Systèmes Dynamiques Notes du cours de M2

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4 TABLE DES MATIÈRES 4.2 Difféomorphismes du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2.1 Rappels sur les fractions continues . . . . . . . . . . . 51 4.2.2 Théorème de Denjoy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.3 Contre-exemples de Denjoy . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.4 Le Théorème d’Herman-Yoccoz . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.5 Théorème d’Arnold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5 Hyperbolicité 59 5.1 Point fixe hyperbolique d’un difféomorphisme . . . . . . . . . 59 5.2 Stabilité structurelle des automorphismes du tore . . . . . . . 63 5.2.1 Forme des homéomorphismes du tore . . . . . . . . . . 63 5.2.2 Conjugaison topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3 Variétés stables et instables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6 Théorie spectrale 69 6.1 Le théorème spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.2 Transformations à spectre discret . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.3 Mélange faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.4 Facteur de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.5 Couplages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.6 Mélange faible d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.7 Argument de Hopf et Théorie spectrale . . . . . . . . . . . . . 80 7 Entropie 83 7.1 Entropie métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7.1.1 Entropie d’une partition finie . . . . . . . . . . . . . . 83 7.1.2 Entropie d’une transformation . . . . . . . . . . . . . . 86 7.1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.1.4 Théorème de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.1.5 Entropie d’un facteur, d’un produit et d’une puissance 94 A Calcul différentiel 97 A.1 Théorèmes du Point Fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 A.1.1 Théorème du Point Fixe pour les applications contractantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 A.2 Le théorème d’Inversion Locale et ses conséquences . . . . . . 100 A.2.1 Difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 A.2.2 Inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 A.2.3 Fonctions Implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 A.2.4 Théorème du rang constant . . . . . . . . . . . . . . . 104 A.3 Sous-variétés de R m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
TABLE DES MATIÈRES 5 A.3.1 Définition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 A.3.2 Espace tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 A.3.3 Groupes et algèbres de Lie linéaires . . . . . . . . . . . 107 A.3.4 Variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
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