Espaces de Sobolev, Formulation variationnelle des EDP.
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ESPACES DE SOBOLEV,<br />
FORMULATION VARIATIONNELLE DES <strong>EDP</strong>.<br />
Alexandre Popier<br />
Université du Maine, Le Mans<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 1 / 42
PLAN DU COURS<br />
1 ESPACES DE HILBERT<br />
2 ESPACES DE SOBOLEV<br />
Premières définitions et propriétés<br />
Inégalités <strong>de</strong> <strong>Sobolev</strong><br />
Espace H 1 0 (Ω)<br />
Notion <strong>de</strong> trace au bord<br />
3 FORMULATION VARIATIONNELLE<br />
Problème <strong>de</strong> Dirichlet<br />
Régularité <strong>de</strong>s solutions faibles<br />
Équation <strong>de</strong> la chaleur<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 2 / 42
PLAN<br />
1 ESPACES DE HILBERT<br />
2 ESPACES DE SOBOLEV<br />
Premières définitions et propriétés<br />
Inégalités <strong>de</strong> <strong>Sobolev</strong><br />
Espace H 1 0 (Ω)<br />
Notion <strong>de</strong> trace au bord<br />
3 FORMULATION VARIATIONNELLE<br />
Problème <strong>de</strong> Dirichlet<br />
Régularité <strong>de</strong>s solutions faibles<br />
Équation <strong>de</strong> la chaleur<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 3 / 42
DÉFINITIONS.<br />
DÉFINITION<br />
Un espace <strong>de</strong> Hilbert est un espace vectoriel H muni d’un produit<br />
scalaire 〈u, v〉 et qui est complet pour la norme 〈u, u〉 1/2<br />
Un produit scalaire 〈u, v〉 est une forme bilinéaire <strong>de</strong> H × H dans R<br />
symétrique, définie positive.<br />
THÉORÈME DE PROJECTION<br />
Soit K ⊂ H, H Hilbert, K convexe fermé non vi<strong>de</strong>. Alors pour tout<br />
u ∈ H, il existe v ∈ K unique t.q.<br />
‖u − v‖ = inf<br />
w∈K<br />
De plus v caractérisé par<br />
‖u − w‖ = min ‖u − w‖.<br />
w∈K<br />
v ∈ K , 〈u − v, w − v〉 ≤ 0, ∀w ∈ K .<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 4 / 42
THÉORÈME DE STAMPACCHIA.<br />
DÉFINITION<br />
Une forme bilinéaire A : H × H → R est<br />
continue s’il existe C t.q. pour tout (u, v), |A(u, v)| ≤ C‖u‖‖v‖ ;<br />
coercive s’il existe α > 0 t.q. pour tout u, A(u, u) ≥ α‖u‖ 2 .<br />
THÉORÈME<br />
Soit A bilinéaire continue et coercive. Soit K convexe fermé non vi<strong>de</strong>.<br />
Pour φ ∈ H ′ , il existe u ∈ K unique t.q.<br />
∀v ∈ K , A(u, v − u) ≥ φ(v − u).<br />
Si A est symétrique, alors u caractérisé par<br />
u ∈ K ,<br />
( )<br />
1<br />
1<br />
A(u, u) − φ(u) = min<br />
2 v∈K 2 A(v, v) − φ(v) .<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 5 / 42
THÉORÈME DE LAX-MILGRAM.<br />
THÉORÈME<br />
Soit A bilinéaire continue et coercive. Pour φ ∈ H ′ , il existe u ∈ H<br />
unique t.q.<br />
∀v ∈ H, A(u, v) = φ(v).<br />
Si A est symétrique, alors u caractérisé par<br />
u ∈ H,<br />
( )<br />
1<br />
1<br />
A(u, u) − φ(u) = min<br />
2 v∈K 2 A(v, v) − φ(v) .<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 6 / 42
PLAN<br />
1 ESPACES DE HILBERT<br />
2 ESPACES DE SOBOLEV<br />
Premières définitions et propriétés<br />
