Systèmes Dynamiques Notes du cours de M2

4.1. HOMÉOMORPHISMES DU CERCLE 47
Mais H(G n (x)) = G n (x) + θ(G n (x)), si bien que
F n (H(x)) − H(x)
n
= Gn (x) − G(x) + (θ(G n (x)) − θ(x))
.
n
Mais θ est bornée sur R et en faisant tendre n vers l’infini on obtient le
résultat.
2) On a vu que (F n − id)/n convergeait uniformément vers ρ(F ). Mais F ↦→
(F n − id)/n est continue. Par conséquent (une limite uniforme de fonctions
continues est continue) F ↦→ ρ(F ) est continue.
3) On peut trouver des relèvements tels que F ◦ G = G ◦ F . On a donc
(F ◦ G) n = F n ◦ G n et
(F ◦ G) n (x) − x
n
et donc
‖ (F ◦ G)n − id
n
−(ρ(F )+ρ(G)) = ( F n (G n (x)) − G n (x)
n
−(ρ(F )+ρ(G))‖ 0 ≤ ‖ F n − id
n
−ρ(F ))+( Gn (x) − x
−ρ(G))
n
−ρ(F ))|‖ 0 +‖ Gn − id
−ρ(G))‖ 0 .
n
4) Si pour tout x F (x) ≤ G(x) alors comme F et G sont croissantes F (F (x)) ≤
F (G(x)) ≤ G(G(x)) et plus généralement F n (x) ≤ G n (x).
5) Si f admet un point périodique x de période q, il existe un relèvement F
et un entier p tel que F q (˜x) = ˜x + p (˜x est un relèvement de x). On a donc
F nq (x) − x = np et donc ρ(F ) = p/q. Réciproquement si ρ(f) = p/q alors il
existe un relèvement F tel que ρ(F ) = p/q. On a vu (cf. la Remarque dans
la preuve de l’existence du nombre de rotation) qu’il existait x ∈ R tel que
F q (x) = x+q(p/q) = x+p. Par conséquent f q (x) = x. Démontrons que q est
la plus petite période. Notons l cette plus petite période : il existe un entier m
tels que F l (x) = x+m ; la division euclidienne de q par l, q = al+r, 0 ≤ r < l
donne le résultat suivant ; x + p = F q (x) = F q−al (F al (x)) = F q−al (x + am) =
F r (x) + am. Par conséquent F r (x) = x + p − am où 0 ≤ r < l ce qui
contredit la minimalité de l si r est non nul. On a donc r = 0 c’est-à-dire
q = al et p = am ; mais alors p et q ne sont pas premiers entre eux d’où une
contradiction.
6) Notons F λ = R λ ◦ F . La croissance résulte du point 4). Si ρ(F ) /∈ Q et
λ > 0 alors il existe un rationnel p/q tel que (p/q) − (λ/2q) < ρ(F ) < p/q.
En outre, on sait qu’il existe un x ∈ R pour lequel F q (x) = x + qρ(F ) et
donc x + p − (λ/2) < F q (x) < x + p. Par conséquent, comme F, F λ sont
croissantes et λ > 0, F q λ (x) = F λ(F q−1
λ
(x)) ≥ F λ (F q−1 (x)) = λ + F q (x),
si bien que F q λ (x) ≥ x + p + (λ/2) et donc ρ(F q λ
) ≥ p + (λ/2). On a donc
ρ(F λ ) > p/q > ρ(F ).