Systèmes Dynamiques Notes du cours de M2

3.1. ERGODICITÉ 25
Automorphismes des tores Si A ∈ SL(n, Z), l’application Ā de Rn /Z n dans
lui même définie par Ā(x + Zn ) = Ax + Z n est inversible et s’appelle un
automorphisme du tore T n . Puisque det(A) = 1 on voit que la mesure de
Haar est invariante par Ā. Bien évidemment ce n’est pas la seule puisque A
admet une infinité de points périodiques.
3.1 Ergodicité
Définition 3.1.1 Un système dynamique (X, B, µ, T ) est dit ergodique ssi
tout ensemble A ∈ B tel que µ(A∆T −1 (A)) = 0 est de µ mesure 0 ou 1.
En d’autres termes, d’un point de vue mesurable, les seuls ensembles invariants
sont ∅ ou X. On peut reformuler la définition précédente :
Proposition 3.1.1 Le système dynamique (X, B, µ, T ) est ergodique si et
seulement si les seules fonctions φ ∈ L ∞ (X, µ) vérifiant φ ◦ T = φ sont les
fonctions constantes
Démonstration.— Prouvons que si T est ergodique les seules fonctions
invariantes par T sont les constantes : introduisons E λ = {x ∈ X : φ(x) ≤ λ}.
Comme φ ◦ T = φ on a φ 1 (E λ ) = E λ (µ p.p) et d’après l’ergodicité F φ (λ) :=
µ(φ ≤ λ) ∈ {0, 1}. Comme la fonction de répartition F φ est croissante et
continue à droite il existe λ 0 tel que pour tout λ ≥ λ 0 , µ(φ ≤ λ) = µ(φ =
λ 0 ) = 1. Ainsi, φ est µ-p.p constante (égale à λ 0 ).
La réciproque est claire (observer que φ = 1 A est T -invariante ssi A est
un ensemble T -invariant).
3.1.1 Premiers exemples
Translation sur des tores
Si X = T et µ est la mesure de Haar, la transformation T : x ↦→ x + α
est µ-ergodique si et seulement si α est irrationnel. En effet, soit φ est une
fonction L ∞ telle que φ ◦ T = φ. Puisque φ est L 2 , on a l’identité dans L 2
✷
φ(x) = ∑ k∈Z
ˆφ(k)e 2πikx
où les ˆφ(k) sont les coefficients de Fourier de φ. De l’unicité de la décomposition
de Fourier et de l’identité dans L 2 , φ ◦ T = φ on tire
ˆφ(k)e 2πikα = ˆφ(k).