Systèmes Dynamiques Notes du cours de M2

3.4. MÉLANGE 41
Théorème 3.4.3 Si P est une matrice stochastique et A la matrice de transition
associée à P (A i,j = 1 ssi P ij > 0) notons p l’unique mesure stationnaire
telle que pP = p et m la mesure correspondante sur (Σ A , Bor). Le
système dynamique (Σ A , Bor, σ, m) est mélangeant.
Démonstration.— Il suffit de démontrer que pour tous cylindres C =
C(ɛ 0 , . . . , ɛ n ), C ′ = C(ɛ ′ 0, . . . , ɛ ′ n ′) on a
lim m(C ∩
k→∞ σ−k C ′ ) = 0.
Si k est assez grand (k ≥ n), C∩σ −k C ′ est le cylindre C ′′ = C(ɛ 0 , . . . , ɛ n , ∗, ɛ k , . . . , ɛ k+n ′)
dont la m mesure vaut
m(C ′′ ) = p ɛ0 P ɛ0 ɛ 1
· · · P ɛn−1 ɛ n
(P k−n ) ɛnɛ k
P ɛk ɛ k+1 · · · P ɛk+n ′ −1 ɛ k+n ′
= p ɛ0 P ɛ0 ɛ 1
· · · P ɛn−1 ɛ n
(P k−n ) ɛnɛ ′ 0 P ɛ ′ 0 ɛ′ 1 · · · P ɛ ′ n ′ −1 ɛ′ n ′
Mais q j (P k−n ) ji converge vers p i quand k tend vers l’infini ; ainsi, quand k
tend vers l’infini m(C ′′ ) tend vers
p ɛ0 P ɛ0 ɛ 1
· · · P ɛn−1 ɛ n
p ɛ ′
0
P ɛ ′
0 ɛ ′ 1 · · · P ɛ ′ n ′ −1 ɛ′ n ′
qui vaut m(C)m(C ′ ).
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