Espaces de Sobolev, Formulation variationnelle des EDP.
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PROBLÈME DE DIRICHLET NON HOMOGÈNE.<br />
PROBLÈME : Ω ouvert borné <strong>de</strong> classe C 1 , c ∈ L ∞ (Ω) et f ∈ L 2 (Ω) :<br />
{ −∆u(x) + c(x)u(x) = f (x), x ∈ Ω,<br />
(3)<br />
u(x) = g,<br />
x ∈ ∂Ω.<br />
HYPOTHÈSE<br />
Il existe ˜g ∈ H 1 (Ω) t.q. γ 0˜g = g. C’est le cas si :<br />
g ∈ C 1 (∂Ω)<br />
g ∈ W 1/2,2 (Ω) = H 1/2 (Ω).<br />
NOTATION : K = {v ∈ H 1 (Ω), v − ˜g ∈ H0 1 (Ω)}.<br />
DÉFINITION<br />
On appelle solution faible <strong>de</strong> (3) toute fonction u ∈ K t.q.<br />
∫<br />
∫<br />
∀v ∈ H0 1 (Ω), (∇u.∇v + cuv) = fv.<br />
Ω<br />
Ω<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 31 / 42