Systèmes Dynamiques Notes du cours de M2

Chapitre 4
Homéomorphismes et
difféomorphismes du cercle
4.1 Homéomorphismes du cercle
4.1.1 Forme des relevés d’un homéomorphisme du cercle
Nous entreprenons dans cette section l’étude des homéomorphismes du
cercle (ou plutôt du tore de dimension 1) T = R/Z = {x + Z : x ∈ R}.
Nous notons π a projection canonique π : R → R/Z. On dit que x ∈ R est
un relevé de ¯x ∈ R/Z si π(x) = ¯x. Si ¯x, ȳ ∈ R/Z admettent pour relevés
respectifs x, y ∈ R nous posons d(x, y) = min k∈Z |x − y − k|. Il est facile de
voir que (R/Z, d) est un espace métrique complet compact. Par construction
(R, π) est un revêtement de R/Z. Ceci permet de définir une orientation sur
R/Z : nous dirons que ¯x, ȳ, ¯z sont ordonnés dans le sens direct s’il existe des
relevés x, y, z ∈ R tels que x < y < z < x + 1. On dit qu’une application
continue f : R/Z → R/Z préserve l’orientation si pour tout triplé ordonné
dans le sens direct (x, y, z) le triplet image (f(x), f(y), f(z)) est ordonné dans
le sens direct.
Exemple L’application de T dans lui même x ↦→ −x ne préserve pas l’orientation
(elle la renverse).
Comme [0, 1] est simplement connexe, pour tout chemin continu γ :
[0, 1] → R/Z et tout ˜x ∈ π −1 (γ(0)) il existe un unique chemin continu
˜γ : [0, 1] → R tel que ˜γ(0) = ˜x et qui relève γ : π ◦ ˜γ = γ. De la même
façon, toute application continue g : R → R/Z se relève en une application
continue G : R → R, tous les autres relèvement de g étant de la forme
G(·) + k, k ∈ Z. Par conséquent si f : R/Z → R/Z est une application
continue elle se relève en une application continue F : R → R (considérer
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