Espaces de Sobolev, Formulation variationnelle des EDP.
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CAS OÙ Ω = R d .<br />
COROLLAIRE (ESPACES H m )<br />
Soient m ≥ 1 entier. Avec injections continues :<br />
Si 1 2 − m d > 0, alors Hm (R d ) ⊂ L q (R d ) où 1 q = 1 2 − m d .<br />
Si 1 2 − m d = 0, alors Hm (R d ) ⊂ L q (R d ), ∀q ∈ [2, +∞[.<br />
Si 1 2 − m d < 0, alors Hm (R d ) ⊂ L ∞ (R d ).<br />
De plus si m − d > 0 non entier, k = [m − d/2] et θ = m − d/2 − k,<br />
2<br />
H m (R d ) ⊂ C k (R d ) et :<br />
‖∂ α u‖ L ∞ ≤ C‖u‖ H m, ∀α avec |α| ≤ k<br />
|∂ α u(x) − ∂ α u(y)| ≤ C‖u‖ H m|x − y| θ , p.p. x, y ∈ R d .<br />
A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 17 / 42