Inégalités <strong>de</strong> <strong>Sobolev</strong><br />
Espace H 1 0 (Ω)<br />
Notion <strong>de</strong> trace au bord<br />
3 FORMULATION VARIATIONNELLE<br />
Problème <strong>de</strong> Dirichlet<br />
Régularité <strong>de</strong>s solutions faibles<br />
Équation <strong>de</strong> la chaleur<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 7 / 42
INTRODUCTION.<br />
PROBLÈME : pour c ∈ L ∞ (Ω) et f ∈ L 2 (Ω) :<br />
{ −∆u(x) + c(x)u(x) = f (x), x ∈ Ω,<br />
u(x) = 0,<br />
x ∈ ∂Ω.<br />
INTÉGRATION PAR PARTIES : si u et Ω sont assez réguliers, pour<br />
φ ∈ Cc ∞ (Ω) :<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∇u(x).∇φ(x)dx + c(x)u(x)φ(x)dx = f (x)φ(x)dx.<br />
Ω<br />
Ω<br />
RÉGULARITÉ <strong>de</strong> u : u ∈ L 2 (Ω) et ∇u ∈ (L 2 (Ω)) d → espaces <strong>de</strong><br />
<strong>Sobolev</strong>.<br />
Ω<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 8 / 42
PLAN<br />
1 ESPACES DE HILBERT<br />
2 ESPACES DE SOBOLEV<br />
Premières définitions et propriétés<br />
Inégalités <strong>de</strong> <strong>Sobolev</strong><br />
Espace H 1 0 (Ω)<br />
Notion <strong>de</strong> trace au bord<br />
3 FORMULATION VARIATIONNELLE<br />
Problème <strong>de</strong> Dirichlet<br />
Régularité <strong>de</strong>s solutions faibles<br />
Équation <strong>de</strong> la chaleur<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 9 / 42
PREMIÈRES DÉFINITIONS.<br />
Soit Ω ⊂ R d ouvert.<br />
DÉFINITION<br />
L’espace <strong>de</strong> <strong>Sobolev</strong> H 1 (Ω) est défini par<br />
{<br />
H 1 (Ω) = u ∈ L 2 (Ω), ∃g 1 , . . . , g d ∈ L 2 (Ω) t.q.<br />
∫<br />
u ∂φ ∫<br />
}<br />
= − g i φ, ∀φ ∈ Cc ∞ (Ω) .<br />
Ω ∂x i Ω<br />
On pose ∂u<br />
∂x i<br />
= g i .<br />
NORME : pour u ∈ H 1 (Ω),<br />
‖u‖ H 1 (Ω) = ‖u‖ 2 +<br />
d∑<br />
∥ ∂u ∥∥∥2<br />
∥ .<br />
∂x i<br />
i=1<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 10 / 42
REMARQUES.<br />
H 1 (Ω) est muni du produit scalaire :<br />
d∑<br />
〈u, v〉 H 1 (Ω) = 〈u, v〉 L 2 (Ω) + 〈 ∂u , ∂v 〉<br />
∂x i ∂x L 2 (Ω) .<br />
i<br />
Si u ∈ L 2 (Ω) ∩ C 1 ∂u<br />
(Ω), et si ∈ L 2 (Ω), alors les <strong>de</strong>ux définitions<br />
∂x i<br />
<strong>de</strong> dérivée coïnci<strong>de</strong>nt.<br />
(<br />
∥ ) 1/2<br />
d∑<br />
Norme équivalente : ‖u‖ 2 2 + ∂u ∥∥∥<br />
2<br />
∥ .<br />
∂x i<br />
i=1<br />
i=1<br />
<strong>Espaces</strong> <strong>de</strong> fonctions-tests : C 1 c (Ω) convient aussi.<br />
C ∞ c (Ω) ⊂ H 1 (Ω) et si Ω borné, C 1 (Ω) ⊂ H 1 (Ω).<br />
2<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 11 / 42
RÈGLES DE DÉRIVATION.<br />
PROPOSITION (PRODUIT)<br />
Soient u et v dans H 1 (Ω) ∩ L ∞ (Ω). Alors uv ∈ H 1 (Ω) ∩ L ∞ (Ω) et<br />
PROPOSITION (COMPOSITION)<br />
∂<br />
(uv) = ∂u v + u ∂v .<br />
∂x i ∂x i ∂x i<br />
Soient G ∈ C 1 (R) t.q. G(0) = 0 et |G ′ (s)| ≤ M, ∀s ∈ R ; et u ∈ H 1 (Ω).<br />
Alors G ◦ u ∈ H 1 (Ω) et<br />
∂<br />
(G ◦ u) = (G ′ ◦ u) ∂u .<br />
∂x i ∂x i<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 12 / 42
RÈGLES DE DÉRIVATION.<br />
PROPOSITION (CHANGEMENT DE VARIABLES)<br />
