Systèmes Dynamiques Notes du cours de M2

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32 CHAPITRE 3. MESURES INVARIANTES c’est-à-dire ∫ ∫ φfdµ = φ ◦ T · fdµ et comme µ est T -invariante ∫ ∫ φ ◦ T · f ◦ T dµ = φ ◦ T · fdµ. Posons à présent φ = 1 f>λ . On a ∫ ∫ f ◦ T dµ = f◦T >λ et puisque µ est T -invariante ∫ ∫ (f − λ) + dµ = X On a donc pour tout λ f◦T >λ f◦T >λ fdµ ∫ (f ◦ T − λ) + dµ = {f > λ} = {f ◦ T > λ}, f◦T >λ (f − λ)dµ. modulo un ensemble de µ-mesure nulle. Par conséquent, f = f ◦ T , µ-pp. La réciproque est plus facile à démontrer. Supposons que µ ne soit pas T -ergodique. Il existe donc un ensemble A dans la tribu, T -invariant et tel que 0 < µ(A) < 1. Si on pose µ 1 = µ(· ∩ A)/µ(A) et µ 2 = µ(· ∩ A c )/µ(A c ), on a µ = tµ 1 + (1 − t)µ 2 avec t = µ(A), ce qui contredit le fait que µ est un point extrémal. Un corollaire du théorème précédent est l’existence de mesure ergodique pour toute transformation continue sur un espace compact. Corollaire 3.3.1 Si (X, d) est un espace métrique compact et T : X → X une application continue, il existe une mesure qui est T -ergodique. Démonstration.— Ceci résulte du théorème de Krein-Milman qui affirme que tout compact, convexe d’un espace vectoriel topologique admet des points extrémaux 1 . Dans le cas qui nous intéresse, on peut le démontrer directement. Choisissons (φ n ) n une suite de fonctions continues dense dans C 0 (X). L’ensemble M 0 des mesures de probabilités µ sur X telles que 〈µ, φ 0 〉 = sup ν∈M 〈ν, φ 0 〉 est non vide puisque M est compact pour la topologie faible* 1 et qu’il est l’enveloppe convexe de ses points extrémaux ✷
3.3. LIENS AVEC LA DYNAMIQUE TOPOLOGIQUE 33 et est un espace convexe compact pour la topologie faible*. Par récurrence on construit M p qui est l’ensemble non vide convexe compact pour la topologie faible* constitué des mesures ν ∈ M p−1 telles que 〈µ, φ p 〉 = sup ν∈Mp−1 〈ν, φ p 〉. Notons M ∞ l’intersection des M p , p ≥ 0. C’est toujours un ensemble non vide convexe compact pour la topologie faible*. Démontrons qu’il est constitué de points extrémaux. Supposons par l’absurde que ce ne soit pas le cas et que l’on ait une écriture µ = tµ 1 + (1 − t)µ 2 avec 0 < t < 1. Il est facile de voir que pour tout p, 〈µ, φ p 〉 = 〈µ 1 , φ p 〉 = 〈µ 2 , φ p 〉 (utiliser la définition de M p ) et comme la suite φ p est dense dans C 0 (X) on a µ = µ 1 = µ 2 . ✷ 3.3.2 Points génériques Supposons que (X, d) soit un espace métrique compact, et soient T une transformation mesurable sur X, µ une mesure T -invariante ergodique et (φ k ) k≥0 une suite de fonctions continues sur X dense dans C 0 (X). Le Théorème de Birkhoff nous apprend qu’il existe un ensemble E k de µ-mesure 1 tel que pour tout x ∈ E k , (1/n)S n φ k (x) converge vers ∫ φ X kdµ. L’ensemble E = ∩ k E k est de µ-mesure 1 et comme la suite des φ k est C 0 -dense dans C 0 (X), il est clair que pour toute φ ∈ C 0 (X) et tout x ∈ X, la suite (1/n)S n φ(x) converge également vers ∫ φdµ. On dit que l’ensemble E est X un ensemble générique pour (T, µ). Un corollaire du résultat précédent est le suivant : Corollaire 3.3.2 Si µ et ν sont deux mesures de probabilité T -invariantes et ergodiques elles sont mutuellement singulières 2 ou égales. Démonstration.— Supposons que ce ne soit pas le cas. L’intersection E de l’ensemble des points réguliers de µ et de l’ensemble des points réguliers de ν est alors de µ-mesure et de ν-mesure positive. Pour toute fonction continue φ et x ∈ E, on a donc convergence de (1/n)S n φ(x) vers ∫ φdµ et ∫ φdν. X X Par conséquent, µ = ν. ✷ 3.3.3 Unique ergodicité Définition 3.3.2 On dit qu’un système dynamique (X, T, µ) est uniquement ergodique, si µ est l’unique mesure de probabilité invariante par T . 2 pour tout borélien, µ(A) > 0 implique ν(A) = 0 et ν(A) > 0 implique µ(A) = 0
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