Systèmes Dynamiques Notes du cours de M2

3.2. LES THÉORÈMES ERGODIQUES 29
Il suffit pour cela de démontrer que φ − E(φ|I) est dans l’adhérence L 2 de
U − I. Un calcul simple montre Im(I − U) ⊥ = ker(I − U ∗ ). Or, si U ∗ φ = φ
on a P φ = UU ∗ φ = Uφ. Mais, ‖Uφ‖ = ‖φ‖ i.e ‖P φ‖ = ‖φ‖. Ceci n’est
possible que si φ ∈ ImP c’est-à-dire si P φ = φ d’où l’on déduit Uφ = φ.
Réciproquement, si Uφ = φ on a φ = U ∗ Uφ = U ∗ φ. On a donc prouvé
On a donc,
Im(U − I) ⊥ = ker(U ∗ − I) = ker(U − I) = L 2 (X, I, µ).
Im(U − I) = L 2 (X, I, µ) ⊥
Mais par définition pour tout φ ∈ L 2 (X, B, µ), φ − E(φ|I) ∈ L 2 (X, I, µ) ⊥
Concluons la preuve du théorème :
mais ‖ 1 n S nη ɛ ‖ ≤ ɛ/2 si bien que
1
n S nφ = 1 n (φ ◦ T n − φ) + E(φ|I) + 1 n S nη ɛ ;
‖ 1 n S nφ − E(φ|I)‖ ≤ 2‖ψ ɛ‖
+ ‖η ɛ ‖
n
≤ ɛ
si n est assez grand.
✷
3.2.2 Convergence presque sûre
Théorème 3.2.2 a) Si (X, B, µ, T ) est un système dynamique, alors pour
toute fonction φ ∈ L 1 (X, B, µ) la suite
converge vers E(φ|I)
i) µ-presque sûrement
ii) dans L 1 (X, B, µ).
1
n S nφ = 1 )
(φ + φ ◦ T + · · · + φ ◦ T n−1
n
b) Si T est inversible on a la même conclusion pour n → −∞.
Démonstration.—
Un ingrédient crucial de la preuve de ce théorème est le lemme suivant