Soient Ω et Ω ′ <strong>de</strong>ux ouverts <strong>de</strong> R d et H : Ω ′ → Ω une application<br />
bijective, x = H(y) t.q.<br />
H ∈ C 1 (Ω ′ ), H −1 ∈ C 1 (Ω), Jac H ∈ L ∞ (Ω ′ ), Jac H −1 ∈ L ∞ (Ω).<br />
Soit u ∈ H 1 (Ω). Alors u ◦ H ∈ H 1 (Ω ′ ) et<br />
∀j = 1, . . . , d,<br />
∂<br />
∂y j<br />
(u ◦ H)(y) =<br />
d∑<br />
i=1<br />
∂u<br />
∂x i<br />
(H(y)) ∂H i<br />
∂y j<br />
(y).<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 12 / 42
ESPACES H m (Ω).<br />
Soit m ≥ 2 entier.<br />
DÉFINITION<br />
Espace <strong>de</strong> <strong>Sobolev</strong> H m (Ω) défini par récurrence<br />
H m (Ω) =<br />
{<br />
}<br />
u ∈ H m−1 ∂u<br />
(Ω); ∈ H m−1 (Ω)<br />
∂x<br />
{<br />
i<br />
= u ∈ L 2 (Ω), ∀α t.q. |α| ≤ m, ∃g α ∈ L 2 (Ω) t.q.<br />
∫<br />
∫<br />
}<br />
u∂ α φ = (−1) |α| g α φ, ∀φ ∈ Cc ∞ (Ω) .<br />
On pose ∂ α u = g α .<br />
NORME : pour u ∈ H m (Ω), ‖u‖ H m (Ω) =<br />
Ω<br />
Ω<br />
∑<br />
0≤|α|≤m<br />
‖∂ α u‖ 2<br />
.<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 13 / 42
ESPACES H m (Ω).<br />
PROPOSITION<br />
H m (Ω) muni du produit scalaire<br />
〈u, v〉 H m (Ω) =<br />
∑<br />
〈∂ α u, ∂ α v〉 L 2 (Ω) ,<br />
0≤|α|≤m<br />
est un espace <strong>de</strong> Hilbert.<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 13 / 42
PLAN<br />
1 ESPACES DE HILBERT<br />
2 ESPACES DE SOBOLEV<br />
Premières définitions et propriétés<br />
Inégalités <strong>de</strong> <strong>Sobolev</strong><br />
Espace H 1 0 (Ω)<br />
Notion <strong>de</strong> trace au bord<br />
3 FORMULATION VARIATIONNELLE<br />
Problème <strong>de</strong> Dirichlet<br />
Régularité <strong>de</strong>s solutions faibles<br />
Équation <strong>de</strong> la chaleur<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 14 / 42
CAS OÙ Ω = R d ET 2 < d.<br />
THÉORÈME (SOBOLEV, GAGLIARDO, NIRENBERG)<br />
Si 2 < d, alors<br />
H 1 (R d ) ⊂ L p∗ (R d ), avec 1 p ∗ = 1 2 − 1 d .<br />
Il existe C = C(p, N) t.q.<br />
‖u‖ L p ∗ (R) ≤ C‖∇u‖ L 2, ∀u ∈ H1 (R d ).<br />
COROLLAIRE<br />
Si 2 < d, alors H 1 (R d ) ⊂ L q (R d ), pour tout q ∈ [2, p ∗ ] avec injection<br />
continue.<br />
COROLLAIRE<br />
H 1 (R 2 ) ⊂ L q (R 2 ), pour tout q ∈ [2, +∞[ avec injection continue.<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 15 / 42
CAS OÙ Ω = R.<br />
THÉORÈME (MORREY)<br />
Alors<br />
H 1 (R) ⊂ L ∞ (R),<br />
avec injection continue. De plus pour tout u ∈ H 1 (R) :<br />
|u(x) − u(y)| ≤ C‖x − y‖ 1/2 ‖∇u‖ L 2, p.p. x, y ∈ R.<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 16 / 42
CAS OÙ Ω = R d .<br />
COROLLAIRE (ESPACES H m )<br />
Soient m ≥ 1 entier. Avec injections continues :<br />
Si 1 2 − m d > 0, alors Hm (R d ) ⊂ L q (R d ) où 1 q = 1 2 − m d .<br />
Si 1 2 − m d = 0, alors Hm (R d ) ⊂ L q (R d ), ∀q ∈ [2, +∞[.<br />
Si 1 2 − m d < 0, alors Hm (R d ) ⊂ L ∞ (R d ).<br />
De plus si m − d > 0 non entier, k = [m − d/2] et θ = m − d/2 − k,<br />
2<br />
H m (R d ) ⊂ C k (R d ) et :<br />
‖∂ α u‖ L ∞ ≤ C‖u‖ H m, ∀α avec |α| ≤ k<br />
