Systèmes Dynamiques Notes du cours de M2

3.2. LES THÉORÈMES ERGODIQUES 27
Exercice Démontrer que le décalage est ergodique pour les mesures de Bernoulli.
3.2 Les Théorèmes ergodiques
3.2.1 Le point de vue spectral et le théorème de Von
Neumann
Considérons un système dynamique mesurable (X, B, T, µ). L’espace L 2 (X, B, µ)
muni du produit scalaire
∫
〈φ, ψ〉 = φ ¯ψdµ, φ, ψ ∈ L 2 (X, B, µ)
X
est un espace de Hilbert. Le point de vue spectral consiste à étudier l’opérateur
linéaire U T (que nous noterons souvent T ) agissant sur L 2 (X, B, µ) :
Notons U ∗ l’adjoint de U défini par
U T : L 2 (X, B, µ) → L 2 (X, B, µ)
φ ↦→ φ ◦ T
〈U ∗ φ, ψ〉 = 〈φ, Uψ〉;
puisque T préserve µ il est facile de voir que U T est une isométrie c’est-à-dire
préserve la norme (ou le produit scalaire) ‖U T φ‖ = ‖φ‖ et par conséquent
U ∗ U = Id.
Si en outre T est inversible T est unitaire c’est-à-dire que U ∗ = U −1 puisque,
T préservant µ
∫
〈φ ◦ T, ψ〉 = (φ · ¯ψ ◦ T −1 ) ◦ T dµ = 〈φ, ψ ◦ T −1 〉.
X
Essayons de comprendre la situation quand T n’est pas inversible. La sigma
algèbre T −1 B est incluse dans B et il est possible de définir l’espace L 2 (X, T −1 B, µ)
des fonctions T −1 B-mesurables qui sont L 2 pour la (restriction à T −1 B de la)
mesure µ. C’est un sous-espace fermé de L 2 (X, B, µ) et on peut introduire la
projection orthogonale P : L 2 (X, B, µ) → L 2 (X, T −1 B, µ) (rappelons qu’une
projection orthogonale est caractérisée par P ∗ = P et P 2 = P ). Cette projection
s’appelle l’espérance conditionnelle par rapport à la tribu T −1 B. On
a le lemme facile suivant :