Systèmes Dynamiques Notes du cours de M2

2.4. APPLICATION À LA PREUVE DU THÉORÈME DE VAN DER WAERDEN17
mot de longueur p commençant par une lettre de I 1 et a ′ un mot de longueur
p ′ commençant par une lettre de I 1 , on peut construire pour tout entier km
un mot compatible de la forme aba ′ x où b est un mot de longueur km. Or
ceci est toujours possible dès que k est assez grand puisque Λ 11 contient tous
les multiples de m assez grands.
La réciproque est laissée en exercice au lecteur.
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2.4 Application à la preuve du théorème de van
der Waerden
Nous nous proposons de démontrer par des méthodes de dynamique topologique
le théorème suivant dû à van der Waerden :
Théorème 2.4.1 (van der Waerden) Si Z = A 1 ∪ · · · ∪ A p est une partition
de Z il existe i ∈ {1, . . . , p} tel que A i contienne des progressions
arithmétiques de longueur arbitraire i.e : pour tout r ∈ N il existe a, b ∈ Z
tels que a, a + b, . . . , a + (r − 1)b appartiennent à A i .
La preuve du théorème précédent est basée sur un théorème de récurrence
multiple :
Théorème 2.4.2 Si (X, d) est un espace métrique compact et T un homéomorphisme
de X il existe x ∈ X tel que pour tout r ≥ 1
inf max d(x, T in x) = 0.
n≥1 1≤i≤r
Démonstration.— La preuve se fait par récurrence sur r ≥ 1.
i) Si r = 1 nous avons vu que le résultat est vrai : si K est un ensemble
minimal de X, tout point x de K est d’orbite dense dans K et en particulier
r{ecurrent.
ii) Notons K un ensemble minimal fixé et notons pour r ≥ 1, E r l’ensemble
des x ∈ K pour lesquels
inf max d(x, T in x) = 0.
n≥1 i≤r
Lemme 2.4.1 Si E r est un G δ -dense de K alors il en est de même de E r+1 .