|∂ α u(x) − ∂ α u(y)| ≤ C‖u‖ H m|x − y| θ , p.p. x, y ∈ R d .<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 17 / 42
CAS OÙ Ω ⊂ R d .<br />
HYPOTHÈSES :<br />
Ω ouvert <strong>de</strong> classe C 1 avec ∂Ω borné,<br />
Ω = R d + = {x = (x 1 , . . . , x d ) ∈ R d , x d > 0}.<br />
COROLLAIRE<br />
Avec injections continues :<br />
Si 2 < d, alors H 1 (Ω) ⊂ L p∗ (Ω) où 1 p ∗ = 1 2 − 1 d .<br />
Si d = 2, alors H 1 (Ω) ⊂ L q (Ω), ∀q ∈ [2, +∞[.<br />
Si d = 1, alors H 1 (Ω) ⊂ L ∞ (Ω).<br />
De plus si d = 1 pour tout u ∈ H 1 (Ω) :<br />
|u(x) − u(y)| ≤ C‖u‖ H 1|x − y| 1/2 , p.p. x, y ∈ Ω.<br />
Donc H 1 (Ω) ⊂ C(Ω).<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 18 / 42
CAS OÙ Ω ⊂ R d .<br />
HYPOTHÈSES :<br />
Ω ouvert <strong>de</strong> classe C 1 avec ∂Ω borné,<br />
Ω = R d + = {x = (x 1 , . . . , x d ) ∈ R d , x d > 0}.<br />
COROLLAIRE<br />
Les conclusions du corollaire (<strong>Espaces</strong> H m ) restent vraies en<br />
remplaçant R d par Ω.<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 18 / 42
PLAN<br />
1 ESPACES DE HILBERT<br />
2 ESPACES DE SOBOLEV<br />
Premières définitions et propriétés<br />
Inégalités <strong>de</strong> <strong>Sobolev</strong><br />
Espace H 1 0 (Ω)<br />
Notion <strong>de</strong> trace au bord<br />
3 FORMULATION VARIATIONNELLE<br />
Problème <strong>de</strong> Dirichlet<br />
Régularité <strong>de</strong>s solutions faibles<br />
Équation <strong>de</strong> la chaleur<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 19 / 42
DÉFINITION.<br />
DÉFINITION<br />
H 1 0 (Ω) désigne la fermeture <strong>de</strong> C1 c (Ω) dans H 1 (Ω).<br />
PROPOSITION<br />
H 1 0 (Ω) muni <strong>de</strong> la norme induite par H1 (Ω) est un espace <strong>de</strong> Hilbert<br />
séparable.<br />
REMARQUE<br />
Si Ω = R d , H0 1(Rd ) = H 1 (R d ).<br />
En général, H0 1(Ω) ≠ H1 (Ω).<br />
H0 1(Ω) est aussi la fermeture <strong>de</strong> C∞ c (Ω).<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 20 / 42
COMPORTEMENT AU BORD.<br />
THÉORÈME<br />
Soit Ω ouvert <strong>de</strong> classe C 1 . Soit u ∈ H 1 (Ω) ∩ C(Ω). Alors :<br />
PROPOSITION<br />
u = 0 sur ∂Ω ⇔ u ∈ H 1 0 (Ω).<br />
On suppose Ω <strong>de</strong> classe C 1 . Soit u ∈ L 2 (Ω). Alors équivalence entre<br />
u ∈ H 1 0 (Ω) ;<br />
il existe une constante C t.q. :<br />
∫<br />
∣ u ∂φ ∣ ∣∣∣<br />
≤ C‖φ‖ 2 , ∀φ ∈ Cc 1 (R d ), ∀i = 1, . . . , d;<br />
∂x i<br />
Ω<br />
la fonction u(x) = u(x) pour x ∈ Ω et u(x) = 0 pour x ∈ R d \ Ω est<br />
dans H 1 (Ω) et ∂u = ∂u .<br />
∂x i ∂x i<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 21 / 42
INÉGALITÉ DE POINCARÉ.<br />
THÉORÈME<br />
Soit Ω ouvert borné (ou borné dans une direction). Alors il existe<br />
C = C(Ω) t.q.<br />
‖u‖ 2 ≤ C‖∇u‖ 2 , ∀u ∈ H0 1 (Ω).<br />
Donc ‖∇u‖ 2 est<br />
∫<br />
une norme sur H0 1(Ω) équivalente à la norme ‖u‖ H 1.<br />
Autrement dit, ∇u∇v est un produit scalaire qui induit la norme<br />
‖∇u‖ 2 équivalente à ‖u‖ H 1.<br />
Ω<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 22 / 42
PLAN<br />
1 ESPACES DE HILBERT<br />
2 ESPACES DE SOBOLEV<br />
