mélangeante : si α est
rationnel c’est clair car T α n’est pas transitive ; si α est irrationnel soient I
et J deux intervalles de longueur 1/4 par exemple et notons I 0 un intervalle
de longueur 1/4 disjoint de J. Comme T α est minimale, on sait que Tα
−n (I)
sera pour une infinité de valeurs de n proche de I 0 et sera donc disjoint de J.
c) L’application du tore R 2 /Z 2 définie par A(x, y) = (2x + y, x + y) est
topologiquement mélangeante (mais pas minimale : elle admet une infinité
de points périodiques).
2.3 Décalages (ou shifts)
2.3.1 Shift de Bernoulli
Notons Σ = {0, 1} N , l’ensemble des suites (x i ) i∈N , x i ∈ {0, 1}. On munit
Σ de la distance ultra-métrique
d(x, y) = 2 −m(x,y) , m(x, y) = inf{j : x j ≠ y j }.
Les cylindres C(m; a 0 , . . . , a m ) = {(x j ) j∈N : x 0 = a 0 , . . . , x m = a m } est une
base d’ouverts de la topologie définie par d. Le théorème de Tykhonov (ou
encore un argument diagonal) montre que (Σ, d) est compact. On définit alors
l’application de décalage ou shift σ par
(σ(x)) i = x i+1 .
Il est facile de voir que σ est continue sur (Σ, d).
Proposition 2.3.1 L’application σ est faiblement mélangeante.