Premières définitions et propriétés<br />
Inégalités <strong>de</strong> <strong>Sobolev</strong><br />
Espace H 1 0 (Ω)<br />
Notion <strong>de</strong> trace au bord<br />
3 FORMULATION VARIATIONNELLE<br />
Problème <strong>de</strong> Dirichlet<br />
Régularité <strong>de</strong>s solutions faibles<br />
Équation <strong>de</strong> la chaleur<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 23 / 42
CAS OÙ Ω = R d +.<br />
LEMME<br />
Il existe une constante C t.q. pour tout u ∈ Cc 1 (R d ) :<br />
(∫<br />
∣ u(x ′ , 0) ∣ ) 1/2 2 dx ′ ≤ C‖u‖ H 1 (Ω) .<br />
R d−1<br />
DÉFINITION<br />
γ 0 : C 1 c (R d ) → L 2 (∂Ω) qui à u associe u| ∂Ω , avec ∂Ω = R d−1 × {0}, est<br />
continu.<br />
Donc se prolonge en un opérateur linéaire continu <strong>de</strong> H 1 (Ω) dans<br />
L 2 (∂Ω). Cet opérateur est la trace sur ∂Ω.<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 24 / 42
CAS D’UN OUVERT BORNÉ RÉGULIER.<br />
Si Ω est une ouvert borné <strong>de</strong> classe C 1 , alors il existe<br />
γ 0 : H 1 (Ω) → L 2 (∂Ω) opérateur linéaire continu t.q.<br />
1 noyau <strong>de</strong> γ 0 = H 1 0 (Ω) ;<br />
2 image <strong>de</strong> γ 0 : W 1/2,2 (∂Ω) et<br />
W 1/2,2 (Ω) =<br />
Ω<br />
‖u| ∂Ω ‖ W 1/2,2 (∂Ω) ≤ C‖u‖ H 1 (Ω) .<br />
{<br />
u ∈ L 2 (Ω),<br />
|u(x) − u(y)|<br />
|x − y| (d+1)/2 ∈ L2 (Ω × Ω)<br />
}<br />
.<br />
3 Formule <strong>de</strong> Green : pour u et v dans H 1 (Ω) :<br />
∫<br />
∫<br />
∂u<br />
v = − u ∂v ∫<br />
+ (uv)(σ)(ν.e i )(σ)dσ.<br />
∂x i ∂x i<br />
Pour u et v dans H 2 (Ω) :<br />
∫ ∫<br />
− (∆u)v =<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
∂Ω<br />
∫<br />
∂u<br />
∇u∇v −<br />
∂Ω ∂ν (σ)v(σ)dσ.<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 25 / 42
PLAN<br />
1 ESPACES DE HILBERT<br />
2 ESPACES DE SOBOLEV<br />
Premières définitions et propriétés<br />
Inégalités <strong>de</strong> <strong>Sobolev</strong><br />
Espace H 1 0 (Ω)<br />
Notion <strong>de</strong> trace au bord<br />
3 FORMULATION VARIATIONNELLE<br />
Problème <strong>de</strong> Dirichlet<br />
Régularité <strong>de</strong>s solutions faibles<br />
Équation <strong>de</strong> la chaleur<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 26 / 42
PLAN<br />
1 ESPACES DE HILBERT<br />
2 ESPACES DE SOBOLEV<br />
Premières définitions et propriétés<br />
Inégalités <strong>de</strong> <strong>Sobolev</strong><br />
Espace H 1 0 (Ω)<br />
Notion <strong>de</strong> trace au bord<br />
3 FORMULATION VARIATIONNELLE<br />
Problème <strong>de</strong> Dirichlet<br />
Régularité <strong>de</strong>s solutions faibles<br />
Équation <strong>de</strong> la chaleur<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 27 / 42
INTRODUCTION.<br />
PROBLÈME DE DIRICHLET HOMOGÈNE : pour Ω ouvert borné <strong>de</strong> classe<br />
C 1 , c ∈ L ∞ (Ω) et f ∈ L 2 (Ω) :<br />
(1)<br />
{ −∆u(x) + c(x)u(x) = f (x), x ∈ Ω,<br />
u(x) = 0,<br />
x ∈ ∂Ω.<br />
DÉFINITION<br />
LEMME<br />
Une solution classique est une fonction u ∈ C 2 (Ω) vérifiant (1).<br />
Une solution faible <strong>de</strong> (1) est une fonction u ∈ H0 1 (Ω) t.q. :<br />
∫<br />
∫ ∫<br />
∀v ∈ H0 1 (Ω), ∇u.∇v + cuv = fv.<br />
Ω<br />
Ω<br />
Ω<br />
Toute solution classique est une solution faible.<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 28 / 42
FORMULATION VARIATIONNELLE.<br />
PROBLÈME : pour Ω ouvert borné <strong>de</strong> classe C 1 , c ∈ L ∞ (Ω) et<br />
f ∈ L 2 (Ω) :<br />
(2) ∀v ∈ H0 1 (Ω), A(u, v) = L(v),<br />
avec<br />
∫<br />
A(u, v) =<br />
Ω<br />
∫<br />
∫<br />
∇u.∇v + cuv, et L(v) = fv.<br />
Ω<br />
Ω<br />
DÉFINITION<br />
Le problème (2), dont on cherche une solution dans l’espace <strong>de</strong><br />
Hilbert H0 1 (Ω), est appelé formulation <strong>variationnelle</strong> du problème (1).<br />
PROPOSITION<br />
Si u est solution <strong>de</strong> (2), alors u est solution <strong>de</strong> (1) presque partout.<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 29 / 42
PROBLÈME DE DIRICHLET HOMOGÈNE.<br />
HYPOTHÈSES :<br />
1 H = H0 1 (Ω) : espace <strong>de</strong> Hilbert.<br />
∫<br />
2 L(v) = fv : forme linéaire continue sur H.<br />
Ω∫<br />
∫<br />
3 A(u, v) = ∇u.∇v + cuv : forme bilinéaire continue et<br />
Ω<br />
Ω<br />
coercive si<br />
c est positive,<br />
ou ‖c − ‖ ∞ < 1 , où K<br />
KP<br />
2 P est la constante dans l’inégalité <strong>de</strong><br />
Poincaré.<br />
THÉORÈME (APPLICATION DE LAX-MILGRAM)<br />
Il existe une unique solution u ∈ H0 1 (Ω) au problème (2). De plus<br />
∆u ∈ L 2 (Ω).<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 30 / 42
PROBLÈME DE DIRICHLET NON HOMOGÈNE.<br />
PROBLÈME : Ω ouvert borné <strong>de</strong> classe C 1 , c ∈ L ∞ (Ω) et f ∈ L 2 (Ω) :<br />
{ −∆u(x) + c(x)u(x) = f (x), x ∈ Ω,<br />
(3)<br />
u(x) = g,<br />
x ∈ ∂Ω.<br />
HYPOTHÈSE<br />
Il existe ˜g ∈ H 1 (Ω) t.q. γ 0˜g = g. C’est le cas si :<br />
g ∈ C 1 (∂Ω)<br />
g ∈ W 1/2,2 (Ω) = H 1/2 (Ω).<br />
NOTATION : K = {v ∈ H 1 (Ω), v − ˜g ∈ H0 1 (Ω)}.<br />
DÉFINITION<br />
On appelle solution faible <strong>de</strong> (3) toute fonction u ∈ K t.q.<br />
∫<br />
∫<br />
∀v ∈ H0 1 (Ω), (∇u.∇v + cuv) = fv.<br />
Ω<br />
Ω<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 31 / 42
APPLICATION DU THÉORÈME DE STAMPACCHIA.<br />
PROPOSITION<br />
u ∈ K solution faible <strong>de</strong> (3) si et seulement si<br />
∀v ∈ K , A(u, v − u) ≥ L(v − u).<br />
(⇒) : pour v ∈ K , v − u ∈ H 1 0 (Ω).<br />
(⇐) : avec v = u ± w et w ∈ H0 1 (Ω), v ∈ K et<br />
∫<br />
∫<br />
(∇u.(±∇w) + cu(±w)) = f (±w).<br />
Ω<br />
Ω<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 32 / 42
APPLICATION DU THÉORÈME DE STAMPACCHIA.<br />
HYPOTHÈSES :<br />
1 H = H 1 (Ω) : espace <strong>de</strong> Hilbert.<br />
2 K = {v ∈ H 1 (Ω), v − ˜g ∈ H0 1 (Ω)} convexe fermé non vi<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
H 1 (Ω).<br />
∫<br />
3 L(v) = fv : forme linéaire continue sur H.<br />
Ω∫<br />
4 A(u, v) = (∇u.∇v + cuv) : forme bilinéaire continue et<br />
Ω<br />
coercive si c est minorée par une constante strictement positive.<br />
THÉORÈME<br />
Il existe un unique u ∈ K unique t.q.<br />
∀v ∈ K , A(u, v − u) ≥ L(v − u).<br />
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AUTRE MÉTHODE PAR RELÈVEMENT.<br />
RELÈVEMENT : si on sait calculer ˜g ∈ H 1 (Ω) t.q. γ 0˜g = g, alors<br />
chercher u sous la forme u = ũ + ˜g avec ũ ∈ H 1 0 (Ω),<br />
avec ũ solution <strong>de</strong><br />
∀v ∈ H 1 0 (Ω), ∫<br />
Ω<br />
et f + ∇˜g + c˜g ∈ L 2 (Ω).<br />
∫<br />
(∇ũ.∇v + cũv) =<br />
EN DIMENSION 1 : ˜g(x) = a + (b − a)x.<br />
Ω<br />
(f + ∇˜g + c˜g)v<br />
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PLAN<br />
1 ESPACES DE HILBERT<br />
2 ESPACES DE SOBOLEV<br />
Premières définitions et propriétés<br />
Inégalités <strong>de</strong> <strong>Sobolev</strong><br />
Espace H 1 0 (Ω)<br />
Notion <strong>de</strong> trace au bord<br />
3 FORMULATION VARIATIONNELLE<br />
Problème <strong>de</strong> Dirichlet<br />
Régularité <strong>de</strong>s solutions faibles<br />
Équation <strong>de</strong> la chaleur<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 34 / 42
DANS H m+2 ET C 2 .<br />
THÉORÈME<br />
Soit Ω un ouvert <strong>de</strong> classe C 2 avec ∂Ω borné (ou Ω = R d +). Soient<br />
f ∈ L 2 (Ω) et u ∈ H0 1 (Ω) vérifiant :<br />
∫<br />
∫<br />
∀v ∈ H0 1 (Ω), (∇u.∇v + uv) = fv.<br />
Alors u ∈ H 2 (Ω) et ‖u‖ H 2 (Ω) ≤ C(Ω)‖f ‖ L 2 (Ω) .<br />
Ω<br />
Ω<br />
COROLLAIRE<br />
Si Ω est <strong>de</strong> classe C m+2 et si f ∈ H m (Ω), alors u ∈ H m+2 (Ω) et<br />
‖u‖ H m+2 (Ω) ≤ C(Ω)‖f ‖ H m (Ω).<br />
COROLLAIRE<br />
Si m > d/2, alors u ∈ C 2 (Ω).<br />
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PRINCIPE DU MAXIMUM.<br />
THÉORÈME<br />
Soient Ω un ouvert <strong>de</strong> classe C 1 , f ∈ L 2 (Ω) et u ∈ H 1 (Ω) vérifiant :<br />
∫<br />
∫<br />
∀v ∈ H0 1 (Ω), (∇u.∇v + uv) = fv.<br />
Alors<br />
( )<br />
min inf u, inf f ≤ u(x) ≤ max<br />
∂Ω Ω<br />
Ω<br />
(<br />
sup<br />
∂Ω<br />
Ω<br />
)<br />
u, sup f .<br />
Ω<br />
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PLAN<br />
1 ESPACES DE HILBERT<br />
2 ESPACES DE SOBOLEV<br />
Premières définitions et propriétés<br />
Inégalités <strong>de</strong> <strong>Sobolev</strong><br />
Espace H 1 0 (Ω)<br />
Notion <strong>de</strong> trace au bord<br />
3 FORMULATION VARIATIONNELLE<br />
Problème <strong>de</strong> Dirichlet<br />
Régularité <strong>de</strong>s solutions faibles<br />
Équation <strong>de</strong> la chaleur<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 37 / 42
PROBLÈME.<br />
DONNÉES :<br />
Ω ouvert <strong>de</strong> R d <strong>de</strong> classe C ∞ avec ∂Ω borné ;<br />
Q =]0, T [×Ω, Σ =]0, T [×∂Ω ;<br />
u 0 ∈ L 2 (Ω) ;<br />
f ∈ L 2 (Q).<br />
PROBLÈME : trouver u : [0, +∞[×Ω → R t.q.<br />
(4) ∂u<br />
− ∆u = f<br />
∂t<br />
sur Q,<br />
(5)<br />
u = 0 sur Σ,<br />
(6)<br />
u(0, x) = u 0 (x) sur Ω.<br />
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SOLUTION FAIBLE.<br />
POINT DE VUE : une solution faible sera vue comme une fonction<br />
u : [0, T ] → H0 1 (Ω), avec u(t)(x) = u(t, x).<br />
DÉFINITION<br />
Une fonction u telle que<br />
u ∈ L 2 (0, T ; H0 1(Ω)),<br />
∂u<br />
∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)),<br />
∂t<br />
est une solution faible du problème (4), (5) et (6) si<br />
1 pour tout v ∈ H0 1 (Ω) et presque tout t ∈ [0, T ],<br />
∫<br />
∫<br />
∂u<br />
Ω ∂t<br />
∫Ω<br />
(t, x)v(x)dx + ∇u(t, x)∇v(x)dx = f (t, x)v(x)dx;<br />
Ω<br />
2 u(0, x) = u 0 (x).<br />
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EXISTENCE ET UNICITÉ.<br />
THÉORÈME<br />
Il existe une unique fonction u vérifiant (4), (5) et (6) et<br />
u ∈ C([0, T ]; L 2 (Ω)) ∩ L 2 (0, T ; H0 1 (Ω)),<br />
∂u<br />
∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).<br />
∂t<br />
THÉORÈME<br />
Si u 0 ∈ H0 1(Ω), alors la solution faible vérifie u ∈ L∞ (0, T ; H0 1 (Ω)) et<br />
u ∈ L 2 (0, T ; H 2 (Ω)), avec<br />
∫ T<br />
esssup‖u(t)‖ 2 H 1 0≤t≤T<br />
0 (Ω) + 0<br />
( ∫ T<br />
≤ C<br />
0<br />
(<br />
‖f ‖ 2 L 2 (Ω) + ‖u 0‖ 2 H 1 0 (Ω) )<br />
‖u(t)‖ 2 H 2 (Ω) + ∥ ∥∥∥ ∂u<br />
∂t (t) ∥ ∥∥∥<br />
2<br />
.<br />
L 2 (Ω)<br />
)<br />
dt<br />
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ÉQUATION HOMOGÈNE<br />
HYPOTHÈSE : f ≡ 0.<br />
THÉORÈME<br />
Il existe une unique fonction u vérifiant (4), (5) et (6) et<br />
u ∈ C([0, T ]; L 2 (Ω)) ∩ C(]0, T [; H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω)),<br />
u ∈ C 1 (]0, T [; L 2 (Ω)) ;<br />
u ∈ C ∞ ([ε, T [×Ω), pour tout ε > 0 ;<br />
u ∈ L 2 (0, T ; H0 1 (Ω)) avec<br />
∫<br />
1<br />
T<br />
2 ‖u(T )‖2 L 2 (Ω) +<br />
0<br />
‖∇u(t)‖ 2 L 2 (Ω) dt = 1 2 ‖u 0‖ 2 L 2 (Ω) .<br />
Si <strong>de</strong> plus u 0 ∈ H 1 0 (Ω), alors u ∈ C([0, T ]; H1 0 (Ω)).<br />
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RÉGULARITÉ.<br />
THÉORÈME<br />
Supposons que u 0 ∈ H 2 (Ω) et ∂ t f ∈ L 2 (Ω). Alors<br />
u ∈ L ∞ (0, T ; H 2 (Ω)) ;<br />
∂ t u ∈ L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) ∩ L 2 (0, T ; H 1 0 (Ω)) ;<br />
∂ 2 t u ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)),<br />
les normes dans ces espaces étant contrôlées par la norme <strong>de</strong><br />
f ∈ H 1 (0, T ; L 2 (Ω)) et la norme <strong>de</strong> u 0 ∈ H 2 (Ω).<br />
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RÉGULARITÉ.<br />
RÉGULARITÉ SUPÉRIEURE<br />
Supposons que u 0 ∈ H 2m+1 (Ω) et ∂ k t f ∈ H2m−2k pour k = 0, . . . , m.<br />
Supposons que les relations <strong>de</strong> compatibilité soient satisfaites :<br />
u 0 ∈ H 1 0 (Ω) ;<br />
g 1 = f (0, .) + ∆u 0 ∈ H 1 0 (Ω) ;<br />
etc.<br />
g m = ∂ m−1<br />
t<br />
f (0, .) + ∆g m−1 ∈ H0 1(Ω).<br />
Alors pour tout k = 0, . . . , m : ∂t k u ∈ L 2 (0, T ; H 2m+2−2k (Ω)).<br />
PROPOSITION<br />
Si u 0 ∈ L 2 (Ω) et f ∈ C ∞ ([0, T ] × Ω), alors u ∈ C ∞ ([ε, T ] × Ω) pour tout<br />
ε > 0.<br />
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RÉGULARITÉ.<br />
POUR L’ÉQUATION HOMOGÈNE :<br />
RÉGULARITÉ SUPÉRIEURE<br />
Supposons que u 0 ∈ H k (Ω) pour tout k et vérifie :<br />
u 0 = ∆u 0 = . . . = ∆ j u 0 = . . . = 0 sur ∂Ω, ∀j.<br />
Alors u ∈ C ∞ ([0, T ] × Ω).<br />
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